Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(a*(b*c)=a+\mu\(b+\mu c\)=a+\mu b+\mu-2c)। बराबरी के लिए \(\mu c=\mu^2c\) हर (c) पर चाहिए, इसलिए \(\mu=\mu^2\)। / (a*(b*c)=a+\mu\(b+\mu c\)=a+\mu b+\mu-2c). Equality needs \(\mu c=\mu^2c\) for every (c), so \(\mu=\mu^2\).
Step 3
Exam Tip
अतः \(\mu=0\) या \(\mu=1\)। / Thus \(\mu=0\) or \(\mu=1\).
((a*b)*c) और (a*(b*c)) की तुलना करें। / Compare ((a*b)*c) and (a*(b*c)).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों तरफ \(a+b+c+kab+kac+kbc+k^2abc\) मिलता है। इसलिए बराबरी हर वास्तविक (k) के लिए सही है। / Both sides become \(a+b+c+kab+kac+kbc+k^2abc\). Hence associativity holds for every real (k).
Step 3
Exam Tip
साहचर्य जांच में विस्तार पूरा करें, जल्दी अनुमान न लगाएं। / In associativity checks, expand fully before deciding.
A. यह क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों है/It is both commutative and associative
Step 1
Concept
शेषफल (0) या (1) ही आता है, इसलिए क्रिया आंतरिक है। / The remainder is always (0) or (1), so the operation is closed.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) का शेषफल क्रम बदलने से नहीं बदलता और योग के साहचर्य गुण से यह साहचर्य भी है। / The remainder of (a+b) does not change with order, and associativity follows from addition modulo (2).
Step 3
Exam Tip
छोटे समुच्चय में क्रिया सारणी बनाकर गुण जल्दी जाँचे जा सकते हैं। / For small sets, an operation table quickly verifies properties.
A. यह साहचर्य और क्रमविनिमेय दोनों है/It is both associative and commutative
Step 1
Concept
सूत्र (a+b-ab) में (a,b) बदलने से मान नहीं बदलता, इसलिए क्रमविनिमेयता है। / The formula (a+b-ab) is unchanged when (a,b) are interchanged, so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
(1-(a*b)=(1-a)(1-b)), इसलिए गुणन की तरह साहचर्य भी मिलता है। / Since (1-(a*b)=(1-a)(1-b)), associativity follows like multiplication.
Step 3
Exam Tip
कठिन संक्रिया में ऐसा सरल रूप खोजें। / In hard operations, look for such simpler forms.
((a*b)*c) फैलाने पर (a+b+c+kab+kc(a+b+kab)) मिलता है। / Expanding ((a*b)*c) gives (a+b+c+kab+kc(a+b+kab)).
Step 2
Why this answer is correct
(a*(b*c)) फैलाने पर (a+b+c+kbc+ka(b+c+kbc)) मिलता है। / Expanding (a*(b*c)) gives (a+b+c+kbc+ka(b+c+kbc)).
Step 3
Exam Tip
दोनों में \(a+b+c+kab+kac+kbc+k^2abc\) समान है, इसलिए हर (k) पर साहचर्य है। / Both equal \(a+b+c+kab+kac+kbc+k^2abc\), so it is associative for every (k).
A. क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों/Both commutative and associative
Step 1
Concept
(a*b=a+b-1=b+a-1=b*a), इसलिए क्रमविनिमेय है। / (a*b=a+b-1=b+a-1=b*a), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=a+b+c-2) और (a*(b*c)=a+b+c-2), इसलिए साहचर्य भी है। / ((a*b)*c=a+b+c-2) and (a*(b*c)=a+b+c-2), so it is associative.
Step 3
Exam Tip
रैखिक जोड़ में समान स्थिर घटाव दोनों कोष्ठकों में मिल जाए तो साहचर्य बनता है। / In shifted addition, if the constant adjusts equally in both groupings, associativity holds.
