\(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a^2+b\) है। सही कथन चुनिए।
On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a^2+b\). Choose the correct statement.
#binary operations
#closure
#non commutative
A द्विआधारी है पर क्रमविनिमेय नहीं / Binary but not commutative
B क्रमविनिमेय है / Commutative
C साहचर्य है / Associative
D तत्समक अवयव (0) है / Identity is (0)
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Correct Answer
A. द्विआधारी है पर क्रमविनिमेय नहीं / Binary but not commutative
Step 1
Concept
\(a^2+b\) वास्तविक संख्या है, इसलिए संक्रिया \(\mathbb{R}\) पर संवृत है। / \(a^2+b\) is a real number, so the operation is closed on \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(a*b=a^2+b\), जबकि \(b*a=b^2+a\), ये सामान्यतः बराबर नहीं। / \(a*b=a^2+b\), while \(b*a=b^2+a\), generally not equal.
Step 3
Exam Tip
संवृतता और क्रमविनिमेयता अलग बातें हैं; दोनों को अलग जाँचें। / Closure and commutativity are different properties; test them separately.
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\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a-b) दी है। सही कथन चुनिए।
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a-b) is defined. Choose the correct statement.
#binary operations
#non commutative
#non associative
A न क्रमविनिमेय न साहचर्य / Neither commutative nor associative
B केवल क्रमविनिमेय / Only commutative
C केवल साहचर्य / Only associative
D दोनों क्रमविनिमेय और साहचर्य / Both commutative and associative
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Correct Answer
A. न क्रमविनिमेय न साहचर्य / Neither commutative nor associative
Step 1
Concept
(a*b=a-b) और (b*a=b-a) सामान्यतः बराबर नहीं हैं। / (a*b=a-b) and (b*a=b-a) are generally not equal.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=(a-b)-c), जबकि (a*(b*c)=a-(b-c)), ये भी सामान्यतः बराबर नहीं हैं। / ((a*b)*c=(a-b)-c), while (a*(b*c)=a-(b-c)), which are generally different.
Step 3
Exam Tip
घटाव में क्रम और कोष्ठक दोनों बदलने से उत्तर बदल सकता है। / In subtraction, both order and grouping can change the result.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a-b) परिभाषित है। यह संक्रिया कौन-सा गुण रखती है?
On real numbers, (a*b=a-b) is defined. Which property does this operation have?
#binary operations
#non commutative
#non associative
A क्रमविनिमेय और सहचारी दोनों / Both commutative and associative
B केवल क्रमविनिमेय / Only commutative
C केवल सहचारी / Only associative
D न क्रमविनिमेय न सहचारी / Neither commutative nor associative
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Correct Answer
D. न क्रमविनिमेय न सहचारी / Neither commutative nor associative
Step 1
Concept
(a*b=a-b) और (b*a=b-a), ये सामान्यतः बराबर नहीं होते। / (a*b=a-b) and (b*a=b-a), which are not equal in general.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=a-b-c) जबकि (a*(b*c)=a-b+c), इसलिए सहचारी भी नहीं है। / ((a*b)*c=a-b-c) but (a*(b*c)=a-b+c), so it is not associative.
Step 3
Exam Tip
घटाव जैसी संक्रियाओं में क्रम पर विशेष ध्यान दें। / For subtraction-type operations, order matters a lot.
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यदि (a*b=a-b+ab) है, तो (1*2) और (2*1) के आधार पर सही निष्कर्ष क्या है?
If (a*b=a-b+ab), what is the correct conclusion using (1*2) and (2*1)?
#non commutative
#counterexample
#binary operations
A संक्रिया क्रमविनिमेय है / The operation is commutative
B संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है / The operation is not commutative
C दोनों मान (0) हैं / Both values are (0)
D संक्रिया बंद नहीं है / The operation is not closed
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Correct Answer
B. संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है / The operation is not commutative
Step 1
Concept
(1*2=1-2+2=1)। / (1*2=1-2+2=1).
