Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
अवकलज निकालने पर (f'(x)=\frac{x-2\(x^2+3\)}{\(1+x^2\)2}) मिलता है। / Differentiating gives (f'(x)=\frac{x-2\(x^2+3\)}{\(1+x^2\)2}).
Step 2
Why this answer is correct
यह हर वास्तविक (x) के लिए अऋणात्मक है और फलन मानों को दोहराता नहीं है, इसलिए फलन एकैकी है। / This is non-negative for every real (x), and the function does not repeat values, so it is one-one.
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले फलनों में अवकलज का संकेत जांचना एक सुरक्षित तरीका है। / For rational functions, checking the sign of the derivative is a reliable method.
(a>0) और (b>0) होने से \(3ax^2+b>0\) हर वास्तविक (x) के लिए है। / Since (a>0) and (b>0), \(3ax^2+b>0\) for every real (x).
Step 3
Exam Tip
अवकलज हमेशा धनात्मक हो तो फलन सख्ती से बढ़ता है और एकैकी होता है। / If the derivative is always positive, the function is strictly increasing and one-one.
\(1-\sin x\ge0\) हर (x) के लिए है और फलन कुल मिलाकर बढ़ने की दिशा में चलता है। / \(1-\sin x\ge0\) for every (x), and the function moves overall in the increasing direction.
Step 3
Exam Tip
अवकलज शून्य हो सकता है, फिर भी फलन समान मान दोहरा न रहा हो तो एकैकी हो सकता है। / A derivative may become zero at points, yet the function can still be one-one if it does not repeat values.
\(1+\sin x\ge0\) हर वास्तविक (x) के लिए है और फलन पीछे की ओर नहीं लौटता। / \(1+\sin x\ge0\) for every real (x), and the function does not turn back.
Step 3
Exam Tip
ऐसे फलनों में अवकलज का गैर-ऋणात्मक रहना और कुल बढ़ने का व्यवहार एकैकीपन का संकेत देता है। / For such functions, a non-negative derivative along with overall increasing behaviour indicates one-one nature.
(f'(x)=\cos x-\sin x) है। / (f'(x)=\cos x-\sin x).
Step 2
Why this answer is correct
\([0,\frac{\pi}{4}]\) पर (f'(x)\ge0), इसलिए फलन बढ़ता है और एकैकी है। / On \([0,\frac{\pi}{4}]\), (f'(x)\ge0), so the function is increasing and one-one.
Step 3
Exam Tip
जब अवकलज का संकेत बदलता हो, तो केवल एकरस भाग चुनें। / When the derivative changes sign, choose a monotonic part.
इसका विविक्तकर \(2^2-4\cdot3\cdot1=-8<0\) और अग्र गुणांक धनात्मक है, इसलिए (f'(x)>0) हर (x) पर। / Its discriminant is \(2^2-4\cdot3\cdot1=-8<0\) and the leading coefficient is positive, so (f'(x)>0) for all (x).
Step 3
Exam Tip
अवकलज हमेशा धनात्मक हो तो फलन एकैकी होता है। / If the derivative is always positive, the function is one-one.
अवकलज (f'(x)=3x-2-12x+12=3(x-2)2) है। / The derivative is (f'(x)=3x-2-12x+12=3(x-2)2).
Step 2
Why this answer is correct
यह हर (x) पर (0) या धनात्मक है और फलन घटता नहीं है; वास्तव में (f(x)=(x-2)3+9) है, जो एकैकी है। / It is zero or positive everywhere, and (f(x)=(x-2)3+9), which is one-one.
Step 3
Exam Tip
घन रूप में बदलना कई बार अवकलज से भी साफ समाधान देता है। / Rewriting a cubic can sometimes give a clearer solution than derivative alone.
\(1-\cos x\ge 0\) हर वास्तविक (x) के लिए है और फलन पीछे नहीं लौटता। / \(1-\cos x\ge 0\) for every real (x), and the function does not turn back.
Step 3
Exam Tip
गैर-ऋणात्मक अवकलज के साथ समान मान दोहराने की संभावना जांचकर एकैकीपन तय करें। / With a non-negative derivative, check whether equal values can repeat before deciding one-one nature.
\(1+\cos x\ge 0\) हर (x) के लिए है और फलन घटता नहीं है; साथ ही \(x+\sin x\) समान मान दो अलग बिंदुओं पर नहीं दोहराता। / \(1+\cos x\ge 0\) for every (x), and the function does not repeat the same value at two distinct points.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न में अवकलज के साथ फलन की कुल बढ़ने की दिशा भी देखें। / In such questions, combine derivative sign with overall increasing behaviour.
\(\ln x\) का प्रांत (\(0,\infty\)) है। / The domain of \(\ln x\) is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
(f'(x)=\frac{1}{x}), जो इस प्रांत में हर जगह धनात्मक है, इसलिए फलन बढ़ता है। / (f'(x)=\frac{1}{x}), which is positive throughout this domain, so the function is increasing.
Step 3
Exam Tip
बढ़ता हुआ लघुगणकीय फलन अपने प्रांत पर एकैकी होता है। / An increasing logarithmic function is one-one on its domain.
अवकलज से बढ़ने-घटने का पता लगाएं। / Use the derivative to study monotonicity.
Step 2
Why this answer is correct
(f'(x)=e^x+1), जो हर (x) के लिए धनात्मक है। इसलिए फलन सख्ती से बढ़ता है और एकैकी है। / (f'(x)=e^x+1), which is positive for every (x). Hence the function is strictly increasing and one-one.
Step 3
Exam Tip
अगर अवकलज हमेशा धनात्मक या हमेशा ऋणात्मक हो, तो फलन एकैकी होता है। / A function with derivative always positive or always negative is one-one.
A. \((-\infty,-1]\) पर एकैकी/One-one on (\(-\infty,-1]\)
Step 1
Concept
एकैकी जांचने के लिए बढ़ने-घटने का व्यवहार देखें। / Check monotonic behaviour to test one-one nature.
Step 2
Why this answer is correct
(f'(x)=3x-2-3=3(x-1)(x+1)), इसलिए (\(-\infty,-1]\) पर फलन लगातार बढ़ता है। / (f'(x)=3x-2-3=3(x-1)(x+1)), so the function is increasing on (\(-\infty,-1]\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में ऐसे घन फलनों के लिए अवकलज का संकेत सबसे तेज तरीका है। / In exams, the sign of the derivative is the quickest method for such cubic functions.
