यदि \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\) पर संक्रिया (a*b=a+b-ab) दी हो, तो इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
If \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\) has the operation (a*b=a+b-ab), what is the identity element for this operation?
#binary operations
#identity element
#class 12 relations functions
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (1)
C (-1)
D कोई नहीं / None
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तत्समक अवयव (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a).
Step 2
Why this answer is correct
(a+e-ae=a) से (e(1-a)=0) मिलता है, अतः सभी \(a\neq 1\) के लिए (e=0)। / From (a+e-ae=a), we get (e(1-a)=0), so for every \(a\neq 1\), (e=0).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में तत्समक अवयव निकालते समय पहले (a*e=a) लिखकर सरल करें। / In exams, start identity questions by writing (a*e=a).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(\mathbb{R}\setminus{-1}\) पर (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। (a) का प्रतिलोम क्या होगा?
On the set \(\mathbb{R}\setminus{-1}\), (a*b=a+b+ab) is defined. What is the inverse of (a)?
#binary operations
#inverse element
#class 12 relations functions
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{-a}{1+a}\)
B \(\frac{a}{1+a}\)
C \(\frac{-a}{1-a}\)
D \(\frac{1}{a}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{-a}{1+a}\)
Step 1
Concept
पहले तत्समक अवयव निकालें, (a*e=a) से (e=0)। / First find the identity; from (a*e=a), (e=0).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (b) के लिए (a*b=0), इसलिए (a+b+ab=0)। / For inverse (b), use (a*b=0), so (a+b+ab=0).
Step 3
Exam Tip
(b(1+a)=-a), अतः \(b=\frac{-a}{1+a}\); प्रतिलोम में पहले तत्समक अवयव पक्का करें। / (b(1+a)=-a), hence \(b=\frac{-a}{1+a}\); always confirm the identity before finding inverse.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b+2ab) दी हो, तो यह \(\mathbb{Z}\) पर द्विआधारी संक्रिया क्यों है?
If (a*b=a+b+2ab) is defined on \(\mathbb{Z}\), why is it a binary operation on \(\mathbb{Z}\)?
#binary operations
#closure
#integers
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि परिणाम सदैव पूर्णांक है / Because the result is always an integer
B क्योंकि परिणाम सदैव धनात्मक है / Because the result is always positive
C क्योंकि परिणाम सदैव शून्य है / Because the result is always zero
D क्योंकि परिणाम सदैव सम है / Because the result is always even
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि परिणाम सदैव पूर्णांक है / Because the result is always an integer
Step 1
Concept
द्विआधारी संक्रिया के लिए संवृतता चाहिए। / A binary operation needs closure.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a,b\in\mathbb{Z}\), तो (a+b+2ab) भी पूर्णांक होगा। / If \(a,b\in\mathbb{Z}\), then (a+b+2ab) is also an integer.
Step 3
Exam Tip
ऐसी जाँच में परिणाम उसी समुच्चय में लौटता है या नहीं, यही मुख्य बात है। / In such questions, check whether the output returns to the same set.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a^2+b^2\) दी है। यह संक्रिया किस गुण को पूरा करती है?
On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a^2+b^2\) is defined. Which property does this operation satisfy?
#binary operations
#commutative property
#real numbers
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्रमविनिमेय / Commutative
B साहचर्य / Associative
C तत्समक सहित / Has identity
D हर अवयव का प्रतिलोम / Every element has inverse
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्रमविनिमेय / Commutative
Step 1
Concept
क्रमविनिमेयता के लिए (a*b=b*a) देखें। / For commutativity, check whether (a*b=b*a).
Step 2
Why this answer is correct
\(a^2+b^2=b^2+a^2\), इसलिए यह गुण पूरा है। / Since \(a^2+b^2=b^2+a^2\), the operation is commutative.
Step 3
Exam Tip
साहचर्य अलग जाँच है; केवल (a) और (b) बदलने से वही परिणाम मिले तो क्रमविनिमेयता मिलती है। / Associativity is a different test; swapping (a) and (b) checks commutativity only.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a-b) दी है। सही कथन चुनिए।
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a-b) is defined. Choose the correct statement.
#binary operations
#non commutative
#non associative
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A न क्रमविनिमेय न साहचर्य / Neither commutative nor associative
B केवल क्रमविनिमेय / Only commutative
C केवल साहचर्य / Only associative
D दोनों क्रमविनिमेय और साहचर्य / Both commutative and associative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. न क्रमविनिमेय न साहचर्य / Neither commutative nor associative
Step 1
Concept
(a*b=a-b) और (b*a=b-a) सामान्यतः बराबर नहीं हैं। / (a*b=a-b) and (b*a=b-a) are generally not equal.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=(a-b)-c), जबकि (a*(b*c)=a-(b-c)), ये भी सामान्यतः बराबर नहीं हैं। / ((a*b)*c=(a-b)-c), while (a*(b*c)=a-(b-c)), which are generally different.
Step 3
Exam Tip
घटाव में क्रम और कोष्ठक दोनों बदलने से उत्तर बदल सकता है। / In subtraction, both order and grouping can change the result.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि (a*b=2a+3b), तो (a*(b*c)) का सरल रूप क्या है?
If (a*b=2a+3b), what is the simplified form of (a*(b*c))?
#binary operations
#nested operation
#algebra
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (2a+6b+9c)
B (4a+6b+3c)
C (2a+3b+3c)
D (6a+2b+9c)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (2a+6b+9c)
Step 1
Concept
पहले भीतर की संक्रिया करें, (b*c=2b+3c)। / First evaluate the inner operation: (b*c=2b+3c).
