यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=2x+5) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=2x+5), which statement about (f) is correct?
#one-one function
#linear function
#relations and functions
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल स्थिर फलन है / Only a constant function
D परिभाषित नहीं है / Not defined
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
एकैकी जाँचने के लिए मान लें (f(a)=f(b))। / To test one-one, assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (2a+5=2b+5), इसलिए (a=b)। / Then (2a+5=2b+5), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में रैखिक फलन (mx+c) में \(m\neq0\) हो तो वह एकैकी होता है। / In exams, a linear function (mx+c) with \(m\neq0\) is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 ) से परिभाषित किया गया है, तो यह एकैकी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-2 ), why is it not one-one?
#one-one function
#non injective
#square function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (f(1)=f(-1)) / Because (f(1)=f(-1))
B क्योंकि (f(1)\neq f(-1)) / Because (f(1)\neq f(-1))
C क्योंकि (f(0)) अस्तित्व में नहीं है / Because (f(0)) does not exist
D क्योंकि हर मान ऋणात्मक है / Because every value is negative
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(1)=f(-1)) / Because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
एकैकी न होने के लिए दो अलग निवेशों पर समान निर्गत मिलना चाहिए। / A function is not one-one if two different inputs give the same output.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(1\neq-1\), पर (f(1)=1) और (f(-1)=1)। / Here \(1\neq-1\), but (f(1)=1) and (f(-1)=1).
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन को पूरे वास्तविक समुच्चय पर लेते समय संकेतों की जोड़ी जरूर देखें। / For square functions on all real numbers, always check opposite inputs.
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यदि \(f:A\to B\) एकैकी है और (f(a)=f(b)), तो क्या निष्कर्ष निकलेगा?
If \(f:A\to B\) is one-one and (f(a)=f(b)), what conclusion follows?
#one-one function
#definition
#injective
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (a=b)
B \(a\neq b\)
C (f(a)=0)
D (A=B)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
एकैकी फलन की मूल पहचान यही है कि समान निर्गत तभी मिले जब निवेश समान हों। / The main property of a one-one function is that equal outputs come only from equal inputs.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (f(a)=f(b)) से सीधे (a=b) मिलता है। / Therefore (f(a)=f(b)) directly gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
परिभाषा आधारित प्रश्नों में इसी विचार को तुरंत लागू करें। / In definition-based questions, apply this property first.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=7) के लिए सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement for the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=7).
#one-one function
#constant function
#non injective
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल (x=7) पर परिभाषित है / Defined only at (x=7)
D इसका कोई निर्गत नहीं है / It has no output
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
स्थिर फलन हर निवेश को एक ही निर्गत देता है। / A constant function gives the same output for every input.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=7) और (f(2)=7), जबकि \(1\neq2\)। / (f(1)=7) and (f(2)=7), while \(1\neq2\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में स्थिर फलन को सामान्यतः एकैकी नहीं माना जाता, जब तक प्रांत में केवल एक तत्व न हो। / In exams, a constant function is not one-one unless its domain has only one element.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(f:A\to A\) में (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1), तो (f) कैसा है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(f:A\to A\) has (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1), what type is (f)?
#one-one function
#finite set
#mapping
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
निर्गतों की सूची (2,3,1) है। / The outputs are (2,3,1).
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी निर्गत दो बार नहीं आया, इसलिए अलग निवेश अलग निर्गत देते हैं। / No output is repeated, so different inputs have different outputs.
Step 3
Exam Tip
छोटे समुच्चय वाले प्रश्नों में निर्गतों की पुनरावृत्ति देखकर एकैकी जाँचें। / For finite sets, check repetition in the output list.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(f:A\to A\) में (f(1)=1), (f(2)=1), (f(3)=3), तो (f) के लिए सही विकल्प कौन-सा है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(f:A\to A\) has (f(1)=1), (f(2)=1), (f(3)=3), which option is correct for (f)?
#one-one function
#finite mapping
#non injective
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C पहचान फलन है / Identity function
D सभी निर्गत अलग हैं / All outputs are different
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
एकैकी के लिए अलग निवेशों के निर्गत अलग होने चाहिए। / For one-one, different inputs must have different outputs.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\neq2\), लेकिन (f(1)=f(2)=1)। / \(1\neq2\), but (f(1)=f(2)=1).
Step 3
Exam Tip
जब दो तीर एक ही निर्गत पर जाएँ, फलन एकैकी नहीं होता। / If two arrows go to the same output, the function is not one-one.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+1) के लिए यदि (f(a)=f(b)), तो अगला सही चरण क्या होगा?
For \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+1), if (f(a)=f(b)), what is the next correct step?
#one-one function
#proof step
#linear function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (a+1=b+1)
B \(a^2=b^2\)
C (a+b=1)
D (a-b=1)
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Correct Answer
A. (a+1=b+1)
Step 1
Concept
(f(a)) का अर्थ (a+1) और (f(b)) का अर्थ (b+1) है। / (f(a)) means (a+1) and (f(b)) means (b+1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (f(a)=f(b)) से (a+1=b+1) लिखा जाएगा। / So (f(a)=f(b)) becomes (a+1=b+1).
Step 3
Exam Tip
एकैकी सिद्ध करते समय पहले सही प्रतिस्थापन करें। / While proving one-one, first substitute correctly.
