समुच्चय \(A=\{-1,0,1\}\) पर (a*b=a+b-ab) परिभाषित है। क्या यह (A) पर द्विआधारी संक्रिया है?
On \(A=\{-1,0,1\}\), (a*b=a+b-ab) is defined. Is it a binary operation on (A)?
#binary operations
#closure
#counterexample
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? Hint Small clue
A हाँ क्योंकि परिणाम हमेशा (A) में है / Yes because the result always lies in (A)
B नहीं क्योंकि \((-1)*(-1) \notin A\) / No because \((-1)*(-1) \notin A\)
C हाँ क्योंकि संक्रिया क्रमविनिमेय है / Yes because the operation is commutative
D नहीं क्योंकि (0) तत्समक नहीं है / No because (0) is not the identity
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Correct Answer
B. नहीं क्योंकि \((-1)*(-1) \notin A\) / No because \((-1)*(-1) \notin A\)
Step 1
Concept
द्विआधारी संक्रिया के लिए हर जोड़ी का परिणाम उसी समुच्चय में होना चाहिए। / A binary operation needs closure for every ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
((-1)*(-1)=-1-1-1=-3), और \(-3 \notin A\)। / ((-1)*(-1)=-1-1-1=-3), and \(-3 \notin A\).
Step 3
Exam Tip
संवृतता टूटते ही संक्रिया द्विआधारी नहीं रहती। / If closure fails even once, the operation is not binary on the set.
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समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर संक्रिया (a*b=a+b+ab) दी है। सही कथन चुनिए।
On \(\mathbb{Z}\), the operation (a*b=a+b+ab) is defined. Choose the correct statement.
#binary operations
#closure
#integers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह बंद संक्रिया है / It is a closed operation
B यह बंद संक्रिया नहीं है / It is not closed
C यह केवल धनात्मक मान देती है / It gives only positive values
D यह केवल (a=b) पर परिभाषित है / It is defined only when (a=b)
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Correct Answer
A. यह बंद संक्रिया है / It is a closed operation
Step 1
Concept
बंदता के लिए परिणाम फिर \(\mathbb{Z}\) में होना चाहिए। / For closure, the result must again lie in \(\mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
(a+b+ab) में योग और गुणनफल दोनों पूर्णांक रहते हैं। / In (a+b+ab), sums and products of integers remain integers.
Step 3
Exam Tip
बंदता जाँचते समय केवल परिणाम के समुच्चय पर ध्यान दें। / In closure questions, focus only on the set of the result.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। इस संक्रिया के बारे में सही कथन चुनिए।
On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. Choose the correct statement about this operation.
#binary operations
#associative
#commutative
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्रमविनिमेय है पर सहचारी नहीं / Commutative but not associative
B सहचारी है पर क्रमविनिमेय नहीं / Associative but not commutative
C क्रमविनिमेय और सहचारी दोनों है / Both commutative and associative
D न क्रमविनिमेय है न सहचारी / Neither commutative nor associative
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Correct Answer
C. क्रमविनिमेय और सहचारी दोनों है / Both commutative and associative
Step 1
Concept
(a+b+ab=b+a+ba), इसलिए संक्रिया क्रमविनिमेय है। / (a+b+ab=b+a+ba), so the operation is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
(1+(a*b)=(1+a)(1+b)), इसलिए तीन अवयवों के समूह बदलने पर गुणन का क्रम नहीं बदलता। / Since (1+(a*b)=(1+a)(1+b)), regrouping three elements behaves like ordinary multiplication.
Step 3
Exam Tip
कठिन सहचारीता में ऐसा रूपांतरण समय बचाता है। / For harder associativity checks, a smart transformation saves time.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर संक्रिया (a*b=a+b+4) है। इसका तत्समक अवयव क्या है?
On \(\mathbb{R}\), the operation (a*b=a+b+4) is defined. What is its identity element?
#binary operations
#identity
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (-4)
B (0)
C (4)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), (a*e=a) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
(a+e+4=a) से (e=-4) मिलता है। / From (a+e+4=a), we get (e=-4).
Step 3
Exam Tip
तत्समक में (a) सभी मान ले सकता है, इसलिए (e) स्थिर होना चाहिए। / In identity questions, (a) may be any value, so (e) must be fixed.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) में किस अवयव का प्रतिलोम उपलब्ध नहीं है?
In the operation (a*b=a+b+ab) on real numbers, which element does not have an inverse?
#binary operations
#inverse existence
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (1)
C (-1)
D (2)
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Step 1
Concept
इस संक्रिया का तत्समक (0) है। / The identity of this operation is (0).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (b) के लिए (a+b+ab=0), यानी (b(1+a)=-a) मिलता है। / For inverse (b), (a+b+ab=0), so (b(1+a)=-a).
Step 3
Exam Tip
(a=-1) पर (1+a=0) हो जाता है, इसलिए प्रतिलोम नहीं मिलेगा। / When (a=-1), (1+a=0), so no inverse exists.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+4) है। (6) का प्रतिलोम क्या होगा?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+4). What is the inverse of (6)?
#binary operations
#inverse
#identity
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (-14)
B (-10)
C (14)
D (2)
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Step 1
Concept
पहले तत्समक निकालें, (a+e+4=a) से (e=-4)। / First find the identity: (a+e+4=a), so (e=-4).