Step 2
Why this answer is correct
अब (a*(b*c)=2a+3(2b+3c)=2a+6b+9c)। / Then (a*(b*c)=2a+3(2b+3c)=2a+6b+9c).
Step 3
Exam Tip
मिश्रित कोष्ठक वाले प्रश्नों में हमेशा अंदर से बाहर की ओर चलें। / In nested operation questions, always work from inside to outside.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\) पर (a*b=ka+b) है। किस (k) के लिए संक्रिया साहचर्य होगी?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=ka+b). For which (k) will the operation be associative?
#binary operations
#associativity
#parameter
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (k=1)
B (k=0)
C (k=-1)
D हर (k) / Every (k)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
((a*b)*c=k(ka+b)+c=k-2 a+kb+c)। / ((a*b)*c=k(ka+b)+c=k-2 a+kb+c).
Step 2
Why this answer is correct
(a*(b*c)=ka+(kb+c)=ka+kb+c)। / (a*(b*c)=ka+(kb+c)=ka+kb+c).
Step 3
Exam Tip
बराबरी के लिए \(k^2a=ka\) सभी (a) के लिए चाहिए, अतः \(k^2=k\); दिए विकल्पों में (k=1) साहचर्य देता है। / Equality needs \(k^2a=ka\) for all (a), so \(k^2=k\); among the options, (k=1) works.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+k) है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+k). What is the identity element of this operation?
#binary operations
#identity
#parameter
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (-k)
B (k)
C (0)
D (1-k)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तत्समक अवयव (e) के लिए (a*e=a)। / For identity (e), use (a*e=a).
Step 2
Why this answer is correct
(a+e+k=a) से (e=-k)। / From (a+e+k=a), we get (e=-k).
Step 3
Exam Tip
जोड़ जैसी संक्रियाओं में अतिरिक्त स्थिर राशि को संतुलित करना होता है। / In addition-type operations, balance the extra constant term carefully.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+5) है। (a) का प्रतिलोम क्या है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+5). What is the inverse of (a)?
#binary operations
#inverse
#shifted addition
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (-a-10)
B (-a-5)
C (a-5)
D (5-a)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (-a-10)
Step 1
Concept
पहले तत्समक अवयव (e) निकालें, (a+e+5=a), इसलिए (e=-5)। / First find the identity (e): (a+e+5=a), so (e=-5).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (b) के लिए (a+b+5=-5)। / For inverse (b), use (a+b+5=-5).
Step 3
Exam Tip
(b=-a-10); प्रतिलोम हमेशा तत्समक अवयव के सापेक्ष निकाला जाता है। / Hence (b=-a-10); inverse is always found with respect to the identity element.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) के लिए (2*3) का मान क्या है?
For (a*b=a+b-ab) on \(\mathbb{R}\), what is the value of (2*3)?
#binary operations
#evaluation
#class 12
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (-1)
B (1)
C (5)
D (6)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
दी गई संक्रिया में (a=2) और (b=3) रखें। / Substitute (a=2) and (b=3) in the given operation.
Step 2
Why this answer is correct
\(2*3=2+3-2\cdot3=5-6=-1\)। / \(2*3=2+3-2\cdot3=5-6=-1\).
Step 3
Exam Tip
ऐसी संक्रिया में सामान्य गुणा या जोड़ न मानें, परिभाषा को ही लागू करें। / Do not treat a new operation as ordinary addition or multiplication; apply its definition.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। कौन-सा अवयव (2) का प्रतिलोम है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). Which element is the inverse of (2)?
#binary operations
#inverse
#special operation
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (2)
B (-2)
C \(\frac{1}{2}\)
D (0)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
इस संक्रिया का तत्समक अवयव (0) है। / The identity for this operation is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(2*b=0) रखें, (2+b-2b=0) से (2-b=0)। / Put (2*b=0): (2+b-2b=0), so (2-b=0).
Step 3
Exam Tip
(b=2); प्रतिलोम में उस अवयव के साथ संक्रिया करके तत्समक अवयव मिलना चाहिए। / Thus (b=2); an inverse must combine with the element to give the identity.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{0,1,2\}\) पर (a*b) को (a) और (b) में बड़े अवयव के बराबर परिभाषित किया गया है। तत्समक अवयव क्या है?
On \(A=\{0,1,2\}\), (a*b) is defined as the greater of (a) and (b). What is the identity element?
#binary operations
#identity
#finite set
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (1)
C (2)
D कोई नहीं / None
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
बड़े अवयव वाली संक्रिया में (a*e=a) चाहिए। / For the greater-element operation, we need (a*e=a).
Step 2
Why this answer is correct
(e) ऐसा होना चाहिए जो किसी भी (a) से बड़ा होकर परिणाम न बदल दे। / (e) must not become greater than any (a) and change the result.
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटा अवयव (0) यह काम करता है, इसलिए वही तत्समक अवयव है। / The smallest element (0) works, so it is the identity.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{0,1,2\}\) पर (a*b) को (a) और (b) में छोटे अवयव के बराबर परिभाषित किया गया है। तत्समक अवयव क्या है?
On \(A=\{0,1,2\}\), (a*b) is defined as the smaller of (a) and (b). What is the identity element?
#binary operations
#identity
#min operation
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (2)
B (0)
C (1)
D कोई नहीं / None
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
छोटे अवयव वाली संक्रिया में (a*e=a) चाहिए। / For the smaller-element operation, (a*e=a) is required.
Step 2
Why this answer is correct
(e) ऐसा होना चाहिए कि वह किसी भी (a) से छोटा होकर परिणाम न बदल दे। / (e) must not be smaller than any (a), otherwise it would change the result.