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कौन-सा फलन \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) में एकैकी है?
Which function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is one-one?
#one-one function
#linear function
#comparison
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f(x)=3x-4)
B (f(x)=x-2 )
C (f(x)=5)
D (f(x)=|x|)
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Correct Answer
A. (f(x)=3x-4)
Step 1
Concept
(f(x)=3x-4) रैखिक है और उसका गुणांक \(3\neq0\) है। / (f(x)=3x-4) is linear with coefficient \(3\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
बाकी विकल्पों में दो अलग निवेश समान निर्गत दे सकते हैं, जैसे (x) और (-x)। / The other options can give the same output for two different inputs, such as (x) and (-x).
Step 3
Exam Tip
आसान प्रश्नों में पहले रैखिक और स्थिर फलनों को पहचानें। / In easy questions, first identify linear and constant functions.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|) एकैकी क्यों नहीं है?
Why is the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|), not one-one?
#one-one function
#absolute value
#non injective
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (f(2)=f(-2)) / Because (f(2)=f(-2))
B क्योंकि (f(2)\neq f(-2)) / Because (f(2)\neq f(-2))
C क्योंकि (f(0)) अपरिभाषित है / Because (f(0)) is undefined
D क्योंकि (f(x)) हमेशा ऋणात्मक है / Because (f(x)) is always negative
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(2)=f(-2)) / Because (f(2)=f(-2))
Step 1
Concept
निरपेक्ष मान धन और ऋण दोनों संख्याओं को समान धन मान दे सकता है। / Absolute value can give the same positive value for positive and negative inputs.
Step 2
Why this answer is correct
\(2\neq-2\), पर (f(2)=2) और (f(-2)=2)। / \(2\neq-2\), but (f(2)=2) and (f(-2)=2).
Step 3
Exam Tip
( |x| ) वाले फलन में विपरीत चिह्नों की जाँच जल्दी करें। / For ( |x| ) functions, quickly check opposite signs.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) को (f(x)=x+2) से परिभाषित किया गया है, तो क्या (f) एकैकी है?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) is defined by (f(x)=x+2), is (f) one-one?
#one-one function
#natural numbers
#linear function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (x=2) के लिए / Only for (x=2)
D निर्धारित नहीं किया जा सकता / Cannot be determined
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
(a+2=b+2) से (a=b) मिलता है। / From (a+2=b+2), we get (a=b).
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं पर भी (x+c) प्रकार का फलन एकैकी रहता है। / On natural numbers also, a function of the form (x+c) is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) को (f(x)=2x) से दिया गया है, तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) is given by (f(x)=2x), what type is (f)?
#one-one function
#integers
#multiplication
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) मानने पर (2a=2b) होगा। / If (f(a)=f(b)), then (2a=2b).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों ओर (2) से भाग देने पर (a=b) मिलता है। / Dividing both sides by (2), we get (a=b).
Step 3
Exam Tip
गैर-शून्य गुणन वाला फलन अलग निवेशों को अलग निर्गत देता है। / Multiplication by a non-zero number gives different outputs for different inputs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=0x+4), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=0x+4), what is the correct statement about (f)?
#one-one function
#constant function
#linear form
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह पहचान फलन है / It is identity function
D यह (f(x)=x) है / It is (f(x)=x)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
(0x+4) का मान हर (x) के लिए (4) है। / (0x+4) equals (4) for every (x).
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग निवेश, जैसे (1) और (3), एक ही निर्गत (4) देते हैं। / Different inputs, such as (1) and (3), give the same output (4).
Step 3
Exam Tip
रैखिक रूप में गुणांक (0) हो तो फलन स्थिर बन जाता है। / In a linear form, coefficient (0) makes the function constant.
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एकैकी फलन की सही परिभाषा कौन-सी है?
Which is the correct definition of a one-one function?
#one-one function
#definition
#concept
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A अलग निवेशों के निर्गत अलग होते हैं / Different inputs have different outputs
B हर निर्गत शून्य होता है / Every output is zero
C प्रांत और सहप्रांत हमेशा बराबर होते हैं / Domain and codomain are always equal
D फलन केवल एक निवेश लेता है / The function takes only one input
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Correct Answer
A. अलग निवेशों के निर्गत अलग होते हैं / Different inputs have different outputs
Step 1
Concept
एकैकी का अर्थ है कि कोई दो अलग निवेश एक ही निर्गत न दें। / One-one means no two different inputs give the same output.
Step 2
Why this answer is correct
यही बात विकल्प में अलग निवेशों के अलग निर्गत के रूप में दी गई है। / This is exactly stated as different inputs having different outputs.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा याद रखने के लिए सोचें कि एक निर्गत पर दो तीर नहीं आने चाहिए। / Remember it as no two arrows should land on the same output.
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यदि \(f:{2,4,6}\to{1,3,5,7}\) में (f(2)=1), (f(4)=3), (f(6)=5), तो (f) क्या है?
If \(f:{2,4,6}\to{1,3,5,7}\) has (f(2)=1), (f(4)=3), (f(6)=5), what is (f)?
#one-one function
#finite set
#codomain
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D सहप्रांत से बाहर / Outside codomain
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
तीनों निवेशों के निर्गत (1,3,5) हैं। / The outputs for the three inputs are (1,3,5).