A. क्रमविनिमेय और साहचर्य/Commutative and associative
Step 1
Concept
सामान्य गुणन क्रमविनिमेय है, इसलिए (ab=ba)। / Usual multiplication is commutative, so (ab=ba).
Step 2
Why this answer is correct
सामान्य गुणन साहचर्य भी है, इसलिए ((ab)c=a(bc))। / It is also associative, so ((ab)c=a(bc)).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में पहले संवृतता देखें; यहाँ (1) और (-1) का गुणन फिर (A) में ही रहता है। / In a finite set, check closure first; here products of (1) and (-1) remain in (A).
A. यह क्रमविनिमेय और साहचर्य है/It is commutative and associative
Step 1
Concept
(a+b-ab) में (a,b) बदलने से मान नहीं बदलता, इसलिए क्रमविनिमेय है। / (a+b-ab) is unchanged by interchanging (a,b), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
(1-(a*b)=(1-a)(1-b)), इसलिए दोनों तरफ (1-) मान लेने पर समान गुणन बनता है। अतः साहचर्य है। / Since (1-(a*b)=(1-a)(1-b)), both bracketings lead to the same product form, so it is associative.
Step 3
Exam Tip
कभी-कभी पूरक रूप लिखना तेजी से समाधान देता है। / Complement-type rewriting can make associativity quick.
C. यह क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों है/It is both commutative and associative
Step 1
Concept
(a+b+ab) में (a) और (b) की अदला-बदली से मान नहीं बदलता, इसलिए क्रमविनिमेय है। / (a+b+ab) is unchanged when (a) and (b) are interchanged, so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
(a*b=(a+1)(b+1)-1), इसलिए ((a*b)*c=(a+1)(b+1)(c+1)-1=a*(b*c))। / Since (a*b=(a+1)(b+1)-1), both groupings give ((a+1)(b+1)(c+1)-1).
Step 3
Exam Tip
रूपांतरण से कठिन साहचर्य जाँच आसान हो जाती है। / Rewriting the operation often simplifies associativity checks.
C. क्रमविनिमेय और सहचारी दोनों है/Both commutative and associative
Step 1
Concept
(a+b+ab=b+a+ba), इसलिए संक्रिया क्रमविनिमेय है। / (a+b+ab=b+a+ba), so the operation is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
(1+(a*b)=(1+a)(1+b)), इसलिए तीन अवयवों के समूह बदलने पर गुणन का क्रम नहीं बदलता। / Since (1+(a*b)=(1+a)(1+b)), regrouping three elements behaves like ordinary multiplication.
Step 3
Exam Tip
कठिन सहचारीता में ऐसा रूपांतरण समय बचाता है। / For harder associativity checks, a smart transformation saves time.
C. क्रमविनिमेय और सहचारी दोनों है/Both commutative and associative
Step 1
Concept
(a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a), इसलिए यह क्रमविनिमेय है। / (a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
(1-(a*b)=(1-a)(1-b)), इसलिए तीन अवयवों पर भी समूह बदलने से परिणाम समान रहता है। / Since (1-(a*b)=(1-a)(1-b)), grouping three elements does not change the result.
Step 3
Exam Tip
ऐसे रूपों में सरल बीजीय पहचान सहचारीता जल्दी दिखा देती है। / Useful algebraic rewriting can make associativity easier to verify.
B. सहचारी है पर क्रमविनिमेय नहीं/Associative but not commutative
Step 1
Concept
(a*b=a) और (b*a=b), इसलिए सामान्यतः बराबर नहीं हैं। संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है। / (a*b=a) and (b*a=b), so they are generally not equal. The operation is not commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=a*c=a) और (a*(b*c)=a*b=a), इसलिए सहचारी है। / ((a*b)*c=a*c=a) and (a*(b*c)=a*b=a), so it is associative.
Step 3
Exam Tip
नियम को सीधे लगाकर दोनों तरफ की तुलना करें। / Apply the rule directly to both sides.