Step 2
Why this answer is correct
(6) के प्रतिलोम (x) के लिए (6+x+4=-4)। / If (x) is the inverse of (6), then (6+x+4=-4).
Step 3
Exam Tip
इससे (x=-14) आता है, इसलिए प्रतिलोम निकालने से पहले तत्समक अवश्य निकालें। / This gives (x=-14), so always find identity before inverse.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-2ab) परिभाषित है। (3) का प्रतिलोम क्या है?
On real numbers, (a*b=a+b-2ab) is defined. What is the inverse of (3)?
#binary operations
#inverse
#algebraic operation
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(\frac{3}{5}\)
B \(-\frac{3}{5}\)
C \(\frac{5}{3}\)
D \(-\frac{5}{3}\)
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Correct Answer
A. \(\frac{3}{5}\)
Step 1
Concept
(a*e=a) से (e=0) मिलता है। / From (a*e=a), the identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (b) के लिए (3+b-6b=0), इसलिए (3-5b=0)। / For inverse (b), (3+b-6b=0), so (3-5b=0).
Step 3
Exam Tip
\(b=\frac{3}{5}\), इसलिए प्रतिलोम निकालते समय परिणाम को तत्समक के बराबर रखें। / Hence \(b=\frac{3}{5}\). Always equate the operation result to the identity.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। इसका तत्समक अवयव कौन-सा है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). Which is its identity element?
#binary operations
#identity
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (0)
B (1)
C (-1)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (a+e-ae=a) लिखें। / For identity (e), write (a+e-ae=a).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (e(1-a)=0) मिलता है, जो सभी (a) के लिए (e=0) से पूरा होता है। / This gives (e(1-a)=0), which is satisfied for all (a) by (e=0).
Step 3
Exam Tip
दोनों ओर से (a) घटाकर सरल करना तेज तरीका है। / Subtracting (a) from both sides is a quick simplification.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-2ab) में किस अवयव का प्रतिलोम नहीं मिलेगा?
In the operation (a*b=a+b-2ab) on real numbers, which element will not have an inverse?
#binary operations
#inverse existence
#exception
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (0)
B \(\frac{1}{2}\)
C (1)
D (2)
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Correct Answer
B. \(\frac{1}{2}\)
Step 1
Concept
तत्समक (0) है। / The identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(a+b-2ab=0) से (b(1-2a)=-a) मिलता है। / From (a+b-2ab=0), we get (b(1-2a)=-a).
Step 3
Exam Tip
\(a=\frac{1}{2}\) पर (1-2a=0), इसलिए प्रतिलोम संभव नहीं है। / For \(a=\frac{1}{2}\), (1-2a=0), so an inverse is not possible.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। (4) का प्रतिलोम क्या है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). What is the inverse of (4)?
#binary operations
#inverse
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(\frac{4}{3}\)
B \(-\frac{4}{3}\)
C \(\frac{3}{4}\)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
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Correct Answer
A. \(\frac{4}{3}\)
Step 1
Concept
इस संक्रिया का तत्समक (0) है। / The identity for this operation is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(4*x=0) से (4+x-4x=0), अतः (4-3x=0)। / From (4*x=0), (4+x-4x=0), so (4-3x=0).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(x=\frac{4}{3}\); ऋण चिह्न लगाते समय सावधानी रखें। / Hence \(x=\frac{4}{3}\); be careful with negative signs.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+k ab) परिभाषित है। यदि (2) का प्रतिलोम \(-\frac{1}{2}\) है, तो (k) का मान क्या होगा?
On real numbers, (a*b=a+b+k ab) is defined. If the inverse of (2) is \(-\frac{1}{2}\), what is the value of (k)?
#binary operations
#parameter
#inverse
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (2)
C (-1)
D (-2)
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Step 1
Concept
इस रूप में तत्समक (0) है। / The identity for this form is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(2) और \(-\frac{1}{2}\) प्रतिलोम हैं, इसलिए (2-\frac{1}{2}+k\cdot2\cdot\left\(-\frac{1}{2}\right\)=0)। / Since (2) and \(-\frac{1}{2}\) are inverses, (2-\frac{1}{2}+k\cdot2\cdot\left\(-\frac{1}{2}\right\)=0).
Step 3
Exam Tip
\(\frac{3}{2}-k=0\) नहीं, सही सरलीकरण \(2-\frac{1}{2}-k=0\) देता है, अतः \(k=\frac{3}{2}\); इसलिए दिए विकल्पों में कोई सही नहीं होता। / This gives \(\frac{3}{2}-k=0\), so \(k=\frac{3}{2}\); hence none of the listed options would be correct.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}-{-1}\) पर (a*b=a+b+ab) है। तत्समक अवयव क्या है?
On \(A=\mathbb{R}-{-1}\), (a*b=a+b+ab). What is the identity element?
#binary operations
#identity
#domain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (1)
C (-1)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
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Step 1
Concept
(a*e=a) से (a+e+ae=a) मिलता है। / From (a*e=a), we get (a+e+ae=a).
Step 2
Why this answer is correct
(e(1+a)=0) होगा और \(a\neq -1\) है। / Thus (e(1+a)=0), and \(a\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (e=0); दिए गए समुच्चय की शर्त को हमेशा पढ़ें। / Hence (e=0); always read the set condition carefully.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}-{-1}\) पर (a*b=a+b+ab) है। (2) का प्रतिलोम क्या होगा?