Step 2
Why this answer is correct
ये सभी अलग-अलग हैं, इसलिए कोई पुनरावृत्ति नहीं है। / All are different, so there is no repetition.
Step 3
Exam Tip
परिमित समुच्चय में एकैकी जाँच का सबसे सरल तरीका निर्गतों को गिनना है। / For finite sets, the easiest one-one test is to check repeated outputs.
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यदि \(f:{1,2,3,4}\to{a,b,c}\) एकैकी हो, तो यह संभव है या नहीं?
If \(f:{1,2,3,4}\to{a,b,c}\) is one-one, is it possible?
#one-one function
#finite sets
#counting
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A संभव है / Possible
B संभव नहीं है / Not possible
C हमेशा स्थिर होगा / Always constant
D केवल (a=b) होने पर / Only if (a=b)
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Correct Answer
B. संभव नहीं है / Not possible
Step 1
Concept
प्रांत में (4) तत्व हैं और सहप्रांत में केवल (3) तत्व हैं। / The domain has (4) elements and the codomain has only (3) elements.
Step 2
Why this answer is correct
एकैकी के लिए हर निवेश को अलग निर्गत चाहिए, जो यहाँ पर्याप्त नहीं हैं। / A one-one function needs a different output for every input, which is not enough here.
Step 3
Exam Tip
परिमित समुच्चय में यदि प्रांत के तत्व अधिक हों, तो एकैकी फलन संभव नहीं होता। / For finite sets, if the domain has more elements, a one-one function is not possible.
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यदि \(f:{1,2}\to{3,4,5}\) में (f(1)=3) और (f(2)=4), तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If \(f:{1,2}\to{3,4,5}\) has (f(1)=3) and (f(2)=4), choose the correct statement for (f).
#one-one function
#finite mapping
#codomain
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C फलन नहीं है / Not a function
D दोनों निवेश समान हैं / Both inputs are equal
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
प्रांत के दोनों तत्वों के निर्गत (3) और (4) हैं। / The two domain elements have outputs (3) and (4).
Step 2
Why this answer is correct
ये निर्गत अलग हैं, इसलिए फलन एकैकी है। / These outputs are different, so the function is one-one.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत का हर तत्व उपयोग होना जरूरी नहीं है; एकैकी के लिए केवल पुनरावृत्ति न होना जरूरी है। / Every codomain element need not be used; for one-one, only no repetition is needed.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 ) के बारे में सही कथन क्या है?
What is the correct statement about \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 )?
#one-one function
#cube function
#real numbers
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C स्थिर है / Constant
D केवल धन संख्याओं पर परिभाषित है / Defined only for positive numbers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
\(x^3\) वास्तविक संख्याओं पर बढ़ता हुआ व्यवहार रखता है। / \(x^3\) has increasing behavior on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^3=b^3\), तो (a=b) होता है। / If \(a^3=b^3\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
\(x^3\) और \(x^2\) में अंतर याद रखें; घन फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी है। / Remember the difference between \(x^3\) and \(x^2\); the cube function is one-one on \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=1-x), तो (f) की एकैकीता के लिए सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=1-x), what is the correct conclusion about one-one property?
#one-one function
#linear function
#decreasing
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह केवल (x=1) पर काम करता है / It works only at (x=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
(1-a=1-b) से (a=b) मिलता है। / From (1-a=1-b), we get (a=b).
Step 3
Exam Tip
घटते हुए रैखिक फलन भी एकैकी हो सकते हैं, क्योंकि अलग निवेश अलग निर्गत देते हैं। / A decreasing linear function can also be one-one because different inputs give different outputs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 +1), तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +1), is (f) one-one?
#one-one function
#square function
#non injective
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ, क्योंकि (1) जुड़ा है / Yes, because (1) is added
B नहीं, क्योंकि (f(2)=f(-2)) / No, because (f(2)=f(-2))
C हाँ, क्योंकि सभी मान धन हैं / Yes, because all values are positive
D नहीं, क्योंकि (f(0)) नहीं मिलता / No, because (f(0)) is not found
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं, क्योंकि (f(2)=f(-2)) / No, because (f(2)=f(-2))
Step 1
Concept
\(x^2\) में विपरीत संख्याएँ समान वर्ग देती हैं। / In \(x^2\), opposite numbers give the same square.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=5) और (f(-2)=5), जबकि \(2\neq-2\)। / (f(2)=5) and (f(-2)=5), while \(2\neq-2\).
Step 3
Exam Tip
किसी स्थिर संख्या को जोड़ने से वर्ग फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं बनता। / Adding a constant does not make the square function one-one on all \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}^{+}\), (f(x)=x-2 ), जहाँ \(\mathbb{R}^{+}\) धन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}^{+}\), (f(x)=x-2 ), where \(\mathbb{R}^{+}\) is the set of positive real numbers, what type is (f)?
#one-one function
#domain restriction
#square function
#class 12
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
धन वास्तविक संख्याओं में विपरीत ऋणात्मक साथी शामिल नहीं होता। / In positive real numbers, the opposite negative partner is not included.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a,b>0) और \(a^2=b^2\), तो (a=b)। / If (a,b>0) and \(a^2=b^2\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
प्रांत बदलने से एकैकीता बदल सकती है, इसलिए प्रांत ध्यान से पढ़ें। / Changing the domain can change one-one property, so read the domain carefully.