Step 3
Exam Tip
सबसे बड़ा अवयव (2) यह काम करता है, इसलिए तत्समक अवयव (2) है। / The greatest element (2) works, so the identity is (2).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{N}\) पर (a*b=\gcd(a,b)) परिभाषित है। क्या \(\mathbb{N}\) में तत्समक अवयव मौजूद है?
On \(\mathbb{N}\), (a*b=\gcd(a,b)) is defined. Does an identity element exist in \(\mathbb{N}\)?
#binary operations
#gcd
#identity
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A नहीं / No
B हाँ, (1) / Yes, (1)
C हाँ, (0) / Yes, (0)
D हाँ, हर (a) / Yes, every (a)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
तत्समक अवयव (e) के लिए (\gcd(a,e)=a) हर \(a\in\mathbb{N}\) के लिए चाहिए। / Identity (e) would require (\gcd(a,e)=a) for every \(a\in\mathbb{N}\).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसा (e) हर प्राकृतिक संख्या का गुणज होना चाहिए, जो \(\mathbb{N}\) में एक निश्चित संख्या के रूप में संभव नहीं। / Such (e) would have to be a multiple of every natural number, which is not possible as one fixed natural number.
Step 3
Exam Tip
\(\gcd\) में (1) परिणाम को अक्सर (1) बना देता है, इसलिए उसे तत्समक न मानें। / In \(\gcd\), (1) often makes the result (1), so do not mistake it for identity.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{N}\) पर (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)) परिभाषित है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On \(\mathbb{N}\), (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)) is defined. What is the identity element of this operation?
#binary operations
#lcm
#identity
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (0)
C (a)
D कोई नहीं / None
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तत्समक अवयव (e) के लिए (\operatorname{lcm}(a,e)=a) चाहिए। / Identity (e) must satisfy (\operatorname{lcm}(a,e)=a).
Step 2
Why this answer is correct
(\operatorname{lcm}(a,1)=a) हर प्राकृतिक संख्या (a) के लिए सही है। / (\operatorname{lcm}(a,1)=a) for every natural number (a).
Step 3
Exam Tip
\(\operatorname{lcm}\) में (1) परिणाम को नहीं बदलता, इसलिए वह तत्समक अवयव है। / In \(\operatorname{lcm}\), (1) does not change the element, so it is the identity.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b-1) है। यह संक्रिया किस गुण को पूरा करती है?
On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a+b-1). Which property does this operation satisfy?
#binary operations
#commutative
#associative
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों / Both commutative and associative
B केवल क्रमविनिमेय / Only commutative
C केवल साहचर्य / Only associative
D न क्रमविनिमेय न साहचर्य / Neither commutative nor associative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों / Both commutative and associative
Step 1
Concept
(a*b=a+b-1=b+a-1=b*a), इसलिए क्रमविनिमेय है। / (a*b=a+b-1=b+a-1=b*a), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=a+b+c-2) और (a*(b*c)=a+b+c-2), इसलिए साहचर्य भी है। / ((a*b)*c=a+b+c-2) and (a*(b*c)=a+b+c-2), so it is associative.
Step 3
Exam Tip
रैखिक जोड़ में समान स्थिर घटाव दोनों कोष्ठकों में मिल जाए तो साहचर्य बनता है। / In shifted addition, if the constant adjusts equally in both groupings, associativity holds.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b-1) है। (5) का प्रतिलोम क्या है?
On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a+b-1). What is the inverse of (5)?
#binary operations
#inverse
#integers
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (-3)
B (3)
C (5)
D (-5)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तत्समक अवयव (e) के लिए (a+e-1=a), इसलिए (e=1)। / For identity (e), (a+e-1=a), so (e=1).
Step 2
Why this answer is correct
(5*b=1) रखें, (5+b-1=1) से (b=-3)। / Put (5*b=1): (5+b-1=1), giving (b=-3).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम निकालते समय परिणाम को शून्य नहीं, बल्कि मिले हुए तत्समक अवयव के बराबर रखें। / While finding inverse, equate the result to the identity found, not automatically to zero.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{Q}\setminus{0}\) पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) है। तत्समक अवयव क्या है?
On \(\mathbb{Q}\setminus{0}\), \(a*b=\frac{ab}{2}\). What is the identity element?
#binary operations
#identity
#rational numbers
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (2)
B (1)
C \(\frac{1}{2}\)
D कोई नहीं / None
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(a*e=a) लिखें। / Write (a*e=a).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{ae}{2}=a\), और \(a\neq0\) होने से (e=2)। / \(\frac{ae}{2}=a\), and since \(a\neq0\), (e=2).
Step 3
Exam Tip
भाग वाली संक्रिया में (a) से भाग करने से पहले यह देखें कि (a) शून्य नहीं है। / In quotient-based operations, ensure the quantity you divide by is non-zero.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{Q}\setminus{0}\) पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) है। (a) का प्रतिलोम क्या होगा?
On \(\mathbb{Q}\setminus{0}\), \(a*b=\frac{ab}{2}\). What will be the inverse of (a)?
#binary operations
#inverse
#rational numbers
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{4}{a}\)
B \(\frac{2}{a}\)
C \(\frac{1}{a}\)
D (-a)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{4}{a}\)
Step 1
Concept
इस संक्रिया में तत्समक अवयव (2) है। / The identity of this operation is (2).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (b) के लिए \(\frac{ab}{2}=2\)। / For inverse (b), use \(\frac{ab}{2}=2\).
Step 3
Exam Tip
इससे (ab=4) और \(b=\frac{4}{a}\); पहले तत्समक अवयव जानना जरूरी है। / This gives (ab=4), so \(b=\frac{4}{a}\); finding identity first is essential.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+ab) है। यह संक्रिया किस समुच्चय पर संवृत नहीं होगी?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+ab). On which set will this operation not be closed?