On \(A=\mathbb{R}-{-1}\), (a*b=a+b+ab). What is the inverse of (2)?
#binary operations
#inverse
#domain
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(-\frac{2}{3}\)
B \(\frac{2}{3}\)
C (3)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
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Correct Answer
A. \(-\frac{2}{3}\)
Step 1
Concept
इस संक्रिया का तत्समक (0) है। / The identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(2*x=0) से (2+x+2x=0), अतः (3x=-2)। / From (2*x=0), (2+x+2x=0), so (3x=-2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(x=-\frac{2}{3}\); उत्तर समुच्चय (A) में भी है। / Hence \(x=-\frac{2}{3}\), and it also belongs to (A).
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+ab) है। किस संख्या का प्रतिलोम नहीं बनता?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+ab). Which number does not have an inverse?
#binary operations
#inverse
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (-1)
B (0)
C (1)
D (3)
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Step 1
Concept
तत्समक (0) है। / The identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(a*x=0) से (a+x+ax=0), इसलिए \(x=\frac{-a}{1+a}\)। / From (a*x=0), (a+x+ax=0), so \(x=\frac{-a}{1+a}\).
Step 3
Exam Tip
(a=-1) पर हर शून्य हो जाता है, इसलिए प्रतिलोम नहीं है। / At (a=-1), the denominator is zero, so inverse does not exist.
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समुच्चय \(\mathbb{Q}-{0}\) पर \(a*b=\frac{ab}{5}\) है। तत्समक अवयव कौन-सा है?
On \(\mathbb{Q}-{0}\), \(a*b=\frac{ab}{5}\). Which is the identity element?
#binary operations
#rational numbers
#identity
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (5)
B (1)
C \(\frac{1}{5}\)
D (0)
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए \(\frac{ae}{5}=a\) होना चाहिए। / For identity (e), \(\frac{ae}{5}=a\).
Step 2
Why this answer is correct
\(a\neq0\), इसलिए दोनों ओर (a) से भाग देने पर (e=5)। / Since \(a\neq0\), divide by (a) to get (e=5).
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाली संक्रिया में पहले हर को साफ करें। / In fraction-based operations, clear the denominator first.
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समुच्चय \(\mathbb{Q}-{0}\) पर \(a*b=\frac{ab}{5}\) है। (10) का प्रतिलोम क्या होगा?
On \(\mathbb{Q}-{0}\), \(a*b=\frac{ab}{5}\). What is the inverse of (10)?
#binary operations
#inverse
#rational numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{5}{2}\)
B (2)
C \(\frac{1}{2}\)
D (50)
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Correct Answer
A. \(\frac{5}{2}\)
Step 1
Concept
इस संक्रिया का तत्समक (5) है। / The identity is (5).
Step 2
Why this answer is correct
(10*x=5) से \(\frac{10x}{5}=5\), अतः (2x=5)। / From (10*x=5), \(\frac{10x}{5}=5\), so (2x=5).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(x=\frac{5}{2}\); प्रतिलोम को तत्समक के बराबर रखकर निकालें। / Hence \(x=\frac{5}{2}\); find inverse by equating to the identity.
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समुच्चय \(A=\{2,4,6,8\}\) पर (a*b=\max(a,b)) है। इसका तत्समक अवयव क्या है?
On \(A=\{2,4,6,8\}\), (a*b=\max(a,b)). What is its identity element?
#binary operations
#max
#identity
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (2)
B (4)
C (8)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (\max(a,e)=a) सभी \(a\in A\) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\max(a,e)=a) for all \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसा तभी होगा जब (e) सबसे छोटा अवयव हो। / This happens only when (e) is the smallest element.
Step 3
Exam Tip
इस समुच्चय में सबसे छोटा अवयव (2) है। / The smallest element of this set is (2).
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समुच्चय \(A=\{2,4,6,8\}\) पर (a*b=\min(a,b)) है। तत्समक अवयव कौन-सा है?
On \(A=\{2,4,6,8\}\), (a*b=\min(a,b)). Which is the identity element?
#binary operations
#min
#identity
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (8)
B (2)
C (4)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (\min(a,e)=a) सभी \(a\in A\) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\min(a,e)=a) for all \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
यह तभी संभव है जब (e) सबसे बड़ा अवयव हो। / This is possible only when (e) is the greatest element.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यहाँ तत्समक (8) है। / Hence the identity here is (8).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,6\}\) पर (a*b=\gcd(a,b)) है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On \(A=\{1,2,3,6\}\), (a*b=\gcd(a,b)). What is the identity element of this operation?
#binary operations
#gcd
#identity
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (6)
B (1)
C (2)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (\gcd(a,e)=a) हर \(a\in A\) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\gcd(a,e)=a) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि हर (a), (e) को भाग दे। / This means every (a) must divide (e).
Step 3
Exam Tip
(6) सभी दिए अवयवों का गुणज है, इसलिए (e=6)। / (6) is a multiple of all given elements, so (e=6).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,6\}\) पर (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)) है। तत्समक अवयव क्या होगा?
On \(A=\{1,2,3,6\}\), (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)). What will be the identity element?
