The function \(\sin^{-1}x\) is increasing on its domain \(\left[-1,1\right]\). In graph questions, check both domain and trend.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\left[-1,1\right]\). The function \(\sin^{-1}x\) is increasing on its domain \(\left[-1,1\right]\). In graph questions, check both domain and trend.
Step 3
Exam Tip
\(\sin^{-1}x\) अपने प्रांत \(\left[-1,1\right]\) में बढ़ता है। ग्राफ संबंधी प्रश्नों में प्रांत और प्रवृत्ति दोनों देखें।
The cube-root function is defined for every real number.
Step 2
Why this answer is correct
As (x) increases, \(\sqrt[3]{x}\) also increases, so two different inputs do not give the same value.
Step 3
Exam Tip
The cube-root function is one-one on the whole real domain. चरण 1: घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। चरण 2: (x) बढ़ने पर \(\sqrt[3]{x}\) भी बढ़ता है, इसलिए दो अलग इनपुट समान मान नहीं देते। चरण 3: घनमूल फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी होता है।
On this domain, as (x) increases, \(x^6+1\) increases, so the same value is not obtained at two different (x)-values.
Step 3
Exam Tip
An even-power function can become one-one when the domain is suitably restricted. चरण 1: प्रांत \([0,\infty\)) में ऋणात्मक मान नहीं हैं। चरण 2: इस प्रांत पर (x) बढ़ने से \(x^6+1\) बढ़ता है, इसलिए समान मान दो अलग (x) पर नहीं आता। चरण 3: सम घात फलन उचित प्रांत पर सीमित होने पर एकैकी बन सकता है।
\(1+\sin x\ge0\) for every real (x), and the function does not turn back.
Step 3
Exam Tip
For such functions, a non-negative derivative along with overall increasing behaviour indicates one-one nature. चरण 1: (f'(x)=1+\sin x) है। चरण 2: \(1+\sin x\ge0\) हर वास्तविक (x) के लिए है और फलन पीछे की ओर नहीं लौटता। चरण 3: ऐसे फलनों में अवकलज का गैर-ऋणात्मक रहना और कुल बढ़ने का व्यवहार एकैकीपन का संकेत देता है।
On (\(0,\infty\)), \(x^2\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
\(\ln u\) is also strictly increasing for (u>0), so (\ln\(x^2\)) is one-one on this domain.
Step 3
Exam Tip
The one-one nature of the same formula can change when the domain changes. चरण 1: (\(0,\infty\)) पर \(x^2\) सख्ती से बढ़ता है। चरण 2: \(\ln u\) भी (u>0) पर सख्ती से बढ़ता है, इसलिए (\ln\(x^2\)) इस प्रांत पर एकैकी है। चरण 3: प्रांत बदलने से उसी सूत्र का एकैकीपन बदल सकता है।
(2x+1) is a strictly increasing linear expression.
Step 2
Why this answer is correct
\(e^u\) is also strictly increasing in (u), so \(e^{2x+1}\) is increasing.
Step 3
Exam Tip
A composition of increasing one-one functions can preserve one-one nature. चरण 1: (2x+1) स्वयं एक सख्ती से बढ़ता हुआ रैखिक रूप है। चरण 2: \(e^u\) भी (u) के साथ सख्ती से बढ़ता है, इसलिए \(e^{2x+1}\) भी बढ़ता है। चरण 3: बढ़ते हुए फलनों का संयोजन भी एकैकीपन बनाए रख सकता है।
\(\arctan x\) is defined on the whole real domain.
Step 2
Why this answer is correct
As (x) increases, \(\arctan x\) also increases, so no value repeats at two different (x)-values.
Step 3
Exam Tip
Remember the standard one-one behaviour of inverse trigonometric functions. चरण 1: \(\arctan x\) पूरे वास्तविक प्रांत पर परिभाषित है। चरण 2: (x) बढ़ने पर \(\arctan x\) भी बढ़ता है, इसलिए कोई मान दो अलग (x) पर नहीं दोहरता। चरण 3: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मानक एकैकी व्यवहार को याद रखें।
Therefore, \(m^3+m>n^3+n\), so the function is increasing.
Step 3
Exam Tip
An increasing function on integers is one-one. चरण 1: यदि (m>n), तो \(m^3>n^3\) और (m>n)। चरण 2: इसलिए \(m^3+m>n^3+n\), यानी फलन बढ़ता है। चरण 3: पूर्णांकों पर बढ़ता फलन एकैकी होता है।
\(\sqrt{x}\) is increasing on its domain \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
If \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\), squaring gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
An increasing function gives different values for different inputs. चरण 1: \(\sqrt{x}\) अपने डोमेन \([0,\infty\)) पर बढ़ता है। चरण 2: यदि \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\), तो वर्ग करने पर (a=b)। चरण 3: बढ़ते हुए फलन में अलग आगतों के मान अलग होते हैं।
The value of \(x^3+x\) keeps increasing as (x) increases.
Step 2
Why this answer is correct
More formally, (f'(x)=3x-2+1>0), so the function is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function is one-one. चरण 1: \(x^3+x\) का मान (x) बढ़ने पर लगातार बढ़ता है। चरण 2: अधिक औपचारिक रूप से (f'(x)=3x-2+1>0), इसलिए फलन सख्ती से बढ़ता है। चरण 3: सख्ती से बढ़ता फलन एकैकी होता है।
