यदि \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\) जहाँ (f(x)=\sin x), तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\) where (f(x)=\sin x), what is the correct statement about (f)?
#trigonometric function
#onto but not one one
#sine range
A (f) आच्छादी है लेकिन एकैकी नहीं / (f) is onto but not one-one
B (f) एकैकी है लेकिन आच्छादी नहीं / (f) is one-one but not onto
C (f) न आच्छादी है न एकैकी / (f) is neither onto nor one-one
D (f) केवल (0) पर परिभाषित है / (f) is defined only at (0)
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Correct Answer
A. (f) आच्छादी है लेकिन एकैकी नहीं / (f) is onto but not one-one
Step 1
Concept
\(\sin x\) का परिसर ([-1,1]) है। / The range of \(\sin x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी ([-1,1]) है इसलिए फलन आच्छादी है। / The codomain is also ([-1,1]), so the function is onto.
Step 3
Exam Tip
\(\sin x\) आवर्ती है इसलिए अलग-अलग (x) पर समान मान आ सकते हैं। / Since \(\sin x\) is periodic, different inputs can give the same output.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-\cos x) के लिए सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option for \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-\cos x).
#derivative
#one-one
#trigonometric function
#increasing
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह हर जगह घटता है / It decreases everywhere
D यह आवर्ती है / It is periodic
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Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(f'(x)=1+\sin x) है। / (f'(x)=1+\sin x).
Step 2
Why this answer is correct
\(1+\sin x\ge0\) हर वास्तविक (x) के लिए है और फलन पीछे की ओर नहीं लौटता। / \(1+\sin x\ge0\) for every real (x), and the function does not turn back.
Step 3
Exam Tip
ऐसे फलनों में अवकलज का गैर-ऋणात्मक रहना और कुल बढ़ने का व्यवहार एकैकीपन का संकेत देता है। / For such functions, a non-negative derivative along with overall increasing behaviour indicates one-one nature.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x+\cos x) किस कारण पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं है?
Why is \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x+\cos x), not one-one on all of \(\mathbb{R}\)?
#trigonometric function
#periodic
#not one-one
#sine cosine
A क्योंकि यह आवर्ती है / Because it is periodic
B क्योंकि यह रैखिक है / Because it is linear
C क्योंकि यह हमेशा शून्य है / Because it is always zero
D क्योंकि इसका प्रांत खाली है / Because its domain is empty
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Correct Answer
A. क्योंकि यह आवर्ती है / Because it is periodic
Step 1
Concept
\(\sin x+\cos x\) को (\sqrt{2}\sin\(x+\frac{\pi}{4}\)) लिखा जा सकता है। / \(\sin x+\cos x\) can be written as (\sqrt{2}\sin\(x+\frac{\pi}{4}\)).
Step 2
Why this answer is correct
यह आवर्ती फलन है, इसलिए समान मान कई अलग (x) पर दोहरते हैं। / It is periodic, so the same value repeats at many different (x)-values.
Step 3
Exam Tip
पूरे वास्तविक प्रांत पर आवर्ती फलन सामान्यतः एकैकी नहीं होता। / A periodic function is generally not one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-\sin x) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-\sin x), what is the correct conclusion about (f)?
#derivative
#one-one
#trigonometric function
#monotonic
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह हर जगह घटता है / It decreases everywhere
D यह केवल \([0,\pi]\) पर परिभाषित है / It is defined only on \([0,\pi]\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(f'(x)=1-\cos x) निकालें। / Find (f'(x)=1-\cos x).
Step 2
Why this answer is correct
\(1-\cos x\ge 0\) हर वास्तविक (x) के लिए है और फलन पीछे नहीं लौटता। / \(1-\cos x\ge 0\) for every real (x), and the function does not turn back.
Step 3
Exam Tip
गैर-ऋणात्मक अवकलज के साथ समान मान दोहराने की संभावना जांचकर एकैकीपन तय करें। / With a non-negative derivative, check whether equal values can repeat before deciding one-one nature.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x+\sin x) है, तो (f) के बारे में उचित कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x+\sin x), what is the suitable statement about (f)?