#binary operations
#lcm
#identity
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (6)
C (2)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (\operatorname{lcm}(a,e)=a) चाहिए। / For identity (e), (\operatorname{lcm}(a,e)=a).
Step 2
Why this answer is correct
इसके लिए (e) हर (a) को भाग देना चाहिए। / For this, (e) must divide every (a).
Step 3
Exam Tip
(1) सभी अवयवों को भाग देता है, इसलिए वही तत्समक है। / (1) divides all elements, so it is the identity.
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समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a-b) है। कौन-सा कथन सही है?
On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a-b). Which statement is correct?
#binary operations
#integers
#subtraction
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह बंद है पर क्रमविनिमेय नहीं / It is closed but not commutative
B यह बंद नहीं है / It is not closed
C यह क्रमविनिमेय है / It is commutative
D इसमें द्विपक्षीय तत्समक (0) है / It has two-sided identity (0)
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Correct Answer
A. यह बंद है पर क्रमविनिमेय नहीं / It is closed but not commutative
Step 1
Concept
दो पूर्णांकों का अंतर पूर्णांक होता है, इसलिए बंदता है। / Difference of two integers is an integer, so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
\(5-2\neq2-5\), इसलिए क्रमविनिमेयता नहीं है। / \(5-2\neq2-5\), so it is not commutative.
Step 3
Exam Tip
केवल (a*0=a) देखकर तत्समक न मानें, (0*a=a) भी जाँचें। / Do not accept identity only from (a*0=a); also check (0*a=a).
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समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) दिया है। यह द्विआधारी संक्रिया क्यों नहीं है?
On \(\mathbb{Z}\), \(a*b=\frac{a+b}{2}\) is defined. Why is it not a binary operation?
#binary operations
#not closed
#counterexample
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि परिणाम हमेशा पूर्णांक नहीं होता / Because the result is not always an integer
B क्योंकि यह कभी परिभाषित नहीं होता / Because it is never defined
C क्योंकि यह क्रमविनिमेय नहीं है / Because it is not commutative
D क्योंकि (a=b) आवश्यक है / Because (a=b) is necessary
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि परिणाम हमेशा पूर्णांक नहीं होता / Because the result is not always an integer
Step 1
Concept
द्विआधारी संक्रिया के लिए परिणाम \(\mathbb{Z}\) में रहना चाहिए। / For a binary operation, the result must remain in \(\mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(1*2=\frac{3}{2}\), जो पूर्णांक नहीं है। / \(1*2=\frac{3}{2}\), which is not an integer.
Step 3
Exam Tip
बंदता गलत सिद्ध करने के लिए एक विरोधी उदाहरण पर्याप्त है। / One counterexample is enough to disprove closure.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a^2+b^2\) है। सही गुण चुनिए।
On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a^2+b^2\). Choose the correct property.
#binary operations
#commutative
#not associative
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहीं / It is commutative but not associative
B यह साहचर्य है पर क्रमविनिमेय नहीं / It is associative but not commutative
C यह बंद नहीं है / It is not closed
D इसका तत्समक (1) है / Its identity is (1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहीं / It is commutative but not associative
Step 1
Concept
\(a^2+b^2=b^2+a^2\), इसलिए क्रमविनिमेयता है। / Since \(a^2+b^2=b^2+a^2\), it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((1*1)*2=8), जबकि (1*(1*2)=26), इसलिए साहचर्य नहीं है। / ((1*1)*2=8), while (1*(1*2)=26), so it is not associative.
Step 3
Exam Tip
साहचर्य जाँचने में छोटे मान बहुत उपयोगी होते हैं। / Small values are very useful for testing associativity.
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यदि \(\mathbb{R}\) पर (a*b=ka+b) क्रमविनिमेय है, तो (k) का मान क्या होगा?
If (a*b=ka+b) on \(\mathbb{R}\) is commutative, what is the value of (k)?
#binary operations
#parameter
#commutative
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (0)
C (-1)
D कोई भी वास्तविक संख्या / Any real number
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Step 1
Concept
क्रमविनिमेयता के लिए (ka+b=kb+a) सभी (a,b) के लिए चाहिए। / For commutativity, (ka+b=kb+a) for all (a,b).
Step 2
Why this answer is correct
इसे ((k-1)a=(k-1)b) की तरह देखें। / View it as ((k-1)a=(k-1)b).
Step 3
Exam Tip
सभी मानों के लिए यह तभी सही होगा जब (k=1)। / This holds for all values only when (k=1).
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यदि \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+kab) है, तो यह संक्रिया किन (k) के लिए साहचर्य है?
If (a*b=a+b+kab) on \(\mathbb{R}\), for which values of (k) is the operation associative?
#binary operations
#associative
#parameter
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हर वास्तविक (k) के लिए / For every real (k)
B केवल (k=0) के लिए / Only for (k=0)
C केवल (k=1) के लिए / Only for (k=1)
D किसी भी (k) के लिए नहीं / For no value of (k)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हर वास्तविक (k) के लिए / For every real (k)
Step 1
Concept
((a*b)*c) का विस्तार करने पर \(a+b+c+kab+kbc+kca+k^2abc\) मिलता है। / Expanding ((a*b)*c) gives \(a+b+c+kab+kbc+kca+k^2abc\).