#binary operations
#closure
#counterexample
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((-1,1))
B \(\mathbb{R}\)
C \(\mathbb{Z}\)
D \(\mathbb{Q}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ((-1,1))
Step 1
Concept
संवृतता में परिणाम उसी समुच्चय में रहना चाहिए। / Closure means the result must remain in the same set.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}\), जो ((-1,1)) में नहीं है। / \(\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}\), which is not in ((-1,1)).
Step 3
Exam Tip
किसी गुण को झुठलाने के लिए एक सही प्रतिउदाहरण पर्याप्त होता है। / One valid counterexample is enough to disprove closure.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+ab) के लिए कौन-सा रूप साहचर्य जाँच में सहायक है?
For (a*b=a+b+ab) on \(\mathbb{R}\), which form is helpful for checking associativity?
#binary operations
#associativity
#transformation
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1+(a*b)=(1+a)(1+b))
B (a*b=a-b)
C (a*b=ab-1)
D (1-(a*b)=(1-a)(1-b))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (1+(a*b)=(1+a)(1+b))
Step 1
Concept
(a*b=a+b+ab) में (1) जोड़ें। / Add (1) to (a*b=a+b+ab).
Step 2
Why this answer is correct
(1+a+b+ab=(1+a)(1+b)) मिलता है, जिससे साहचर्य जल्दी दिखता है। / (1+a+b+ab=(1+a)(1+b)), which helps prove associativity quickly.
Step 3
Exam Tip
कठिन संक्रिया को गुणन जैसे परिचित रूप में बदलना परीक्षा में समय बचाता है। / Turning an unusual operation into a familiar product form saves time in exams.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{0}\) पर \(a*b=\frac{a}{b}\) है। सही कथन चुनिए।
On \(A=\mathbb{R}\setminus{0}\), \(a*b=\frac{a}{b}\). Choose the correct statement.
#binary operations
#division
#associativity
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A द्विआधारी है पर साहचर्य नहीं / Binary but not associative
B द्विआधारी नहीं / Not binary
C साहचर्य है / Associative
D क्रमविनिमेय है / Commutative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. द्विआधारी है पर साहचर्य नहीं / Binary but not associative
Step 1
Concept
\(a,b\neq0\) होने पर \(\frac{a}{b}\neq0\), इसलिए संवृतता है। / If \(a,b\neq0\), then \(\frac{a}{b}\neq0\), so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=\frac{a}{bc}), जबकि (a*(b*c)=\frac{ac}{b}), ये सामान्यतः बराबर नहीं। / ((a*b)*c=\frac{a}{bc}), while (a*(b*c)=\frac{ac}{b}), generally not equal.
Step 3
Exam Tip
भाग में संवृतता हो सकती है, फिर भी साहचर्य और क्रमविनिमेयता अलग से जाँचनी पड़ती है। / Division may be closed on non-zero reals, but associativity and commutativity must be tested separately.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+ab) है। (a=-1) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+ab). Which statement about (a=-1) is correct?
#binary operations
#inverse exception
#real numbers
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (-1) का प्रतिलोम नहीं है / (-1) has no inverse
B (-1) तत्समक अवयव है / (-1) is the identity
C (-1) का प्रतिलोम (1) है / The inverse of (-1) is (1)
D (-1) का प्रतिलोम (-1) है / The inverse of (-1) is (-1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (-1) का प्रतिलोम नहीं है / (-1) has no inverse
Step 1
Concept
इस संक्रिया का तत्समक अवयव (0) है। / The identity of this operation is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(-1*b=0) से (-1+b-b=-1) मिलता है, जो (0) नहीं हो सकता। / From (-1*b=0), we get (-1+b-b=-1), which cannot be (0).
Step 3
Exam Tip
हर अवयव का प्रतिलोम मान लेने से गलती होती है; समीकरण हल करके देखना चाहिए। / Do not assume every element has an inverse; solve the inverse equation.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\setminus{-1}\) पर (a*b=a+b+ab) दी है। यह संक्रिया किससे संबंधित है?
On \(\mathbb{R}\setminus{-1}\), (a*b=a+b+ab) is given. This operation is related to which expression?
#binary operations
#algebraic form
#associativity
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1+a*b=(1+a)(1+b))
B (a*b=(a-1)(b-1))
C (a*b=a-b+ab)
D \(a*b=\frac{a+b}{ab}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (1+a*b=(1+a)(1+b))
Step 1
Concept
संक्रिया में (1) जोड़कर देखें। / Add (1) to the operation.
Step 2
Why this answer is correct
(1+(a*b)=1+a+b+ab=(1+a)(1+b))। / (1+(a*b)=1+a+b+ab=(1+a)(1+b)).
Step 3
Exam Tip
यह रूप प्रतिलोम और साहचर्य वाले प्रश्नों में बहुत उपयोगी रहता है। / This form is very useful in inverse and associativity questions.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि (a*b=a+b-ab), तो (1-a*b) किसके बराबर है?
If (a*b=a+b-ab), then (1-a*b) is equal to what?
#binary operations
#transformation
#algebra
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((1-a)(1-b))
B ((1+a)(1+b))
C (a-b)
D (ab-a-b)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ((1-a)(1-b))
Step 1
Concept
(1-a*b=1-(a+b-ab)) लिखें। / Write (1-a*b=1-(a+b-ab)).
Step 2
Why this answer is correct
यह (1-a-b+ab=(1-a)(1-b)) बनता है। / This becomes (1-a-b+ab=(1-a)(1-b)).
Step 3
Exam Tip
इस प्रकार के रूप संक्रिया को सरल गुणन से जोड़ देते हैं। / Such forms connect the operation with ordinary multiplication and simplify proofs.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। किस अवयव का प्रतिलोम मौजूद नहीं है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). Which element has no inverse?