Step 2
Why this answer is correct
(2*1=2-1+2=3), इसलिए दोनों बराबर नहीं हैं। / (2*1=2-1+2=3), so they are not equal.
Step 3
Exam Tip
क्रमविनिमेयता गलत दिखाने के लिए एक असमान जोड़ी पर्याप्त है। / One unequal pair is enough to disprove commutativity.
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यदि (a*b=a-b) है, तो यह संक्रिया सामान्यतः कैसी है?
If (a*b=a-b), what is this operation generally like?
#commutative
#non commutative
#subtraction
A क्रमविनिमेय / Commutative
B क्रमविनिमेय नहीं / Not commutative
C हमेशा शून्य / Always zero
D हमेशा धनात्मक / Always positive
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Correct Answer
B. क्रमविनिमेय नहीं / Not commutative
Step 1
Concept
क्रमविनिमेयता के लिए (a-b=b-a) हर बार होना चाहिए। / For commutativity, (a-b=b-a) must always hold.
Step 2
Why this answer is correct
(5-2=3) लेकिन (2-5=-3), इसलिए दोनों बराबर नहीं हैं। / (5-2=3) but (2-5=-3), so they are not equal.
Step 3
Exam Tip
घटाव में क्रम बदलने से उत्तर बदल सकता है। / Subtraction usually changes when order changes.
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क्रिया \(a\ast b=a+2b\) के लिए \(2\ast 3\) और \(3\ast 2\) क्रमशः क्या होंगे?
For the operation \(a\ast b=a+2b\), what are \(2\ast 3\) and \(3\ast 2\), respectively?
#operation value
#non commutative
#substitution
A (8,7)
B (7,8)
C (6,6)
D (5,5)
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Step 1
Concept
पहले \(2\ast3=2+2\cdot3=8\)। / First, \(2\ast3=2+2\cdot3=8\).
Step 2
Why this answer is correct
फिर \(3\ast2=3+2\cdot2=7\)। / Then, \(3\ast2=3+2\cdot2=7\).
Step 3
Exam Tip
ऐसी क्रियाओं में स्थान बदलने से उत्तर बदल सकता है। / In such operations, changing the order can change the answer.
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यदि (a*b=a-b) वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, तो कौन सा कथन सही है?
If (a*b=a-b) is defined on real numbers, which statement is correct?
#non commutative
#subtraction
#real numbers
A यह क्रमविनिमेय नहीं है / It is not commutative
B यह हमेशा क्रमविनिमेय है / It is always commutative
C इसका परिणाम वास्तविक नहीं होता / Its result is not real
D यह केवल (a=b) पर परिभाषित है / It is defined only when (a=b)
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Correct Answer
A. यह क्रमविनिमेय नहीं है / It is not commutative
Step 1
Concept
(2*1=2-1=1)। / (2*1=2-1=1).
Step 2
Why this answer is correct
(1*2=1-2=-1), इसलिए दोनों बराबर नहीं हैं। / (1*2=1-2=-1), so they are not equal.
Step 3
Exam Tip
क्रमविनिमेयता जाँचने के लिए छोटा संख्यात्मक उदाहरण काफी उपयोगी होता है। / A small numerical example is useful to test commutativity.
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यदि (f(x)=x-2 ) और (g(x)=x+2), तो (\(f\circ g\)(x)) और (\(g\circ f\)(x)) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f(x)=x-2 ) and (g(x)=x+2), which statement about (\(f\circ g\)(x)) and (\(g\circ f\)(x)) is correct?
#composition
#non-commutative
#functions
A दोनों हमेशा समान हैं / They are always equal
B (\(f\circ g\)(x)=x-2 +2)
C (\(g\circ f\)(x)=x-2 +2)
D दोनों परिभाषित नहीं हैं / Both are not defined
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Correct Answer
C. (\(g\circ f\)(x)=x-2 +2)
Step 1
Concept
(\(f\circ g\)(x)=f(x+2)=(x+2)2 )। / (\(f\circ g\)(x)=f(x+2)=(x+2)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
(\(g\circ f\)(x)=g\(x^2\)=x-2 +2)। / (\(g\circ f\)(x)=g\(x^2\)=x-2 +2).