Step 2
Why this answer is correct
(a*(b*c)) का विस्तार भी यही आता है। / Expanding (a*(b*c)) gives the same expression.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह हर वास्तविक (k) के लिए साहचर्य है। / Hence it is associative for every real (k).
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+c) है। किसी अवयव (p) का प्रतिलोम क्या होगा?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+c). What will be the inverse of an element (p)?
#binary operations
#inverse
#parameter
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (-p-2c)
B (-p-c)
C (p+2c)
D (c-p)
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Correct Answer
A. (-p-2c)
Step 1
Concept
पहले तत्समक (e) निकालें: (a+e+c=a), इसलिए (e=-c)। / First find identity: (a+e+c=a), so (e=-c).
Step 2
Why this answer is correct
(p*x=e) से (p+x+c=-c)। / From (p*x=e), (p+x+c=-c).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (x=-p-2c), यही (p) का प्रतिलोम है। / Hence (x=-p-2c), the inverse of (p).
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समुच्चय \(\mathbb{R}^+\) पर (a*b=ab) है। इसका तत्समक अवयव क्या है?
On \(\mathbb{R}^+\), (a*b=ab). What is its identity element?
#binary operations
#positive real
#identity
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (0)
C (-1)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (ae=a) होना चाहिए। / For identity (e), (ae=a).
Step 2
Why this answer is correct
(a>0), इसलिए (e=1)। / Since (a>0), (e=1).
Step 3
Exam Tip
सामान्य गुणन में (1) तत्समक होता है, लेकिन समुच्चय में उसका होना भी जरूरी है। / In usual multiplication, (1) is identity, but it must also belong to the given set.
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समुच्चय \(\mathbb{R}^+\) पर \(a*b=\frac{a}{b}\) है। सही कथन क्या है?
On \(\mathbb{R}^+\), \(a*b=\frac{a}{b}\). What is the correct statement?
#binary operations
#positive real
#division
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह द्विआधारी है पर क्रमविनिमेय नहीं / It is binary but not commutative
B यह द्विआधारी नहीं है / It is not binary
C यह क्रमविनिमेय है / It is commutative
D इसका द्विपक्षीय तत्समक (1) है / Its two-sided identity is (1)
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Correct Answer
A. यह द्विआधारी है पर क्रमविनिमेय नहीं / It is binary but not commutative
Step 1
Concept
धनात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से भाग देने पर धनात्मक संख्या मिलती है, इसलिए बंदता है। / Dividing a positive number by a positive number gives a positive number, so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a}{b}\) सामान्यतः \(\frac{b}{a}\) के बराबर नहीं होता। / \(\frac{a}{b}\) is generally not equal to \(\frac{b}{a}\).
Step 3
Exam Tip
भाग वाली संक्रिया में बाएँ और दाएँ पक्ष अलग-अलग जाँचें। / In division operations, check left and right sides separately.
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समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b+1) है। (5) का प्रतिलोम क्या होगा?
On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a+b+1). What is the inverse of (5)?
#binary operations
#integers
#inverse
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (-7)
B (-5)
C (7)
D (0)
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (a+e+1=a), इसलिए (e=-1)। / For identity (e), (a+e+1=a), so (e=-1).
Step 2
Why this answer is correct
(5*x=-1) से (5+x+1=-1)। / From (5*x=-1), (5+x+1=-1).
Step 3
Exam Tip
अतः (x=-7); प्रतिलोम को हमेशा तत्समक से जोड़कर देखें। / Hence (x=-7); always connect inverse with identity.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-2) है। तत्समक अवयव क्या होगा?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-2). What will be the identity element?
#binary operations
#identity
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (2)
B (0)
C (-2)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
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Step 1
Concept
(a*e=a) लिखें। / Write (a*e=a).
Step 2
Why this answer is correct
(a+e-2=a) से (e=2) मिलता है। / From (a+e-2=a), we get (e=2).
Step 3
Exam Tip
स्थिर संख्या घट या जुड़ रही हो, तो तत्समक उसी को संतुलित करता है। / When a fixed number is added or subtracted, identity balances that fixed number.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-2) है। (-3) का प्रतिलोम क्या है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-2). What is the inverse of (-3)?
#binary operations
#inverse
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (7)
B (3)
C (-7)
D (5)
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Step 1
Concept
इस संक्रिया का तत्समक (2) है। / The identity is (2).
Step 2
Why this answer is correct
(-3*x=2) से (-3+x-2=2), अतः (x=7)। / From (-3*x=2), (-3+x-2=2), so (x=7).
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक संख्या के साथ समीकरण बनाते समय हर पद साफ लिखें। / With negative numbers, write every term clearly.
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समुच्चय \(A=\{0,1\}\) पर (a*b=|a-b|) है। इसका तत्समक अवयव क्या है?
On \(A=\{0,1\}\), (a*b=|a-b|). What is its identity element?
#binary operations
#finite set
#identity
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (1)
C दोनों (0) और (1) / Both (0) and (1)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
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Step 1
Concept
(a*0=|a-0|=a) क्योंकि (a) केवल (0) या (1) है। / (a*0=|a-0|=a) because (a) is only (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
(0*a=|0-a|=a) भी सही है। / (0*a=|0-a|=a) also holds.
Step 3
Exam Tip
छोटे समुच्चय में दोनों दिशा जाँचना जरूरी है। / For small sets, check both directions.