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यदि \(f:{1,2,3}\to{4,5,6}\) एकैकी है, तो (f(1)), (f(2)), (f(3)) के बारे में क्या सही होगा?
If \(f:{1,2,3}\to{4,5,6}\) is one-one, what is true about (f(1)), (f(2)), (f(3))?
#one-one function
#definition
#finite set
#class 12
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A तीनों अलग होंगे / All three will be different
B तीनों समान होंगे / All three will be equal
C केवल दो समान होंगे / Only two will be equal
D इनमें से कोई परिभाषित नहीं होगा / None will be defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. तीनों अलग होंगे / All three will be different
Step 1
Concept
एकैकी फलन में अलग निवेशों के निर्गत अलग होते हैं। / In a one-one function, different inputs have different outputs.
Step 2
Why this answer is correct
(1,2,3) तीन अलग निवेश हैं, इसलिए (f(1)), (f(2)), (f(3)) अलग होंगे। / (1,2,3) are three different inputs, so (f(1)), (f(2)), (f(3)) will be different.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में परिभाषा को सीधे लागू करना सबसे सुरक्षित तरीका है। / In such questions, directly applying the definition is the safest method.
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निम्न में से कौन-सा कथन एकैकी फलन के लिए हमेशा सही है?
Which of the following statements is always true for a one-one function?
#one-one function
#definition
#logical form
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यदि \(a\neq b\), तो (f(a)\neq f(b))
B यदि (a=b), तो (f(a)\neq f(b))
C हर (f(a)) शून्य होता है / Every (f(a)) is zero
D प्रांत खाली होना चाहिए / The domain must be empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यदि \(a\neq b\), तो (f(a)\neq f(b))
Step 1
Concept
एकैकीता का अर्थ है कि अलग निवेश समान निर्गत नहीं दे सकते। / One-one means different inputs cannot give the same output.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a\neq b\) होने पर (f(a)\neq f(b)) होना चाहिए। / Therefore, if \(a\neq b\), then (f(a)\neq f(b)).
Step 3
Exam Tip
परिभाषा के दोनों रूप याद रखें: (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) और (a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b))। / Remember both forms: (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) and (a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=-3x+2), तो (f) की प्रकृति क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=-3x+2), what is the nature of (f)?
#one-one function
#linear function
#negative slope
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D अपरिभाषित / Undefined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
यह रैखिक फलन है और (x) का गुणांक (-3) है। / This is a linear function and the coefficient of (x) is (-3).
Step 2
Why this answer is correct
\(-3\neq0\), इसलिए (f(a)=f(b)) से (a=b) मिलेगा। / Since \(-3\neq0\), (f(a)=f(b)) gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक गुणांक होने पर भी फलन एकैकी हो सकता है। / Even with a negative coefficient, a function can be one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -4x+4), तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -4x+4), why is (f) not one-one?
#one-one function
#quadratic function
#non injective
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (f(1)=f(3)) / Because (f(1)=f(3))
B क्योंकि (f(1)\neq f(3)) / Because (f(1)\neq f(3))
C क्योंकि यह रैखिक है / Because it is linear
D क्योंकि (f(2)) अपरिभाषित है / Because (f(2)) is undefined
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(1)=f(3)) / Because (f(1)=f(3))
Step 1
Concept
(x-2 -4x+4=(x-2)2 ) है। / (x-2 -4x+4=(x-2)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) और (f(3)=1), जबकि \(1\neq3\)। / (f(1)=1) and (f(3)=1), while \(1\neq3\).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग वाले द्विघात फलनों में केंद्र के दोनों ओर समान मान मिल सकते हैं। / In perfect-square quadratic functions, equal values may occur on both sides of the vertex.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=5x), तो (f(a)=f(b)) से क्या मिलेगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=5x), what follows from (f(a)=f(b))?
#one-one function
#proof
#linear function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (a=b)
B (a=-b)
C (a+b=5)
D (a=5b)
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Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) लिखने पर (5a=5b) मिलता है। / Writing (f(a)=f(b)) gives (5a=5b).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों ओर (5) से भाग देने पर (a=b) आता है। / Dividing both sides by (5), we get (a=b).
Step 3
Exam Tip
यही परिणाम दिखाता है कि (f(x)=5x) एकैकी है। / This result shows that (f(x)=5x) is one-one.
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यदि किसी फलन में दो अलग-अलग निवेशों के लिए समान निर्गत मिल जाए, तो वह फलन कैसा होगा?
If a function gives the same output for two different inputs, what type of function is it?
#one-one function
#concept
#counterexample
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C हमेशा सर्वांगी / Always onto
D हमेशा पहचान / Always identity
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं / Not one-one
Step 1
Concept
एकैकी फलन में अलग निवेश समान निर्गत नहीं दे सकते। / In a one-one function, different inputs cannot give the same output.
Step 2
Why this answer is correct
यदि ऐसा मिल जाए, तो एकैकीता टूट जाती है। / If this happens, one-one property fails.
Step 3
Exam Tip
एकैकी न होने को सिद्ध करने के लिए एक ही उदाहरण पर्याप्त होता है। / To prove not one-one, one counterexample is enough.