#mixed function
#trigonometric function
#one-one function
#hard
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है क्योंकि यह आवर्ती है / (f) is not one-one because it is periodic
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) केवल पूर्णांकों पर परिभाषित है / (f) is defined only on integers
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
केवल \(\sin x\) आवर्ती है, लेकिन \(x+\sin x\) आवर्ती नहीं है। / Only \(\sin x\) is periodic, but \(x+\sin x\) is not periodic.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर कुल मान पीछे नहीं लौटता, इसलिए समान मान दो अलग आगतों पर नहीं आता। / As (x) increases, the total value does not return to an earlier value, so different inputs do not share the same value.
Step 3
Exam Tip
मिश्रित फलन में पूरे नियम का व्यवहार देखें। / For mixed functions examine the complete rule.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\) तथा (f(x)=\sin x) है, तो (f) एक-एक क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\) and (f(x)=\sin x), why is (f) not one-one?
#trigonometric function
#sine
#one-one function
#class 12
A क्योंकि (f(0)=f\(\pi\)) / Because (f(0)=f\(\pi\))
B क्योंकि \(\sin x\) कभी शून्य नहीं होता / Because \(\sin x\) is never zero
C क्योंकि (f) केवल धनात्मक है / Because (f) is only positive
D क्योंकि (f) परिभाषित नहीं है / Because (f) is not defined
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(0)=f\(\pi\)) / Because (f(0)=f\(\pi\))
Step 1
Concept
त्रिकोणमितीय फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर दोहराव वाला व्यवहार रखते हैं। / Trigonometric functions repeat values over the full real domain.
Step 2
Why this answer is correct
\(0\neq \pi\), लेकिन \(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\) है। / \(0\neq \pi\), but \(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\).
Step 3
Exam Tip
आवर्ती फलन अक्सर पूरे वास्तविक प्रांत पर एक-एक नहीं होते। / Periodic functions are usually not one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\sin x) है, तो (f) एकैकी नहीं है क्योंकि
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sin x), (f) is not one-one because
#trigonometric-function
#sine-function
#not-one-one
A (f(0)=f\(\pi\)) और \(0\neq \pi\) / (f(0)=f\(\pi\)) and \(0\neq \pi\)
B (f(0)\neq f\(\pi\))
C \(\sin x\) कभी परिभाषित नहीं होता / \(\sin x\) is never defined
D इसके सभी मान (2) से बड़े हैं / All its values are greater than (2)
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Correct Answer
A. (f(0)=f\(\pi\)) और \(0\neq \pi\) / (f(0)=f\(\pi\)) and \(0\neq \pi\)
Step 1
Concept
आवर्ती फलन में समान मान दोहरते हैं। / A periodic function repeats values.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\), जबकि \(0\neq \pi\)। / \(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), while \(0\neq \pi\).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों के लिए एकैकीपन जांचते समय आवर्तिता का ध्यान रखें। / For trigonometric functions, remember periodicity while checking one-one nature.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x), तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x), what is the correct statement for (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#trigonometric-function
#periodic
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D रैखिक है / It is linear
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
\(\sin x\) आवर्ती फलन है। / \(\sin x\) is periodic.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\), जबकि \(0\neq \pi\)। / \(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), while \(0\neq \pi\).
Step 3
Exam Tip
आवर्ती फलनों में पूरे वास्तविक क्षेत्र पर एकैकीता सामान्यतः नहीं होती। / Periodic functions are generally not one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\sin x) हो तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sin x), why is (f) not one-one?
#one-one-function
#trigonometric-function
#not-one-one
A क्योंकि \(\sin 0=\sin \pi\) / Because \(\sin 0=\sin \pi\)
B क्योंकि \(\sin 0=1\) / Because \(\sin 0=1\)
C क्योंकि \(\sin x\) हमेशा बढ़ता है / Because \(\sin x\) is always increasing
D क्योंकि \(\sin x\) परिभाषित नहीं है / Because \(\sin x\) is not defined
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Correct Answer
A. क्योंकि \(\sin 0=\sin \pi\) / Because \(\sin 0=\sin \pi\)
Step 1
Concept
\(\sin 0=0\) है। / \(\sin 0=0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin \pi=0\) है जबकि \(0\neq\pi\)। / \(\sin \pi=0\), while \(0\neq\pi\).