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समुच्चय \(A=\{0,1\}\) पर (a*b=ab) है। तत्समक अवयव कौन-सा है?
On \(A=\{0,1\}\), (a*b=ab). Which is the identity element?
#binary operations
#finite set
#multiplication
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (0)
C दोनों (0) और (1) / Both (0) and (1)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
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Step 1
Concept
गुणन में \(a\cdot1=a\) होता है। / In multiplication, \(a\cdot1=a\).
Step 2
Why this answer is correct
\(1\cdot a=a\) भी सभी \(a\in A\) के लिए सही है। / \(1\cdot a=a\) also holds for all \(a\in A\).
Step 3
Exam Tip
तत्समक वही है जो दोनों ओर से अवयव को नहीं बदलता। / Identity is the element that does not change an element from either side.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। (2*(3*4)) का मान क्या है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). What is the value of (2*(3*4))?
#binary operations
#evaluation
#brackets
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (7)
B (10)
C (-10)
D (24)
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Step 1
Concept
पहले कोष्ठक के अंदर (3*4) निकालें: (3+4-12=-5)। / First evaluate inside the bracket: (3*4=3+4-12=-5).
Step 2
Why this answer is correct
अब (2*(-5)=2+(-5)-2(-5)=7)। / Now (2*(-5)=2+(-5)-2(-5)=7).
Step 3
Exam Tip
द्विआधारी संक्रिया में कोष्ठक का क्रम बहुत ध्यान से मानें। / In binary operation questions, follow the bracket order carefully.
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समुच्चय \(A=\{0,1\}\) पर (a*b=a+b-ab) है। कौन-सा अवयव अवशोषक है?
On \(A=\{0,1\}\), (a*b=a+b-ab). Which element is absorbing?
#binary operations
#absorbing element
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (0)
C दोनों (0) और (1) / Both (0) and (1)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
अवशोषक (z) के लिए (a*z=z) और (z*a=z) चाहिए। / For absorbing element (z), (a*z=z) and (z*a=z) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
(a*1=a+1-a=1) और (1*a=1+a-a=1)। / (a*1=a+1-a=1) and (1*a=1+a-a=1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (1) अवशोषक है; इसे तत्समक से अलग पहचानें। / Hence (1) is absorbing; do not confuse it with identity.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+ab) है। इस संक्रिया का अवशोषक अवयव क्या है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+ab). What is the absorbing element of this operation?
#binary operations
#absorbing element
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (-1)
B (0)
C (1)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
अवशोषक (z) के लिए (a*z=z) चाहिए। / For absorbing element (z), (a*z=z) is needed.
Step 2
Why this answer is correct
(a*(-1)=a-1-a=-1) और ((-1)*a=-1+a-a=-1)। / (a*(-1)=a-1-a=-1) and ((-1)*a=-1+a-a=-1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (-1) अवशोषक है; यह प्रतिलोम न होने वाला अवयव भी बनता है। / Hence (-1) is absorbing; it also becomes the element without inverse.
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यदि (a*b=a+b-ab), तो (1-(a*b)) किसके बराबर है?
If (a*b=a+b-ab), then (1-(a*b)) is equal to what?
#binary operations
#factorisation
#concept
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((1-a)(1-b))
B (ab)
C (a+b)
D (1+a+b)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ((1-a)(1-b))
Step 1
Concept
(1-(a*b)=1-(a+b-ab)) लिखें। / Write (1-(a*b)=1-(a+b-ab)).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर (1-a-b+ab) मिलता है। / Simplifying gives (1-a-b+ab).
Step 3
Exam Tip
यह ((1-a)(1-b)) है, जो साहचर्य समझने में बहुत मदद करता है। / This equals ((1-a)(1-b)), which helps in understanding associativity.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}-{1}\) पर (a*b=a+b-ab) है। यह (A) में बंद क्यों है?
On \(A=\mathbb{R}-{1}\), (a*b=a+b-ab). Why is it closed in (A)?
#binary operations
#closure
#domain restriction
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (1-(a*b)=(1-a)(1-b)\neq0) / Because (1-(a*b)=(1-a)(1-b)\neq0)
B क्योंकि (a*b=1) हमेशा होता है / Because (a*b=1) always
C क्योंकि (a*b=0) हमेशा होता है / Because (a*b=0) always
D क्योंकि (a=b) जरूरी है / Because (a=b) is necessary
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (1-(a*b)=(1-a)(1-b)\neq0) / Because (1-(a*b)=(1-a)(1-b)\neq0)
Step 1
Concept
\(a,b\in A\) होने से \(a\neq1\) और \(b\neq1\)। / Since \(a,b\in A\), \(a\neq1\) and \(b\neq1\).
Step 2
Why this answer is correct
(1-(a*b)=(1-a)(1-b)), जो शून्य नहीं है। / (1-(a*b)=(1-a)(1-b)), which is not zero.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(a*b\neq1\), अतः परिणाम फिर (A) में है। / Therefore \(a*b\neq1\), so the result again lies in (A).
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। इस संक्रिया के बारे में सही कथन क्या है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). Which statement about this operation is correct?
