Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(x\ge0\) होने से \(x^3+1\ge1\)। / Since \(x\ge0\), \(x^3+1\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान हैं, जो प्राप्त नहीं होते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
सूत्र के साथ प्रांत की सीमा बदलने से परास बदल जाता है। / Changing the domain restriction changes the range.
\(x\ge1\) होने पर \(x-1\ge0\) और हर \(y\ge0\) के लिए \(x=1+\sqrt{y}\) लिया जा सकता है। / Since \(x\ge1\), \(x-1\ge0\), and for every \(y\ge0\), take \(x=1+\sqrt{y}\).
Step 3
Exam Tip
प्रांत की सीमा को ध्यान में रखकर पूर्वप्रतिबिंब चुनें। / Choose the preimage while respecting the domain restriction.
\([0,\infty\)) पर \(x^2\) बढ़ता है। / On \([0,\infty\)), \(x^2\) is increasing.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in[0,\infty\)) के लिए \(x=\sqrt{y}\) उसी प्रांत में है, इसलिए फलन आच्छादी है। अलग (x) अलग \(x^2\) देते हैं, इसलिए एकैकी भी है। / For any \(y\in[0,\infty\)), \(x=\sqrt{y}\) is in the domain, so the function is onto. Different (x) values give different squares, so it is one-one too.
Step 3
Exam Tip
प्रांत बदलने से फलन की प्रकृति बदल सकती है। / Changing the domain can change the nature of a function.
प्रांत \([0,\infty\)) में ऋणात्मक मान नहीं हैं। / The domain \([0,\infty\)) has no negative values.
Step 2
Why this answer is correct
इस प्रांत पर (x) बढ़ने से \(x^6+1\) बढ़ता है, इसलिए समान मान दो अलग (x) पर नहीं आता। / On this domain, as (x) increases, \(x^6+1\) increases, so the same value is not obtained at two different (x)-values.
Step 3
Exam Tip
सम घात फलन उचित प्रांत पर सीमित होने पर एकैकी बन सकता है। / An even-power function can become one-one when the domain is suitably restricted.
(\(0,\infty\)) पर \(x^2\) सख्ती से बढ़ता है। / On (\(0,\infty\)), \(x^2\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
\(\ln u\) भी (u>0) पर सख्ती से बढ़ता है, इसलिए (\ln\(x^2\)) इस प्रांत पर एकैकी है। / \(\ln u\) is also strictly increasing for (u>0), so (\ln\(x^2\)) is one-one on this domain.
Step 3
Exam Tip
प्रांत बदलने से उसी सूत्र का एकैकीपन बदल सकता है। / The one-one nature of the same formula can change when the domain changes.
\(x^2\) में (x) और (-x) का मान समान हो सकता है। / In \(x^2\), (x) and (-x) can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
\([0,\infty\)) पर ऋणात्मक भाग हट जाता है और फलन लगातार बढ़ता है। / On \([0,\infty\)), the negative side is removed and the function is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन को एकैकी बनाने के लिए प्रांत को केवल एक ओर रखें। / To make the square function one-one, keep the domain on one side only.
(|x-2|) का आलेख (x=2) पर मुड़ता है। / The graph of (|x-2|) turns at (x=2).
Step 2
Why this answer is correct
\([2,\infty\)) पर यह (x-2) बन जाता है और लगातार बढ़ता है। / On \([2,\infty\)), it becomes (x-2) and is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन को एकैकी बनाने के लिए मोड़ बिंदु के एक ओर प्रांत सीमित करें। / To make a modulus function one-one, restrict the domain to one side of the turning point.
शीर्ष बिंदु (x=-2) है और इसके दाईं ओर फलन लगातार बढ़ता है। / The vertex is at (x=-2), and the function is strictly increasing to the right of it.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन पूरे वास्तविक समुच्चय पर एकैकी नहीं होता, लेकिन शीर्ष के एक ओर एकैकी होता है। / A quadratic function is not one-one on all real numbers, but it is one-one on one side of its vertex.
प्रांत \([0,\infty\)) है, इसलिए (x) ऋणात्मक नहीं हो सकता। / The domain is \([0,\infty\)), so (x) cannot be negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(y=x^2\) से \(x=\sqrt{y}\) मिलेगा। / From \(y=x^2\), we get \(x=\sqrt{y}\).
Step 3
Exam Tip
यहाँ \(-\sqrt{y}\) नहीं लिया जाएगा क्योंकि प्रांत में ऋणात्मक संख्या नहीं है। / \(-\sqrt{y}\) is not allowed because the domain has no negative numbers.
B. (g) (f) के \(x\geq0\) तक सीमित रूप का प्रतिलोम है/(g) is the inverse of (f) restricted to \(x\geq0\)
Step 1
Concept
(f(x)=x-2+1) पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं है। / (f(x)=x-2+1) is not one-one on all of \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि प्रांत \(x\geq0\) तक सीमित करें, तो \(y=x^2+1\) से \(x=\sqrt{y-1}\) मिलता है। / If its domain is restricted to \(x\geq0\), then \(y=x^2+1\) gives \(x=\sqrt{y-1}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम बनाने के लिए कई बार प्रांत को उचित रूप से सीमित करना पड़ता है। / To define an inverse, the domain often needs a suitable restriction.