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निम्न में से कौन-सा फलन \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं है?
Which of the following functions is not one-one on \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)?
#one-one function
#comparison
#square function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f(x)=x-8)
B (f(x)=4x+1)
C (f(x)=x-2 )
D (f(x)=-x)
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Correct Answer
C. (f(x)=x-2 )
Step 1
Concept
\(x^2\) में (x) और (-x) समान निर्गत देते हैं। / In \(x^2\), (x) and (-x) give the same output.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण के लिए (f(3)=9) और (f(-3)=9)। / For example, (f(3)=9) and (f(-3)=9).
Step 3
Exam Tip
बाकी रैखिक फलन हैं जिनमें (x) का गुणांक शून्य नहीं है, इसलिए वे एकैकी हैं। / The other functions are linear with non-zero coefficient of (x), so they are one-one.
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यदि \(f:{1,2,3}\to{p,q,r}\) में (f(1)=p), (f(2)=q), (f(3)=q), तो कौन-सा कथन सही है?
If \(f:{1,2,3}\to{p,q,r}\) has (f(1)=p), (f(2)=q), (f(3)=q), which statement is correct?
#one-one function
#finite mapping
#repeated output
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एकैकी है / (f) is one-one
B (f) एकैकी नहीं है / (f) is not one-one
C (f) फलन नहीं है / (f) is not a function
D (f(1)=f(3))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (f) एकैकी नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
यहाँ (2) और (3) दो अलग निवेश हैं। / Here (2) and (3) are two different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का निर्गत (q) है, इसलिए निर्गत दोहराया गया। / Both have output (q), so an output is repeated.
Step 3
Exam Tip
दोहराया हुआ निर्गत एकैकीता को तुरंत समाप्त कर देता है। / A repeated output immediately breaks one-one property.
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पहचान फलन \(I_A:A\to A\), (I_A(x)=x), कैसा होता है?
What type is the identity function \(I_A:A\to A\), (I_A(x)=x)?
#one-one function
#identity function
#example
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हमेशा एकैकी / Always one-one
B कभी एकैकी नहीं / Never one-one
C केवल खाली समुच्चय पर / Only on empty set
D केवल स्थिर / Only constant
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Correct Answer
A. हमेशा एकैकी / Always one-one
Step 1
Concept
पहचान फलन हर तत्व को उसी तत्व पर भेजता है। / The identity function sends every element to itself.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (I_A(a)=I_A(b)), तो (a=b) सीधे मिलता है। / If (I_A(a)=I_A(b)), then (a=b) directly.
Step 3
Exam Tip
पहचान फलन एकैकीता का सबसे सरल और महत्वपूर्ण उदाहरण है। / The identity function is the simplest and most important example of a one-one function.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+10), तो (f(4)) और (f(5)) की तुलना से क्या पता चलता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+10), what does comparing (f(4)) and (f(5)) show?
#one-one function
#linear function
#values
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A दोनों निर्गत समान हैं / Both outputs are same
B दोनों निर्गत अलग हैं / Both outputs are different
C फलन अपरिभाषित है / Function is undefined
D फलन स्थिर है / Function is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. दोनों निर्गत अलग हैं / Both outputs are different
Step 1
Concept
(f(4)=14) और (f(5)=15) हैं। / (f(4)=14) and (f(5)=15).
Step 2
Why this answer is correct
अलग निवेशों पर अलग निर्गत मिल रहे हैं। / Different inputs are giving different outputs.
Step 3
Exam Tip
एक उदाहरण से एकैकी सिद्ध नहीं होता, पर रैखिक रूप (x+10) पूरी तरह एकैकी है। / One example alone does not prove one-one, but the linear form (x+10) is fully one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x-1|), तो (f) एकैकी नहीं है क्योंकि:
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x-1|), then (f) is not one-one because:
#one-one function
#absolute value
#shifted function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f(0)=f(2))
B (f(0)\neq f(2))
C (f(1)) अपरिभाषित है / (f(1)) is undefined
D (f(x)) हमेशा ऋणात्मक है / (f(x)) is always negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f(0)=f(2))
Step 1
Concept
(f(0)=|-1|=1) है। / (f(0)=|-1|=1).
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=|1|=1), जबकि \(0\neq2\)। / (f(2)=|1|=1), while \(0\neq2\).
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान वाले फलन में केंद्र से समान दूरी वाले निवेश समान निर्गत दे सकते हैं। / In absolute value functions, inputs at equal distance from the center can give the same output.
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यदि (A) में (5) तत्व और (B) में (7) तत्व हैं, तो (A) से (B) में एकैकी फलन के लिए क्या कहा जा सकता है?
If (A) has (5) elements and (B) has (7) elements, what can be said about a one-one function from (A) to (B)?
#one-one function
#finite sets
#counting
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A संभव हो सकता है / It may be possible
B कभी संभव नहीं / Never possible
C केवल स्थिर होगा / It will only be constant
D फलन बन ही नहीं सकता / No function can be formed
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. संभव हो सकता है / It may be possible
Step 1
Concept
एकैकी फलन के लिए सहप्रांत में कम-से-कम उतने अलग तत्व चाहिए जितने प्रांत में हैं। / A one-one function needs at least as many different codomain elements as domain elements.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(7\ge5\), इसलिए अलग निर्गत देना संभव हो सकता है। / Here \(7\ge5\), so assigning different outputs may be possible.