#binary operations
#inverse exception
#identity
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (0)
C (2)
D (-1)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
इस संक्रिया का तत्समक अवयव (0) है। / The identity for this operation is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(1*b=1+b-b=1), यह कभी (0) नहीं बनता। / (1*b=1+b-b=1), which can never become (0).
Step 3
Exam Tip
जिस अवयव के साथ समीकरण तत्समक अवयव तक न पहुँचे, उसका प्रतिलोम नहीं होता। / If the inverse equation cannot reach the identity, that element has no inverse.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि (a*b=a+b-2ab), तो इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
If (a*b=a+b-2ab), what is the identity element of this operation?
#binary operations
#identity
#parameter-like operation
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B \(\frac{1}{2}\)
C (1)
D कोई नहीं / None
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(a*e=a) रखें। / Put (a*e=a).
Step 2
Why this answer is correct
(a+e-2ae=a) से (e(1-2a)=0) मिलता है। / From (a+e-2ae=a), we get (e(1-2a)=0).
Step 3
Exam Tip
सभी (a) के लिए यह तभी सही है जब (e=0), इसलिए तत्समक अवयव (0) है। / For all (a), this is true when (e=0), so the identity is (0).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-2ab) है। किस अवयव का प्रतिलोम नहीं होगा?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-2ab). Which element will not have an inverse?
#binary operations
#inverse
#exception value
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{1}{2}\)
B (0)
C (1)
D (2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{1}{2}\)
Step 1
Concept
तत्समक अवयव (0) है। / The identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (b) के लिए (a+b-2ab=0), जिससे (b(1-2a)=-a)। / For inverse (b), (a+b-2ab=0), so (b(1-2a)=-a).
Step 3
Exam Tip
यदि \(a=\frac{1}{2}\), तो (1-2a=0) हो जाता है और समीकरण हल नहीं होता। / If \(a=\frac{1}{2}\), then (1-2a=0), so the inverse equation cannot be solved.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-2ab) है। (2) का प्रतिलोम क्या है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-2ab). What is the inverse of (2)?
#binary operations
#inverse
#special operation
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{2}{3}\)
B (-2)
C \(\frac{-2}{3}\)
D (3)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{2}{3}\)
Step 1
Concept
तत्समक अवयव (0) है। / The identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(2*b=0) रखें, (2+b-4b=0), इसलिए (2-3b=0)। / Put (2*b=0): (2+b-4b=0), so (2-3b=0).
Step 3
Exam Tip
\(b=\frac{2}{3}\); प्रतिलोम समीकरण को सावधानी से हल करें। / Thus \(b=\frac{2}{3}\); solve the inverse equation carefully.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b+ab) है। क्या यह \(\mathbb{Z}\) पर साहचर्य है?
On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a+b+ab). Is it associative on \(\mathbb{Z}\)?
#binary operations
#associativity
#integers
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल धनात्मक पूर्णांकों पर / Only on positive integers
D केवल शून्य के लिए / Only for zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
(1+(a*b)=(1+a)(1+b)) लिखें। / Write (1+(a*b)=(1+a)(1+b)).
Step 2
Why this answer is correct
गुणन साहचर्य है, इसलिए ((1+a)(1+b)(1+c)) दोनों कोष्ठकों में समान मिलेगा। / Ordinary multiplication is associative, so ((1+a)(1+b)(1+c)) is obtained in both groupings.
Step 3
Exam Tip
रूपांतरण से साहचर्य की लंबी गणना छोटी हो जाती है। / Transformation reduces long associativity calculations.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b=\min(a+b,4)) है। तत्समक अवयव के बारे में क्या सही है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (a*b=\min(a+b,4)). What is true about the identity element?
#binary operations
#finite set
#identity absence
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A कोई तत्समक अवयव नहीं है / No identity element exists
B (1) तत्समक है / (1) is identity
C (4) तत्समक है / (4) is identity
D (2) तत्समक है / (2) is identity
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. कोई तत्समक अवयव नहीं है / No identity element exists
Step 1
Concept
यदि \(e\in A\) तत्समक हो, तो (1*e=1) होना चाहिए। / If \(e\in A\) were identity, then (1*e=1) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
पर \(1+e\ge2\), इसलिए (\min(1+e,4)) कभी (1) नहीं होगा। / But \(1+e\ge2\), so (\min(1+e,4)) can never be (1).
Step 3
Exam Tip
एक अवयव पर असफलता दिखाने से तत्समक अवयव न होना सिद्ध हो जाता है। / Failure for one element proves that no identity exists.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{0,1,2,3\}\) पर (a*b) को (a+b) का (4) से भाग देने पर शेषफल माना गया है। (3) का प्रतिलोम क्या है?
On \(A=\{0,1,2,3\}\), (a*b) is the remainder when (a+b) is divided by (4). What is the inverse of (3)?
#binary operations
#modulo addition
#inverse
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (3)
C (0)
D (2)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
इस संक्रिया में तत्समक अवयव (0) है क्योंकि (a+0) का शेषफल (a) है। / The identity is (0), since the remainder of (a+0) modulo (4) is (a).
Step 2
Why this answer is correct
(3*b) का शेषफल (0) चाहिए, इसलिए (3+b) को (4) से विभाज्य होना चाहिए। / We need (3*b=0), so (3+b) must be divisible by (4).
Step 3
Exam Tip
(b=1) लेने पर (4) मिलता है; शेषफल (0) है। / With (b=1), the sum is (4), giving remainder (0).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{0,1,2,3\}\) पर (a*b) को (ab) का (4) से भाग देने पर शेषफल माना गया है। किस अवयव का गुणात्मक प्रतिलोम मौजूद है?