Step 3
Exam Tip
संयुक्त फलन सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता। / Composition of functions is generally not commutative.
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यदि (f(x)=x-2 -1) और (g(x)=x+2), तो (\(f\circ g\)(x)) और (\(g\circ f\)(x)) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If (f(x)=x-2 -1) and (g(x)=x+2), which statement about (\(f\circ g\)(x)) and (\(g\circ f\)(x)) is correct?
#composition order
#functions
#non commutative
#medium
A दोनों सामान्यतः समान नहीं हैं / They are generally not equal
B दोनों हमेशा समान हैं / They are always equal
C दोनों स्थिर फलन हैं / Both are constant functions
D दोनों परिभाषित नहीं हैं / Both are undefined
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Correct Answer
A. दोनों सामान्यतः समान नहीं हैं / They are generally not equal
Step 1
Concept
(\(f\circ g\)(x)=f(x+2)=(x+2)2 -1)। / (\(f\circ g\)(x)=f(x+2)=(x+2)2 -1).
Step 2
Why this answer is correct
(\(g\circ f\)(x)=g\(x^2-1\)=x-2 +1)। / (\(g\circ f\)(x)=g\(x^2-1\)=x-2 +1).
Step 3
Exam Tip
दोनों व्यंजक सामान्यतः अलग हैं, इसलिए संयुक्त फलन में क्रम का ध्यान रखें। / The expressions are generally different, so order matters in composition.
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यदि (f(x)=x-2 +2) और (g(x)=x-1), तो (\(f\circ g\)(x)) तथा (\(g\circ f\)(x)) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If (f(x)=x-2 +2) and (g(x)=x-1), which statement about (\(f\circ g\)(x)) and (\(g\circ f\)(x)) is correct?
#composition order
#functions
#non commutative
#medium
A दोनों सामान्यतः समान नहीं हैं / They are generally not equal
B दोनों हमेशा समान हैं / They are always equal
C दोनों शून्य फलन हैं / Both are zero functions
D दोनों परिभाषित नहीं हैं / Both are undefined
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Correct Answer
A. दोनों सामान्यतः समान नहीं हैं / They are generally not equal
Step 1
Concept
(\(f\circ g\)(x)=f(x-1)=(x-1)2 +2)। / (\(f\circ g\)(x)=f(x-1)=(x-1)2 +2).
Step 2
Why this answer is correct
(\(g\circ f\)(x)=g\(x^2+2\)=x-2 +1)। / (\(g\circ f\)(x)=g\(x^2+2\)=x-2 +1).
Step 3
Exam Tip
दोनों व्यंजक सामान्यतः अलग हैं, इसलिए संयुक्त फलन में क्रम महत्वपूर्ण है। / The expressions are generally different, so order is important in composition.
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यदि (f(x)=x-2 ) और (g(x)=x+1), तो (\(f\circ g\)(x)) और (\(g\circ f\)(x)) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If (f(x)=x-2 ) and (g(x)=x+1), which statement about (\(f\circ g\)(x)) and (\(g\circ f\)(x)) is correct?
#composition order
#functions
#non commutative
#medium
A दोनों हमेशा समान नहीं हैं / They are not always equal
B दोनों हमेशा समान हैं / They are always equal
C दोनों परिभाषित नहीं हैं / Both are undefined
D दोनों स्थिर फलन हैं / Both are constant functions
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Correct Answer
A. दोनों हमेशा समान नहीं हैं / They are not always equal
Step 1
Concept
(\(f\circ g\)(x)=f(x+1)=(x+1)2 )। / (\(f\circ g\)(x)=f(x+1)=(x+1)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
(\(g\circ f\)(x)=g\(x^2\)=x-2 +1)। / (\(g\circ f\)(x)=g\(x^2\)=x-2 +1).
Step 3
Exam Tip
दोनों व्यंजक सामान्यतः समान नहीं हैं, इसलिए क्रम का ध्यान रखें। / These expressions are generally not equal, so order matters.
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