Step 3
Exam Tip
संख्या आधारित प्रश्नों में पहले प्रांत और सहप्रांत के तत्व गिनें। / In counting questions, first count elements of domain and codomain.
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यदि (A) में (6) तत्व और (B) में (4) तत्व हैं, तो \(A\to B\) एकैकी फलन के लिए सही कथन कौन-सा है?
If (A) has (6) elements and (B) has (4) elements, which statement is correct for a one-one function \(A\to B\)?
#one-one function
#finite sets
#impossible
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी फलन संभव है / One-one function is possible
B एकैकी फलन संभव नहीं है / One-one function is not possible
C हर फलन एकैकी होगा / Every function will be one-one
D सभी निर्गत अलग हो सकते हैं / All outputs can be different
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी फलन संभव नहीं है / One-one function is not possible
Step 1
Concept
प्रांत में (6) तत्व हैं पर सहप्रांत में (4) ही तत्व हैं। / The domain has (6) elements, but the codomain has only (4).
Step 2
Why this answer is correct
(6) अलग निवेशों को (4) अलग निर्गतों में बिना दोहराव भेजना संभव नहीं है। / It is impossible to send (6) different inputs to (4) different outputs without repetition.
Step 3
Exam Tip
यदि प्रांत बड़ा हो, तो परिमित समुच्चयों में एकैकीता असंभव होती है। / If the domain is larger, one-one is impossible for finite sets.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x+1}{2}), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x+1}{2}), what is the correct statement about (f)?
#one-one function
#linear function
#fraction
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C स्थिर है / Constant
D केवल (x=-1) पर परिभाषित है / Defined only at (x=-1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\) से (a+1=b+1), इसलिए (a=b)। / From \(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\), we get (a+1=b+1), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
भिन्न रूप वाला रैखिक फलन भी एकैकी हो सकता है। / A fractional-looking linear function can also be one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x-2 ), तो यह एकैकी नहीं है क्योंकि:
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x-2 ), it is not one-one because:
#one-one function
#square function
#non injective
#class 12
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f(1)=f(-1))
B (f(1)\neq f(-1))
C (f(0)) नहीं है / (f(0)) does not exist
D \(2x^2\) हमेशा ऋणात्मक है / \(2x^2\) is always negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
वर्ग के कारण (1) और (-1) का वर्ग समान होता है। / Because of the square, (1) and (-1) have the same square.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\neq-1\)। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन को किसी धन स्थिर से गुणा करने पर भी पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकीता नहीं आती। / Multiplying a square function by a positive constant still does not make it one-one on all \(\mathbb{R}\).
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किस स्थिति में फलन \(f:A\to B\) निश्चित रूप से एकैकी नहीं होगा?
In which situation will a function \(f:A\to B\) definitely not be one-one?
#one-one function
#condition
#counterexample
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A जब \(a\neq b\) और (f(a)=f(b)) / When \(a\neq b\) and (f(a)=f(b))
B जब (a=b) और (f(a)=f(b)) / When (a=b) and (f(a)=f(b))
C जब (B) में अधिक तत्व हों / When (B) has more elements
D जब (f(a)) परिभाषित हो / When (f(a)) is defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. जब \(a\neq b\) और (f(a)=f(b)) / When \(a\neq b\) and (f(a)=f(b))
Step 1
Concept
एकैकीता अलग निवेशों पर समान निर्गत को अनुमति नहीं देती। / One-one property does not allow the same output for different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
\(a\neq b\) और (f(a)=f(b)) मिलते ही फलन एकैकी नहीं रहेगा। / Once \(a\neq b\) and (f(a)=f(b)) occur, the function is not one-one.
Step 3
Exam Tip
एक गलत जोड़ी पूरी एकैकीता को खारिज कर देती है। / One violating pair rejects the whole one-one property.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3), तो (f(2)) और (f(4)) के मान क्या दिखाते हैं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3), what do the values (f(2)) and (f(4)) show?
#one-one function
#values
#linear function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A दो अलग निवेशों पर अलग निर्गत / Different outputs for two different inputs
B दो अलग निवेशों पर समान निर्गत / Same output for two different inputs
C फलन स्थिर है / Function is constant
D फलन केवल (3) देता है / Function gives only (3)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. दो अलग निवेशों पर अलग निर्गत / Different outputs for two different inputs
Step 1
Concept
(f(2)=-1) और (f(4)=1) हैं। / (f(2)=-1) and (f(4)=1).
Step 2
Why this answer is correct
ये अलग निर्गत हैं, जो रैखिक एकैकी व्यवहार से मेल खाते हैं। / These are different outputs, matching linear one-one behavior.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण सिद्धि के लिए (f(a)=f(b)) मानकर (a=b) दिखाएँ। / For a full proof, assume (f(a)=f(b)) and show (a=b).