On \(A=\{0,1,2,3\}\), (a*b) is the remainder when (ab) is divided by (4). Which element has a multiplicative inverse?
#binary operations
#modulo multiplication
#inverse
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (3)
B (2)
C (0)
D सभी / All
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
इस संक्रिया में तत्समक अवयव (1) है। / The identity for this operation is (1).
Step 2
Why this answer is correct
(3*3) में (9) को (4) से भाग देने पर शेषफल (1) मिलता है। / (3*3) gives the remainder of (9) on division by (4), which is (1).
Step 3
Exam Tip
शेषफल आधारित गुणन में वही अवयव प्रतिलोम रखते हैं जो मापांक से सहभाज्य हों। / In modular multiplication, elements relatively prime to the modulus have inverses.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a^2+b\) है। सही कथन चुनिए।
On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a^2+b\). Choose the correct statement.
#binary operations
#closure
#non commutative
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A द्विआधारी है पर क्रमविनिमेय नहीं / Binary but not commutative
B क्रमविनिमेय है / Commutative
C साहचर्य है / Associative
D तत्समक अवयव (0) है / Identity is (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. द्विआधारी है पर क्रमविनिमेय नहीं / Binary but not commutative
Step 1
Concept
\(a^2+b\) वास्तविक संख्या है, इसलिए संक्रिया \(\mathbb{R}\) पर संवृत है। / \(a^2+b\) is a real number, so the operation is closed on \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(a*b=a^2+b\), जबकि \(b*a=b^2+a\), ये सामान्यतः बराबर नहीं। / \(a*b=a^2+b\), while \(b*a=b^2+a\), generally not equal.
Step 3
Exam Tip
संवृतता और क्रमविनिमेयता अलग बातें हैं; दोनों को अलग जाँचें। / Closure and commutativity are different properties; test them separately.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a^2+b\) है। (0) के तत्समक होने की जाँच में कौन-सी बात बाधा बनती है?
On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a^2+b\). What prevents (0) from being an identity?
#binary operations
#identity test
#one-sided identity
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(a*0=a^2\), जो सदैव (a) नहीं है / \(a*0=a^2\), which is not always (a)
B (0*a=a) कभी नहीं होता / (0*a=a) never holds
C (a*0=0) होता है / (a*0=0)
D (0) समुच्चय में नहीं है / (0) is not in the set
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(a*0=a^2\), जो सदैव (a) नहीं है / \(a*0=a^2\), which is not always (a)
Step 1
Concept
तत्समक अवयव दोनों ओर से जाँचा जाता है। / Identity must work from both sides.
Step 2
Why this answer is correct
(0*a=a) सही है, पर \(a*0=a^2\) है, जो हर (a) के लिए (a) नहीं होता। / (0*a=a) is true, but \(a*0=a^2\), which is not (a) for every (a).
Step 3
Exam Tip
केवल एक ओर सही होना पर्याप्त नहीं; दोनों ओर परिणाम वही अवयव होना चाहिए। / One-sided identity is not enough; both sides must return the same element.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि (a*b=a+b+kab) और \(k\neq0\), तो किस अवयव का प्रतिलोम नहीं होगा?
If (a*b=a+b+kab) and \(k\neq0\), which element will not have an inverse?
#binary operations
#parameter
#inverse exception
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(-\frac{1}{k}\)
B \(\frac{1}{k}\)
C (0)
D (k)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(-\frac{1}{k}\)
Step 1
Concept
इस संक्रिया का तत्समक अवयव (0) है। / The identity of this operation is (0).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (b) के लिए (a+b+kab=0), इसलिए (b(1+ka)=-a)। / For inverse (b), (a+b+kab=0), hence (b(1+ka)=-a).
Step 3
Exam Tip
जब \(a=-\frac{1}{k}\), तब (1+ka=0) हो जाता है और प्रतिलोम नहीं मिलता। / When \(a=-\frac{1}{k}\), (1+ka=0), so no inverse exists.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+3ab) है। (2) का प्रतिलोम क्या है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+3ab). What is the inverse of (2)?
#binary operations
#inverse
#linear equation
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(-\frac{2}{7}\)
B \(\frac{2}{7}\)
C \(-\frac{7}{2}\)
D (7)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(-\frac{2}{7}\)
Step 1
Concept
तत्समक अवयव (0) है। / The identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(2*b=0) से (2+b+6b=0), अर्थात (2+7b=0)। / From (2*b=0), (2+b+6b=0), so (2+7b=0).
Step 3
Exam Tip
\(b=-\frac{2}{7}\); गुणांक जोड़ते समय (b) वाले पदों को साथ रखें। / \(b=-\frac{2}{7}\); combine the terms containing (b) carefully.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+3ab) है। कौन-सा अवयव प्रतिलोम रहित है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+3ab). Which element has no inverse?
#binary operations
#inverse exception
#real numbers
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(-\frac{1}{3}\)
B \(\frac{1}{3}\)
C (3)
D (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(-\frac{1}{3}\)
Step 1
Concept
प्रतिलोम के लिए (a+b+3ab=0) हल करें। / Solve (a+b+3ab=0) for inverse.
Step 2
Why this answer is correct
(b(1+3a)=-a), इसलिए हर बार भाग तभी होगा जब \(1+3a\neq0\)। / (b(1+3a)=-a), so division is possible only when \(1+3a\neq0\).
Step 3
Exam Tip
\(a=-\frac{1}{3}\) पर हर नहीं चलता, इसलिए यह अवयव प्रतिलोम रहित है। / For \(a=-\frac{1}{3}\), the denominator fails, so this element has no inverse.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। (a*b=0) होने के लिए (b) किसके बराबर होगा?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). For (a*b=0), what is (b) equal to?
