The identity function is always one-one. चरण 1: (f(x)=x) हर तत्व को उसी पर भेजता है। चरण 2: अलग-अलग तत्वों के प्रतिबिंब भी अलग-अलग रहेंगे। चरण 3: सर्वसम फलन हमेशा एकैकी होता है।
The identity function sends every element to itself.
Step 2
Why this answer is correct
If (I_A(a)=I_A(b)), then (a=b) directly.
Step 3
Exam Tip
The identity function is the simplest and most important example of a one-one function. चरण 1: पहचान फलन हर तत्व को उसी तत्व पर भेजता है। चरण 2: यदि (I_A(a)=I_A(b)), तो (a=b) सीधे मिलता है। चरण 3: पहचान फलन एकैकीता का सबसे सरल और महत्वपूर्ण उदाहरण है।
A. द्वैकीय लेकिन सर्वसमिका नहीं/Bijective but not identity
Step 1
Concept
Every element of (A) has exactly one image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
The images (2,3,1) are distinct and cover all of (A).
Step 3
Exam Tip
Since (1) does not map to (1), it is not the identity function. चरण 1: (A) के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब है इसलिए यह फलन है। चरण 2: प्रतिबिंब (2,3,1) अलग-अलग हैं और पूरा (A) मिल जाता है। चरण 3: क्योंकि (1) का प्रतिबिंब (1) नहीं है इसलिए यह सर्वसमिका फलन नहीं है।
A. (a=1,b=0) या \(a=-1,b\in\mathbb{R}\)/(a=1,b=0) or \(a=-1,b\in\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
(f(f(x))=a(ax+b)+b=a-2x+b(a+1)).
Step 2
Why this answer is correct
Equating it with (x) gives \(a^2=1\) and (b(a+1)=0).
Step 3
Exam Tip
Hence (a=1,b=0), or (a=-1) with any real (b). चरण 1: (f(f(x))=a(ax+b)+b=a-2x+b(a+1))। चरण 2: इसे (x) के बराबर करने पर \(a^2=1\) और (b(a+1)=0) मिलता है। चरण 3: इसलिए (a=1) पर (b=0), और (a=-1) पर (b) कोई भी वास्तविक हो सकता है।
A function that gives (x) for every (x) is the identity function. चरण 1: (\(g\circ f\)(x)=g(3x-1))। चरण 2: (g(3x-1)=\frac{3x-1+1}{3}=x)। चरण 3: जिसका मान हर (x) पर (x) ही हो, वह तत्समक फलन होता है।
This means (f) and (g) completely undo each other's action.
Step 3
Exam Tip
Therefore (g) is the inverse of (f), so \(g=f^{-1}\). चरण 1: दोनों संयुक्त फलन पहचान फलन दे रहे हैं। चरण 2: इसका अर्थ है कि (f) और (g) एक-दूसरे की क्रिया को पूरी तरह उलटते हैं। चरण 3: इसलिए (g), (f) का प्रतिलोम है और \(g=f^{-1}\) होगा।
Applying (g) first and then (f) brings the original value back.
Step 3
Exam Tip
Therefore (\(f\circ g\)(x)=x). चरण 1: प्रतिलोम फलन एक-दूसरे की क्रिया को उलट देते हैं। चरण 2: पहले (g) और फिर (f) लगाने पर मूल मान वापस आता है। चरण 3: इसलिए (\(f\circ g\)(x)=x)।
A. (f) उभयैक है और \(g=f^{-1}\)/(f) is bijective and \(g=f^{-1}\)
Step 1
Concept
Both compositions give identity functions.
Step 2
Why this answer is correct
This means (f) and (g) completely undo each other's action.
Step 3
Exam Tip
Therefore (f) is bijective and (g) is the inverse of (f). चरण 1: दोनों संयुक्त फलन पहचान फलन दे रहे हैं। चरण 2: इसका अर्थ है कि (f) और (g) एक-दूसरे की क्रिया को पूरी तरह उलटते हैं। चरण 3: इसलिए (f) उभयैक है और (g), (f) का प्रतिलोम है।
Applying (f) first and then (g) brings the original value back.
Step 3
Exam Tip
Therefore (\(g\circ f\)(x)=x). चरण 1: प्रतिलोम फलन एक-दूसरे की क्रिया को उलट देते हैं। चरण 2: पहले (f) और फिर (g) लगाने पर मूल मान वापस आता है। चरण 3: इसलिए (\(g\circ f\)(x)=x)।
Therefore \(g=f^{-1}\). चरण 1: दोनों संयुक्त फलन पहचान फलन दे रहे हैं। चरण 2: इसका अर्थ है कि (f) और (g) एक-दूसरे की क्रिया को उलटते हैं। चरण 3: इसलिए \(g=f^{-1}\) होगा।
The composition of inverse functions gives the identity function.
Step 2
Why this answer is correct
This means applying (g) first and then (f) returns the original value.
Step 3
Exam Tip
Therefore (\(f\circ g\)(x)=x). चरण 1: प्रतिलोम फलनों का संयुक्त फलन पहचान फलन देता है। चरण 2: इसका अर्थ है कि पहले (g) और फिर (f) लगाने पर मूल मान वापस आता है। चरण 3: इसलिए (\(f\circ g\)(x)=x)।
The identity function keeps every value unchanged.
Step 3
Exam Tip
Therefore its inverse is also (f^{-1}(x)=x). चरण 1: (f(x)=x) पहचान फलन है। चरण 2: पहचान फलन हर मान को वैसा ही रखता है। चरण 3: इसलिए इसका प्रतिलोम भी (f^{-1}(x)=x) ही होता है।
A. वे एक-दूसरे के प्रतिलोम हैं/They are inverses of each other
Step 1
Concept
(f(g(x))=f(x-3)=(x-3)+3=x).
Step 2
Why this answer is correct
(g(f(x))=g(x+3)=(x+3)-3=x).
Step 3
Exam Tip
Both composites give the identity function, so they are inverses. चरण 1: (f(g(x))=f(x-3)=(x-3)+3=x)। चरण 2: (g(f(x))=g(x+3)=(x+3)-3=x)। चरण 3: दोनों संयुक्त फलन पहचान फलन देते हैं, इसलिए वे प्रतिलोम हैं।
In the identity function, no value is changed. चरण 1: (f(x)=x) में हर आगत की छवि वही आगत है। चरण 2: ऐसा फलन पहचान फलन कहलाता है। चरण 3: पहचान फलन में कोई मान बदला नहीं जाता।