#binary operations
#associative
#commutative
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह साहचर्य और क्रमविनिमेय दोनों है / It is both associative and commutative
B यह केवल क्रमविनिमेय है / It is only commutative
C यह केवल साहचर्य है / It is only associative
D यह न साहचर्य है न क्रमविनिमेय / It is neither associative nor commutative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह साहचर्य और क्रमविनिमेय दोनों है / It is both associative and commutative
Step 1
Concept
सूत्र (a+b-ab) में (a,b) बदलने से मान नहीं बदलता, इसलिए क्रमविनिमेयता है। / The formula (a+b-ab) is unchanged when (a,b) are interchanged, so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
(1-(a*b)=(1-a)(1-b)), इसलिए गुणन की तरह साहचर्य भी मिलता है। / Since (1-(a*b)=(1-a)(1-b)), associativity follows like multiplication.
Step 3
Exam Tip
कठिन संक्रिया में ऐसा सरल रूप खोजें। / In hard operations, look for such simpler forms.
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समुच्चय \(\mathbb{R}-{0}\) पर \(a*b=\frac{a}{b}\) है। साहचर्य के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
On \(\mathbb{R}-{0}\), \(a*b=\frac{a}{b}\). What is the correct conclusion about associativity?
#binary operations
#not associative
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह साहचर्य नहीं है / It is not associative
B यह साहचर्य है / It is associative
C यह बंद नहीं है / It is not closed
D इसका तत्समक (0) है / Its identity is (0)
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Correct Answer
A. यह साहचर्य नहीं है / It is not associative
Step 1
Concept
((8*4)*2=\(\frac{8}{4}\)*2=1)। / ((8*4)*2=\(\frac{8}{4}\)*2=1).
Step 2
Why this answer is correct
(8*(4*2)=8*(2)=4)। / (8*(4*2)=8*(2)=4).
Step 3
Exam Tip
दोनों मान अलग हैं, इसलिए साहचर्य नहीं है। / The two values are different, so the operation is not associative.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=\sqrt{a^2+b^2}\) है। इसका तत्समक अवयव क्या है?
On \(\mathbb{R}\), \(a*b=\sqrt{a^2+b^2}\). What is its identity element?
#binary operations
#identity
#tricky
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
B (0)
C (1)
D (-1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए \(\sqrt{a^2+e^2}=a\) सभी वास्तविक (a) के लिए नहीं चल सकता यदि (a<0) हो। / For identity (e), \(\sqrt{a^2+e^2}=a\) must hold for every real (a), which fails when (a<0).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (a*0=|a|), इसलिए ऋणात्मक (a) पर (a) नहीं मिलता। / Even (a*0=|a|), not (a) for negative (a).
Step 3
Exam Tip
इसलिए वास्तव में \(\mathbb{R}\) पर कोई तत्समक नहीं है; दिए विकल्पों में भ्रम से बचें। / Therefore there is actually no identity on \(\mathbb{R}\); avoid the tempting option (0).
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3\}\) पर (a*b), (a+b) को (4) से भाग देने पर प्राप्त शेष है। तत्समक अवयव क्या है?
On \(A=\{0,1,2,3\}\), (a*b) is the remainder obtained when (a+b) is divided by (4). What is the identity element?
#binary operations
#modulo
#identity
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (1)
C (2)
D (3)
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Step 1
Concept
यहाँ संक्रिया (4) के शेष पर आधारित जोड़ है। / This is addition based on remainders modulo (4).
Step 2
Why this answer is correct
(a+0) को (4) से भाग देने पर वही शेष (a) मिलता है। / Dividing (a+0) by (4) gives the same remainder (a).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (0) तत्समक है; शेषफल वाली संक्रिया में पहले मूल जोड़ समझें। / Hence (0) is the identity; in remainder operations, understand the basic addition first.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4,5,6\}\) पर (a*b), (a+b) को (7) से भाग देने पर प्राप्त शेष है। (3) का प्रतिलोम क्या है?
On \(A=\{0,1,2,3,4,5,6\}\), (a*b) is the remainder when (a+b) is divided by (7). What is the inverse of (3)?
#binary operations
#modulo
#inverse
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (4)
B (3)
C (1)
D (6)
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Step 1
Concept
इस संक्रिया में तत्समक (0) है। / The identity for this operation is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(3) के प्रतिलोम (x) के लिए (3+x) का (7) से शेष (0) होना चाहिए। / For inverse (x) of (3), the remainder of (3+x) on division by (7) must be (0).
Step 3
Exam Tip
(3+4=7), इसलिए प्रतिलोम (4) है। / Since (3+4=7), the inverse is (4).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b), (ab) को (5) से भाग देने पर प्राप्त शेष है। (2) का प्रतिलोम क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (a*b) is the remainder when (ab) is divided by (5). What is the inverse of (2)?
#binary operations
#modulo multiplication
#inverse
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (3)
B (2)
C (4)
D (1)
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Step 1
Concept
गुणन के शेष में तत्समक (1) है। / In multiplication with remainders, the identity is (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) के प्रतिलोम (x) के लिए (2x) का (5) से शेष (1) होना चाहिए। / For inverse (x) of (2), the remainder of (2x) on division by (5) must be (1).
Step 3
Exam Tip
\(2\cdot3=6\) और (6) का शेष (1) है, इसलिए उत्तर (3) है। / \(2\cdot3=6\), whose remainder is (1), so the answer is (3).