#binary operations
#inverse formula
#condition
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{-a}{1-a}\), जहाँ \(a\neq1\) / \(\frac{-a}{1-a}\), where \(a\neq1\)
B \(\frac{a}{1-a}\)
C \(\frac{-a}{1+a}\)
D (1-a)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{-a}{1-a}\), जहाँ \(a\neq1\) / \(\frac{-a}{1-a}\), where \(a\neq1\)
Step 1
Concept
(a+b-ab=0) लिखें। / Write (a+b-ab=0).
Step 2
Why this answer is correct
(b(1-a)=-a), इसलिए \(b=\frac{-a}{1-a}\), जब \(a\neq1\)। / (b(1-a)=-a), so \(b=\frac{-a}{1-a}\), when \(a\neq1\).
Step 3
Exam Tip
हर में शून्य आने वाली शर्त जरूर लिखें, क्योंकि वही प्रतिलोम के अस्तित्व को तय करती है। / Always note the denominator condition because it decides existence of inverse.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। क्या यह संक्रिया क्रमविनिमेय है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). Is this operation commutative?
#binary operations
#commutative
#real numbers
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ, क्योंकि (a+b-ab=b+a-ba) / Yes, because (a+b-ab=b+a-ba)
B नहीं, क्योंकि \(ab\neq ba\) / No, because \(ab\neq ba\)
C नहीं, क्योंकि \(a+b\neq b+a\) / No, because \(a+b\neq b+a\)
D केवल (a=0) पर / Only when (a=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ, क्योंकि (a+b-ab=b+a-ba) / Yes, because (a+b-ab=b+a-ba)
Step 1
Concept
(a*b) और (b*a) की तुलना करें। / Compare (a*b) and (b*a).
Step 2
Why this answer is correct
(a*b=a+b-ab) और (b*a=b+a-ba), दोनों बराबर हैं। / (a*b=a+b-ab) and (b*a=b+a-ba), which are equal.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक संख्याओं में जोड़ और गुणा क्रमविनिमेय हैं, इसलिए यहाँ भी यह गुण मिलता है। / Since addition and multiplication of real numbers are commutative, this operation is also commutative.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। क्या यह साहचर्य है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). Is it associative?
#binary operations
#associative
#transformation
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल पूर्णांकों पर / Only on integers
D केवल धनात्मक संख्याओं पर / Only on positive numbers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
(1-(a*b)=(1-a)(1-b)) लिखें। / Write (1-(a*b)=(1-a)(1-b)).
Step 2
Why this answer is correct
तीन अवयवों के लिए परिणाम (1-{(a*b)*c}=(1-a)(1-b)(1-c)) जैसा होगा। / For three elements, the result follows (1-{(a*b)*c}=(1-a)(1-b)(1-c)).
Step 3
Exam Tip
गुणन साहचर्य है, इसलिए दोनों कोष्ठकों में वही परिणाम मिलता है। / Ordinary multiplication is associative, so both groupings give the same result.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\) पर (a*b=a+b-ab) है। यह (A) पर संवृत क्यों है?
On \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\), (a*b=a+b-ab). Why is it closed on (A)?
#binary operations
#closure
#set exclusion
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (1-a*b=(1-a)(1-b)\neq0) / Because (1-a*b=(1-a)(1-b)\neq0)
B क्योंकि (a*b) हमेशा (0) है / Because (a*b) is always (0)
C क्योंकि (a*b) हमेशा (1) है / Because (a*b) is always (1)
D क्योंकि (a*b) हमेशा धनात्मक है / Because (a*b) is always positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (1-a*b=(1-a)(1-b)\neq0) / Because (1-a*b=(1-a)(1-b)\neq0)
Step 1
Concept
\(a,b\in A\) होने से \(a\neq1\) और \(b\neq1\)। / Since \(a,b\in A\), \(a\neq1\) and \(b\neq1\).
Step 2
Why this answer is correct
(1-a*b=(1-a)(1-b)), और दोनों गुणक शून्य नहीं हैं, इसलिए परिणाम (1) नहीं होगा। / (1-a*b=(1-a)(1-b)), and both factors are non-zero, so the result cannot be (1).
Step 3
Exam Tip
संवृतता में यह दिखाना काफी है कि परिणाम फिर उसी समुच्चय में है। / For closure, it is enough to show the result remains in the same set.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\setminus{1}\) पर (a*b=a+b-ab) है। (3) का प्रतिलोम क्या है?
On \(\mathbb{R}\setminus{1}\), (a*b=a+b-ab). What is the inverse of (3)?
#binary operations
#inverse
#set exclusion
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{3}{2}\)
B \(-\frac{3}{2}\)
C (2)
D \(\frac{2}{3}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{3}{2}\)
Step 1
Concept
तत्समक अवयव (0) है। / The identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(3*b=0) से (3+b-3b=0), अर्थात (3-2b=0)। / From (3*b=0), (3+b-3b=0), so (3-2b=0).
Step 3
Exam Tip
\(b=\frac{3}{2}\), जो समुच्चय में है क्योंकि यह (1) नहीं है। / \(b=\frac{3}{2}\), and it belongs to the set because it is not (1).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-3) है। (8) का प्रतिलोम क्या है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-3). What is the inverse of (8)?
#binary operations
#inverse
#shifted addition
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (-2)
B (2)
C (-8)
D (3)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तत्समक अवयव (e) के लिए (a+e-3=a), इसलिए (e=3)। / For identity (e), (a+e-3=a), so (e=3).
Step 2
Why this answer is correct
(8*b=3) रखें, (8+b-3=3) से (b=-2)। / Put (8*b=3): (8+b-3=3), so (b=-2).