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(x)=3x+1), तो (f) एकैकी है क्योंकि:
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(x)=3x+1), then (f) is one-one because:
#one-one function
#natural numbers
#linear function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(3a+1=3b+1\Rightarrow a=b\)
B \(3a+1=3b+1\Rightarrow a=-b\)
C हर निर्गत (1) है / Every output is (1)
D हर निवेश समान है / Every input is same
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(3a+1=3b+1\Rightarrow a=b\)
Step 1
Concept
एकैकी सिद्ध करने के लिए (f(a)=f(b)) मानते हैं। / To prove one-one, assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
(3a+1=3b+1) से (3a=3b), अतः (a=b)। / From (3a+1=3b+1), we get (3a=3b), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
(mx+c) में \(m\neq0\) होने पर यह तरीका तेजी से काम करता है। / For (mx+c) with \(m\neq0\), this method works quickly.
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यदि \(f:{0,1,2}\to{0,1,4}\) को (f(x)=x-2 ) से परिभाषित किया गया है, तो (f) कैसा है?
If \(f:{0,1,2}\to{0,1,4}\) is defined by (f(x)=x-2 ), what type is (f)?
#one-one function
#restricted domain
#square function
#class 12
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
दिए गए प्रांत में केवल (0,1,2) हैं। / The given domain contains only (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
इनके निर्गत (0,1,4) हैं और कोई दोहराव नहीं है। / Their outputs are (0,1,4), with no repetition.
Step 3
Exam Tip
\(x^2\) हर प्रांत पर एकैकी नहीं होता, इसलिए दिए गए प्रांत को जरूर देखें। / \(x^2\) is not one-one on every domain, so always check the given domain.
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यदि \(f:{-2,-1,0,1,2}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 ), तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:{-2,-1,0,1,2}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 ), is (f) one-one?
#one-one function
#restricted domain
#square function
#class 12
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (0) पर / Only at (0)
D निर्धारित नहीं / Not determined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं / No
Step 1
Concept
इस प्रांत में (1) और (-1) दोनों हैं। / This domain contains both (1) and (-1).
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) और (f(-1)=1), पर \(1\neq-1\)। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), but \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत में विपरीत संख्याएँ हों, \(x^2\) एकैकी नहीं रहेगा। / If the domain contains opposite numbers, \(x^2\) will not be one-one.
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यदि \(f:A\to B\) एकैकी है, तो (B) के किसी एक तत्व पर (A) के कितने तत्व जा सकते हैं?
If \(f:A\to B\) is one-one, how many elements of (A) can map to one element of (B)?
#one-one function
#arrow diagram
#concept
#class 12
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A अधिकतम एक / At most one
B कम-से-कम दो / At least two
C हमेशा सभी / Always all
D कोई सीमा नहीं / No limit
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. अधिकतम एक / At most one
Step 1
Concept
एकैकी फलन में एक निर्गत पर दो अलग निवेश नहीं जा सकते। / In a one-one function, two different inputs cannot map to the same output.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (B) के किसी एक तत्व पर (A) का अधिकतम एक ही तत्व जा सकता है। / So at most one element of (A) can map to one element of (B).
Step 3
Exam Tip
तीर आरेख में एकैकीता जाँचते समय हर निर्गत पर आने वाले तीर गिनें। / In arrow diagrams, count incoming arrows at each output to test one-one.
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तीर आरेख में यदि सहप्रांत के एक ही तत्व पर दो तीर आ रहे हैं, तो फलन कैसा होगा?
In an arrow diagram, if two arrows arrive at the same element of the codomain, what type is the function?
#one-one function
#arrow diagram
#non injective
#class 12
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C हमेशा सर्वांगी / Always onto
D हमेशा पहचान / Always identity
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं / Not one-one
Step 1
Concept
दो तीरों का एक ही तत्व पर आना बताता है कि दो अलग निवेशों का निर्गत समान है। / Two arrows arriving at the same element means two different inputs have the same output.
Step 2
Why this answer is correct
यह एकैकीता की परिभाषा के विरुद्ध है। / This goes against the definition of one-one.
Step 3
Exam Tip
आरेख वाले प्रश्नों में निर्गत पर आने वाले तीरों को देखकर तुरंत निर्णय लें। / In diagram-based questions, decide quickly by checking incoming arrows at outputs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x}), तो (f) के लिए सही विकल्प कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x}), which option is correct for (f)?
#one-one function
#cube root
#real numbers
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल धन संख्याओं पर परिभाषित है / Defined only for positive numbers
D स्थिर है / Constant
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
घनमूल फलन वास्तविक संख्याओं पर हर मान के लिए अलग निर्गत देता है। / The cube-root function gives different outputs for different real inputs.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}\), तो दोनों ओर घन करने पर (a=b)। / If \(\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}\), cubing both sides gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
घनमूल और वर्गमूल की परिभाषा में अंतर ध्यान रखें। / Keep the difference between cube root and square root in mind.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +2), तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +2), what type is (f)?
#one-one function
#cubic function
#shift
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(x^3\) पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी है। / \(x^3\) is one-one on all \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
(2) जोड़ने से सभी निर्गत समान मात्रा से बदलते हैं, पर दो अलग निवेश समान नहीं बनते। / Adding (2) shifts all outputs equally, but it does not make two different inputs equal.
Step 3
Exam Tip
घन फलन में स्थिर जोड़ने से एकैकीता बनी रहती है। / Adding a constant to a cube function keeps it one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=(x+1)2 ), तो एकैकीता जाँचने के लिए कौन-सी जोड़ी सही प्रतिउदाहरण है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=(x+1)2 ), which pair is a correct counterexample for one-one testing?
