The cube function is onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\). चरण 1: हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) वास्तविक होता है। चरण 2: इस (x) पर (f(x)=x-3=y) मिल जाता है। चरण 3: घन फलन \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है।
\(a^3=b^3\) gives (a=b), because the cube function preserves order on real numbers.
Step 3
Exam Tip
Simple odd-power functions are often one-one on the whole real domain. चरण 1: (f(a)=f(b)) मानें। चरण 2: \(a^3=b^3\) से (a=b) मिलता है, क्योंकि वास्तविक संख्याओं में घन फलन क्रम बनाए रखता है। चरण 3: विषम घात वाले सरल घात फलन अक्सर पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी होते हैं।
Remember the difference between \(x^3\) and \(x^2\); the cube function is one-one on \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(x^3\) वास्तविक संख्याओं पर बढ़ता हुआ व्यवहार रखता है। चरण 2: यदि \(a^3=b^3\), तो (a=b) होता है। चरण 3: \(x^3\) और \(x^2\) में अंतर याद रखें; घन फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी है।
A. यह एकैकी है पर आच्छादी नहीं/It is one-one but not onto
Step 1
Concept
Cubes of different integers are different, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Not every integer is a cube; for example, (2) is not the cube of any integer.
Step 3
Exam Tip
For power functions on integers, examine the range carefully. चरण 1: अलग पूर्णांकों के घन अलग होते हैं इसलिए फलन एकैकी है। चरण 2: सभी पूर्णांक घन नहीं होते जैसे (2) किसी पूर्णांक का घन नहीं है। चरण 3: पूर्णांक प्रांत में घात फलन का परास ध्यान से देखें।
A. यह तुल्यता सम्बन्ध है और हर वर्ग एकल है/It is an equivalence relation and every class is singleton
Step 1
Concept
For every real number, \(a^3=a^3\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Equality of cubes works in both directions and is transitive.
Step 3
Exam Tip
Over real numbers, \(a^3=b^3\) implies (a=b), so every equivalence class is singleton. चरण 1: हर वास्तविक संख्या के लिए \(a^3=a^3\), इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। चरण 2: घन की समानता उलटी दिशा में भी सही रहती है और समानता संक्रामक भी होती है। चरण 3: वास्तविक संख्याओं में \(a^3=b^3\) से (a=b), इसलिए हर तुल्यता वर्ग में केवल वही संख्या आती है।