Step 3
Exam Tip
बदली हुई जोड़ संक्रिया में प्रतिलोम साधारण (-a) नहीं होता। / In shifted addition, the inverse is not simply (-a).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-3) है। ((2*5)*7) का मान क्या है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-3). What is the value of ((2*5)*7)?
#binary operations
#evaluation
#nested brackets
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (8)
B (11)
C (5)
D (14)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
पहले (2*5=2+5-3=4)। / First (2*5=2+5-3=4).
Step 2
Why this answer is correct
अब (4*7=4+7-3=8)। / Then (4*7=4+7-3=8).
Step 3
Exam Tip
कोष्ठक दिए हों तो उसी क्रम में संक्रिया करें, चाहे संक्रिया साहचर्य हो। / When brackets are given, follow that order even if the operation is associative.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-3) है। (a*(b*c)) का सरल रूप क्या है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-3). What is the simplified form of (a*(b*c))?
#binary operations
#nested operation
#algebra
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (a+b+c-6)
B (a+b+c-3)
C (a+b-c-6)
D (a-b+c-3)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (a+b+c-6)
Step 1
Concept
पहले (b*c=b+c-3)। / First (b*c=b+c-3).
Step 2
Why this answer is correct
(a*(b*c)=a+(b+c-3)-3=a+b+c-6)। / (a*(b*c)=a+(b+c-3)-3=a+b+c-6).
Step 3
Exam Tip
अंदर की संक्रिया का पूरा मान अगले चरण में रखें। / Substitute the complete value of the inner operation into the next step.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि \(a*b=a+b+\lambda ab\) और \(\lambda\neq0\), तो तत्समक अवयव क्या है?
If \(a*b=a+b+\lambda ab\) and \(\lambda\neq0\), what is the identity element?
#binary operations
#identity
#parameter
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B \(-\frac{1}{\lambda}\)
C \(\frac{1}{\lambda}\)
D कोई नहीं / None
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तत्समक अवयव (e) के लिए \(a+e+\lambda ae=a\)। / For identity (e), \(a+e+\lambda ae=a\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (e\(1+\lambda a\)=0) मिलता है। / This gives (e\(1+\lambda a\)=0).
Step 3
Exam Tip
सभी (a) के लिए इसे पूरा करने वाला स्थिर अवयव (e=0) है। / The fixed element satisfying this for all (a) is (e=0).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a+b+\lambda ab\) है। किस शर्त पर (a) का प्रतिलोम मौजूद होगा?
On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a+b+\lambda ab\). Under which condition will the inverse of (a) exist?
#binary operations
#inverse condition
#parameter
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(1+\lambda a\neq0\)
B (a=0)
C \(\lambda=0\)
D \(a=\lambda\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(1+\lambda a\neq0\)
Step 1
Concept
तत्समक अवयव (0) है। / The identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (b) के लिए \(a+b+\lambda ab=0\), यानी (b\(1+\lambda a\)=-a)। / For inverse (b), \(a+b+\lambda ab=0\), so (b\(1+\lambda a\)=-a).
Step 3
Exam Tip
(b) तभी मिल सकता है जब \(1+\lambda a\neq0\)। / Such (b) exists only when \(1+\lambda a\neq0\).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
\(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a+b+\lambda ab\) में \(\lambda=2\) है। (4) का प्रतिलोम क्या है?
In \(a*b=a+b+\lambda ab\) on \(\mathbb{R}\), \(\lambda=2\). What is the inverse of (4)?
#binary operations
#parameter
#inverse
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(-\frac{4}{9}\)
B \(\frac{4}{9}\)
C \(-\frac{9}{4}\)
D (9)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(-\frac{4}{9}\)
Step 1
Concept
\(\lambda=2\) रखने पर (a*b=a+b+2ab)। / With \(\lambda=2\), (a*b=a+b+2ab).
Step 2
Why this answer is correct
(4*b=0) से (4+b+8b=0), अर्थात (4+9b=0)। / From (4*b=0), (4+b+8b=0), so (4+9b=0).
Step 3
Exam Tip
\(b=-\frac{4}{9}\); पैरामीटर का मान पहले रखकर समीकरण सरल करें। / \(b=-\frac{4}{9}\); substitute the parameter first to simplify the equation.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
समुच्चय \(A=\{1,2,4,8\}\) पर (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)) है। कौन-सा कथन सही है?
On \(A=\{1,2,4,8\}\), (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)). Which statement is correct?
#binary operations
#lcm
#finite set
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A तत्समक अवयव (1) है और केवल (1) का प्रतिलोम है / Identity is (1) and only (1) has an inverse
B तत्समक अवयव (8) है और सबके प्रतिलोम हैं / Identity is (8) and all have inverses
C तत्समक अवयव नहीं है / No identity exists
D हर अवयव अपना प्रतिलोम है / Every element is its own inverse
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. तत्समक अवयव (1) है और केवल (1) का प्रतिलोम है / Identity is (1) and only (1) has an inverse
Step 1
Concept
(\operatorname{lcm}(a,1)=a), इसलिए (1) तत्समक अवयव है। / (\operatorname{lcm}(a,1)=a), so (1) is the identity.
Step 2
Why this answer is correct
किसी (a) का प्रतिलोम (b) तभी होगा जब (\operatorname{lcm}(a,b)=1)। / An inverse (b) of (a) must satisfy (\operatorname{lcm}(a,b)=1).
Step 3
Exam Tip
यह केवल (a=1) और (b=1) पर संभव है; इसलिए केवल (1) का प्रतिलोम है। / This is possible only for (a=1) and (b=1), so only (1) has an inverse.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