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}-{1}\) पर (a*b=a+b-ab) है। ((2*3)*4) का मान क्या है?
On \(A=\mathbb{R}-{1}\), (a*b=a+b-ab). What is the value of ((2*3)*4)?
#binary operations
#evaluation
#brackets
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (7)
B (-5)
C (11)
D (-7)
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Step 1
Concept
पहले (2*3=2+3-6=-1)। / First (2*3=2+3-6=-1).
Step 2
Why this answer is correct
अब ((-1)*4=-1+4-(-1)(4)=7)। / Now ((-1)*4=-1+4-(-1)(4)=7).
Step 3
Exam Tip
कोष्ठक का क्रम न बदलें, पहले अंदर की संक्रिया करें। / Do not change the bracket order; evaluate the inner operation first.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) है। इसके तत्समक अवयव के बारे में सही कथन क्या है?
On \(\mathbb{R}\), \(a*b=\frac{a+b}{2}\). What is the correct statement about its identity element?
#binary operations
#no identity
#real numbers
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A तत्समक अवयव अस्तित्व में नहीं है / Identity element does not exist
B तत्समक (0) है / Identity is (0)
C तत्समक (1) है / Identity is (1)
D तत्समक \(\frac{1}{2}\) है / Identity is \(\frac{1}{2}\)
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Correct Answer
A. तत्समक अवयव अस्तित्व में नहीं है / Identity element does not exist
Step 1
Concept
(a*e=a) से \(\frac{a+e}{2}=a\) मिलता है। / From (a*e=a), \(\frac{a+e}{2}=a\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (e=a) आता है, जो स्थिर अवयव नहीं है। / This gives (e=a), which is not a fixed element.
Step 3
Exam Tip
तत्समक सभी (a) के लिए एक ही होना चाहिए, इसलिए यहाँ नहीं है। / Identity must be the same for every (a), so it does not exist here.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+1) है। यदि (x*3=7), तो (x) का मान क्या है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+1). If (x*3=7), what is the value of (x)?
#binary operations
#equation
#evaluation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (3)
B (2)
C (4)
D (-3)
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Step 1
Concept
दिए सूत्र में (a=x) और (b=3) रखें। / Put (a=x) and (b=3) in the given formula.
Step 2
Why this answer is correct
(x*3=x+3+1=7), इसलिए (x+4=7)। / (x*3=x+3+1=7), so (x+4=7).
Step 3
Exam Tip
अतः (x=3); ऐसी गणना में परिभाषा को सीधे लगाएँ। / Hence (x=3); apply the definition directly in such calculations.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=2a+3b) है। यदि (x*2=16), तो (x) का मान क्या है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=2a+3b). If (x*2=16), what is the value of (x)?
#binary operations
#equation
#linear operation
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (5)
B (4)
C (6)
D (8)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(x*2) में (a=x) और (b=2) रखें। / In (x*2), put (a=x) and (b=2).
Step 2
Why this answer is correct
(2x+3(2)=16), इसलिए (2x+6=16)। / (2x+3(2)=16), so (2x+6=16).
Step 3
Exam Tip
इससे (x=5) मिलता है; पहले संक्रिया लगाएँ, फिर सरल समीकरण हल करें। / This gives (x=5); first apply the operation, then solve the simple equation.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर संक्रिया (a*b=a+b-2ab) है। (3) का प्रतिलोम क्या होगा?
On \(\mathbb{R}\), the operation (a*b=a+b-2ab) is defined. What is the inverse of (3)?
#binary operations
#inverse
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{3}{5}\)
B \(-\frac{3}{5}\)
C (5)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
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Correct Answer
A. \(\frac{3}{5}\)
Step 1
Concept
पहले तत्समक निकालें। (a+e-2ae=a) से (e=0) मिलता है। / First find the identity. From (a+e-2ae=a), we get (e=0).
Step 2
Why this answer is correct
(3) के प्रतिलोम (x) के लिए (3+x-6x=0), इसलिए (3-5x=0)। / For inverse (x) of (3), (3+x-6x=0), so (3-5x=0).
Step 3
Exam Tip
अतः \(x=\frac{3}{5}\); प्रतिलोम निकालते समय परिणाम को तत्समक के बराबर रखें। / Hence \(x=\frac{3}{5}\); while finding inverse, equate the result to the identity.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर संक्रिया (a*b=a+b-2ab) है। इस संक्रिया का अवशोषक अवयव क्या है?
On \(\mathbb{R}\), the operation (a*b=a+b-2ab) is defined. What is the absorbing element of this operation?
#binary operations
#absorbing element
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{1}{2}\)
B (0)
C (1)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{1}{2}\)
Step 1
Concept
अवशोषक (z) के लिए (a*z=z) और (z*a=z) दोनों होने चाहिए। / For absorbing element (z), both (a*z=z) and (z*a=z) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
(a*z=a+z-2az=z) से (a(1-2z)=0) मिलता है। / From (a*z=a+z-2az=z), we get (a(1-2z)=0).
Step 3
Exam Tip
सभी (a) के लिए यह तभी सही है जब \(z=\frac{1}{2}\); इसलिए अवशोषक अवयव \(\frac{1}{2}\) है। / This holds for every (a) only when \(z=\frac{1}{2}\); hence the absorbing element is \(\frac{1}{2}\).
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