Step 3
Exam Tip
आवर्ती फलनों में दो अलग आगतों पर समान मान मिल सकता है। / Periodic functions can give the same value for different inputs.
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यदि (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=\tan x) हो तो (f) कैसा है?
If (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\tan x), what type of function is (f)?
#one-one-function
#trigonometric-function
#tangent-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D अपरिभाषित / Undefined
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
दिए गए अंतराल पर \(\tan x\) लगातार बढ़ता है। / On the given interval, \(\tan x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दो अलग (x) समान स्पर्शज्या मान नहीं दे सकते। / Therefore two different (x) values cannot give the same tangent value.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों को सही अंतराल पर सीमित करने से एकैकीपन मिल सकता है। / Restricting a trigonometric function to a suitable interval can make it one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\sin x) हो तो कौन सा युग्म दिखाता है कि (f) एकैकी नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sin x), which pair shows that (f) is not one-one?
#one-one-function
#trigonometric-function
#counterexample
A (0) और \(\pi\) / (0) and \(\pi\)
B \(\frac{\pi}{2}\) और \(\pi\) / \(\frac{\pi}{2}\) and \(\pi\)
C (0) और \(\frac{\pi}{2}\) / (0) and \(\frac{\pi}{2}\)
D \(\pi\) और \(\frac{3\pi}{2}\) / \(\pi\) and \(\frac{3\pi}{2}\)
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Correct Answer
A. (0) और \(\pi\) / (0) and \(\pi\)
Step 1
Concept
\(\sin 0=0\) है। / \(\sin 0=0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin \pi=0\) है जबकि \(0\neq\pi\)। / \(\sin \pi=0\), while \(0\neq\pi\).
Step 3
Exam Tip
आवर्ती फलनों में अलग कोण समान मान दे सकते हैं। / In periodic functions, different angles can give the same value.
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यदि \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) और (f(x)=\cos x) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) and (f(x)=\cos x), what type of function is (f)?
#one-one-function
#trigonometric-function
#decreasing-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) घटने वाला फलन है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is decreasing.
Step 2
Why this answer is correct
घटने वाला फलन अलग आगतों पर अलग मान देता है। / A decreasing function gives different outputs for different inputs.
Step 3
Exam Tip
घटता हुआ होना भी एकैकीपन की मजबूत पहचान है। / Being strictly decreasing is also a strong sign of one-one property.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\cos x) हो तो एकैकीपन के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\cos x), which statement about one-one property is correct?
#one-one-function
#trigonometric-function
#periodic
A यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
B यह एकैकी है / It is one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
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Correct Answer
A. यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
\(\cos x\) आवर्ती फलन है। / \(\cos x\) is periodic.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos 0=1\) और \(\cos 2\pi=1\) जबकि \(0\neq2\pi\)। / \(\cos 0=1\) and \(\cos 2\pi=1\), while \(0\neq2\pi\).
Step 3
Exam Tip
समान मान वाले अलग कोण मिल जाएँ तो फलन एकैकी नहीं होता। / If different angles give the same value, the function is not one-one.
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यदि \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\) और (f(x)=\sin x) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\) and (f(x)=\sin x), what type of function is (f)?
#one-one-function
#trigonometric-function
#restricted-domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D परिभाषित नहीं / Not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। / On the given interval, \(\sin x\) is increasing.
Step 2
Why this answer is correct
इस अंतराल में दो अलग (x) समान ज्या मान नहीं देते। / In this interval, two different (x) values do not give the same sine value.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलन उचित अंतराल पर एकैकी हो सकते हैं। / Trigonometric functions can be one-one on suitable restricted intervals.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\sin x) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sin x), is (f) one-one?
#one-one-function
#trigonometric-function
#not-one-one
A नहीं / No
B हाँ / Yes
C केवल (0) पर / Only at (0)
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
\(\sin x\) आवर्ती फलन है। / \(\sin x\) is a periodic function.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\) जबकि \(0\neq\pi\)। / \(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), while \(0\neq\pi\).