#one-one function
#counterexample
#quadratic function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0) और (-2)
B (0) और (1)
C (2) और (3)
D (-1) और (1)
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Correct Answer
A. (0) और (-2)
Step 1
Concept
(f(0)=(1)2 =1) है। / (f(0)=(1)2 =1).
Step 2
Why this answer is correct
(f(-2)=(-1)2 =1), जबकि \(0\neq-2\)। / (f(-2)=(-1)2 =1), while \(0\neq-2\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिउदाहरण में दो अलग निवेश और समान निर्गत साफ दिखाना चाहिए। / A counterexample should clearly show two different inputs with the same output.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=9-2x), तो (f) के लिए सही परिणाम क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=9-2x), what is the correct result for (f)?
#one-one function
#linear function
#proof
#class 12
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? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C सभी निर्गत (9) हैं / All outputs are (9)
D यह \(x^2\) जैसा है / It is like \(x^2\)
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
(9-2a=9-2b) से (-2a=-2b), अतः (a=b)। / From (9-2a=9-2b), we get (-2a=-2b), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
घटते हुए रैखिक फलन को भी एकैकी समझें जब (x) का गुणांक शून्य न हो। / Treat decreasing linear functions as one-one when the coefficient of (x) is non-zero.
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यदि \(f:{1,2,3,4}\to{5,6,7,8}\) में निर्गत क्रमशः (8,7,6,5) हैं, तो (f) कैसा है?
If \(f:{1,2,3,4}\to{5,6,7,8}\) has outputs respectively (8,7,6,5), what type is (f)?
#one-one function
#finite mapping
#output list
#class 12
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? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D अपूर्ण फलन / Incomplete function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
चार निवेशों के निर्गत (8,7,6,5) हैं। / The outputs of the four inputs are (8,7,6,5).
Step 2
Why this answer is correct
कोई निर्गत दोहराया नहीं गया है। / No output is repeated.
Step 3
Exam Tip
क्रम उल्टा होने से फर्क नहीं पड़ता; निर्गत अलग हों तो फलन एकैकी है। / Reverse order does not matter; if outputs are different, the function is one-one.
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यदि \(f:{a,b,c}\to{1,2,3,4}\) में (f(a)=2), (f(b)=2), (f(c)=4), तो (f) क्यों एकैकी नहीं है?
If \(f:{a,b,c}\to{1,2,3,4}\) has (f(a)=2), (f(b)=2), (f(c)=4), why is (f) not one-one?
#one-one function
#finite mapping
#non injective
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि \(a\neq b\) पर (f(a)=f(b)) / Because \(a\neq b\) but (f(a)=f(b))
B क्योंकि (f(c)=4) / Because (f(c)=4)
C क्योंकि सहप्रांत बड़ा है / Because codomain is bigger
D क्योंकि (a=b) / Because (a=b)
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Correct Answer
A. क्योंकि \(a\neq b\) पर (f(a)=f(b)) / Because \(a\neq b\) but (f(a)=f(b))
Step 1
Concept
(a) और (b) अलग-अलग तत्व हैं। / (a) and (b) are different elements.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का निर्गत (2) है, इसलिए समान निर्गत दो बार आया। / Both have output (2), so the same output is repeated.
Step 3
Exam Tip
एकैकीता में ऐसा दोहराव स्वीकार नहीं होता। / Such repetition is not allowed in one-one property.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{1}{3}x-4), तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{1}{3}x-4), what type is (f)?
#one-one function
#linear function
#fraction coefficient
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D केवल पूर्णांकों पर परिभाषित / Defined only on integers
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
यह (mx+c) रूप का रैखिक फलन है। / This is a linear function of the form (mx+c).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(m=\frac{1}{3}\neq0\), इसलिए अलग निवेश अलग निर्गत देते हैं। / Here \(m=\frac{1}{3}\neq0\), so different inputs give different outputs.
Step 3
Exam Tip
भिन्न गुणांक देखकर भ्रमित न हों; शून्य न हो तो रैखिक फलन एकैकी होता है। / Do not be confused by a fractional coefficient; if it is non-zero, the linear function is one-one.
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कक्षा परीक्षा में एक छात्र ने लिखा कि (f(x)=x-2 ) पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी है। कौन-सा उदाहरण उसकी गलती सुधारता है?
In a class test, a student wrote that (f(x)=x-2 ) is one-one on all \(\mathbb{R}\). Which example corrects the mistake?
#one-one function
#counterexample
#square function
#class 12
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f(2)=f(-2)) और \(2\neq-2\)
B (f(2)=4) और (2=2)
C (f(0)=0)
D (f(3)=9)
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Correct Answer
A. (f(2)=f(-2)) और \(2\neq-2\)
Step 1
Concept
गलती सुधारने के लिए ऐसा उदाहरण चाहिए जिसमें दो अलग निवेश समान निर्गत दें। / To correct the mistake, we need an example where two different inputs give the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=4) और (f(-2)=4), पर \(2\neq-2\)। / (f(2)=4) and (f(-2)=4), but \(2\neq-2\).
Step 3
Exam Tip
एक स्पष्ट प्रतिउदाहरण पूरे दावे को गलत सिद्ध कर देता है। / One clear counterexample disproves the whole claim.
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