Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\sin^{-1}x\) अपने प्रांत \(\left[-1,1\right]\) में बढ़ता है। ग्राफ संबंधी प्रश्नों में प्रांत और प्रवृत्ति दोनों देखें। / The function \(\sin^{-1}x\) is increasing on its domain \(\left[-1,1\right]\). In graph questions, check both domain and trend.
घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। / The cube-root function is defined for every real number.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर \(\sqrt[3]{x}\) भी बढ़ता है, इसलिए दो अलग इनपुट समान मान नहीं देते। / As (x) increases, \(\sqrt[3]{x}\) also increases, so two different inputs do not give the same value.
Step 3
Exam Tip
घनमूल फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी होता है। / The cube-root function is one-one on the whole real domain.
प्रांत \([0,\infty\)) में ऋणात्मक मान नहीं हैं। / The domain \([0,\infty\)) has no negative values.
Step 2
Why this answer is correct
इस प्रांत पर (x) बढ़ने से \(x^6+1\) बढ़ता है, इसलिए समान मान दो अलग (x) पर नहीं आता। / On this domain, as (x) increases, \(x^6+1\) increases, so the same value is not obtained at two different (x)-values.
Step 3
Exam Tip
सम घात फलन उचित प्रांत पर सीमित होने पर एकैकी बन सकता है। / An even-power function can become one-one when the domain is suitably restricted.
\(1+\sin x\ge0\) हर वास्तविक (x) के लिए है और फलन पीछे की ओर नहीं लौटता। / \(1+\sin x\ge0\) for every real (x), and the function does not turn back.
Step 3
Exam Tip
ऐसे फलनों में अवकलज का गैर-ऋणात्मक रहना और कुल बढ़ने का व्यवहार एकैकीपन का संकेत देता है। / For such functions, a non-negative derivative along with overall increasing behaviour indicates one-one nature.
(\(0,\infty\)) पर \(x^2\) सख्ती से बढ़ता है। / On (\(0,\infty\)), \(x^2\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
\(\ln u\) भी (u>0) पर सख्ती से बढ़ता है, इसलिए (\ln\(x^2\)) इस प्रांत पर एकैकी है। / \(\ln u\) is also strictly increasing for (u>0), so (\ln\(x^2\)) is one-one on this domain.
Step 3
Exam Tip
प्रांत बदलने से उसी सूत्र का एकैकीपन बदल सकता है। / The one-one nature of the same formula can change when the domain changes.
\(\arctan x\) पूरे वास्तविक प्रांत पर परिभाषित है। / \(\arctan x\) is defined on the whole real domain.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर \(\arctan x\) भी बढ़ता है, इसलिए कोई मान दो अलग (x) पर नहीं दोहरता। / As (x) increases, \(\arctan x\) also increases, so no value repeats at two different (x)-values.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मानक एकैकी व्यवहार को याद रखें। / Remember the standard one-one behaviour of inverse trigonometric functions.