Step 3
Exam Tip
पूरे वास्तविक प्रांत पर आवर्ती फलन अक्सर एकैकी नहीं होते। / Periodic functions are usually not one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\sin x+\cos x) से दिया गया है, तो (f) का परास क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\sin x+\cos x), what is the range of (f)?
#trigonometric function
#range
#amplitude
A \([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\)
B ([-1,1])
C \([0,\sqrt{2}]\)
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. \([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\)
Step 1
Concept
(\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left\(x+\frac{\pi}{4}\right\)) लिखा जा सकता है। / Write (\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left\(x+\frac{\pi}{4}\right\)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin\) का मान ([-1,1]) में रहता है। / The sine function lies in ([-1,1]).
Step 3
Exam Tip
इसलिए परास \([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\) है। / Hence the range is \([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\sin x), तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sin x), why is (f) not onto?
#trigonometric-function
#onto
#range
A क्योंकि इसका परास ([-1,1]) है / Because its range is ([-1,1])
B क्योंकि इसका प्रांत खाली है / Because its domain is empty
C क्योंकि यह हर जगह परिभाषित नहीं है / Because it is not defined everywhere
D क्योंकि यह केवल धनात्मक मान देता है / Because it gives only positive values
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Correct Answer
A. क्योंकि इसका परास ([-1,1]) है / Because its range is ([-1,1])
Step 1
Concept
\(\sin x\) का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। / The value of \(\sin x\) always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है, जिसमें (2) जैसे मान भी हैं जो छवि नहीं बनते। / The codomain is \(\mathbb{R}\), which includes values like (2) that are not attained.
Step 3
Exam Tip
आच्छादीपन में परास और सहप्रांत की तुलना करें। / For onto checking, compare the range with the codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\cos x) से परिभाषित किया गया है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=\cos x), why is (f) not onto?
#trigonometric function
#onto
#range
A क्योंकि (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (2) has no preimage
B क्योंकि (1) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (1) has no preimage
C क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (0) has no preimage
D क्योंकि (-1) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (-1) has no preimage
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Correct Answer
A. क्योंकि (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (2) has no preimage
Step 1
Concept
\(\cos x\) का परास ([-1,1]) है। / The range of \(\cos x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (2) है, पर \(\cos x=2\) कभी नहीं हो सकता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (2), but \(\cos x=2\) is impossible.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जांचने में सहप्रांत के छूटे मान खोजें। / To test onto, look for values in the codomain that are missed.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\sin x) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\sin x), which statement about (f) is correct?
#trigonometric function
#one-one
#onto
A यह एकैकी और आच्छादी है / It is one-one and onto
B यह एकैकी नहीं और आच्छादी नहीं है / It is neither one-one nor onto
C यह केवल एकैकी है / It is only one-one
D यह केवल आच्छादी है / It is only onto
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Correct Answer
B. यह एकैकी नहीं और आच्छादी नहीं है / It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
\(\sin 0=\sin 2\pi\), इसलिए फलन एकैकी नहीं है। / \(\sin 0=\sin 2\pi\), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin x\) का परास ([-1,1]) है, इसलिए पूरा \(\mathbb{R}\) नहीं ढकता। / The range of \(\sin x\) is ([-1,1]), so it does not cover all of \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में आवर्तिता और परास दोनों जांचें। / For trigonometric functions, check periodicity and range.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}\) पर (xRy) तभी जब \(\sin x=\sin y\)। यह संबंध कैसा है?
On \(A=\mathbb{R}\), (xRy) if \(\sin x=\sin y\). What type of relation is this?
#trigonometric function
#equality
#equivalence
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रामक नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
\(\sin x=\sin x\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(\sin x=\sin x\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\sin x=\sin y\), तो \(\sin y=\sin x\), इसलिए सममिति है। / If \(\sin x=\sin y\), then \(\sin y=\sin x\), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समानता की संक्रामकता से यह संबंध तुल्यता संबंध बनता है। / Transitivity of equality makes this an equivalence relation.
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