(f^{-1}(13)) means the value of (x) for which (f(x)=13).
Step 2
Why this answer is correct
From (2x+5=13), we get (2x=8), so (x=4).
Step 3
Exam Tip
While finding an inverse value, equate the original function to the given value. चरण 1: (f^{-1}(13)) का अर्थ है वह (x), जिसके लिए (f(x)=13)। चरण 2: (2x+5=13) से (2x=8), इसलिए (x=4)। चरण 3: प्रतिलोम मान निकालते समय मूल फलन को दिए गए मान के बराबर रखें।
Removing (x=3), all other real numbers remain in the domain. चरण 1: भिन्न में हर (x-3) है। चरण 2: हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x-3\ne0\)। चरण 3: (x=3) को हटाकर बाकी सभी वास्तविक संख्याएँ प्रान्त में रहेंगी।
The minimum value is (3), so the range is \([3,\infty\)). चरण 1: (x-2+4x+7=(x+2)2+3) लिखें। चरण 2: ((x+2)2\ge0), इसलिए (f(x)\ge3)। चरण 3: न्यूनतम मान (3) है, अतः परास \([3,\infty\)) है।
A. दोनों सामान्यतः समान नहीं हैं/They are generally not equal
Step 1
Concept
(\(f\circ g\)(x)=f(x-1)=(x-1)2+2).
Step 2
Why this answer is correct
(\(g\circ f\)(x)=g\(x^2+2\)=x-2+1).
Step 3
Exam Tip
The expressions are generally different, so order is important in composition. चरण 1: (\(f\circ g\)(x)=f(x-1)=(x-1)2+2)। चरण 2: (\(g\circ f\)(x)=g\(x^2+2\)=x-2+1)। चरण 3: दोनों व्यंजक सामान्यतः अलग हैं, इसलिए संयुक्त फलन में क्रम महत्वपूर्ण है।
In (7x+2), different (x) values give different outputs, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
For any \(y\in R\), choose \(x=\frac{y-2}{7}\).
Step 3
Exam Tip
Thus every real (y) is an image, so the function is onto. चरण 1: (7x+2) में (x) बदलने पर मान भी अलग बदलता है, इसलिए फलन एक-एकी है। चरण 2: किसी भी \(y\in R\) के लिए \(x=\frac{y-2}{7}\) लिया जा सकता है। चरण 3: इसलिए हर वास्तविक (y) छवि बनता है और फलन आच्छादक है।
A. यह न एक-एकी है न आच्छादक/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(2)=f(-2)=-1), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(x^2-5\ge-5\), a number like (-6) cannot be an image.
Step 3
Exam Tip
Hence it is not onto either. चरण 1: (f(2)=f(-2)=-1), इसलिए फलन एक-एकी नहीं है। चरण 2: \(x^2-5\ge-5\), इसलिए (-6) जैसी संख्या छवि नहीं बन सकती। चरण 3: अतः यह आच्छादक भी नहीं है।
For different (x), (x-1) is different, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
For every \(y\ge0\), (x=y+1), which lies in the domain \([1,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
Hence the function is onto as well. चरण 1: अलग-अलग (x) के लिए (x-1) अलग-अलग होता है, इसलिए फलन एक-एकी है। चरण 2: हर \(y\ge0\) के लिए (x=y+1), जो प्रान्त \([1,\infty\)) में है। चरण 3: इसलिए फलन आच्छादक भी है।
A. यह आच्छादक है पर एक-एकी नहीं/It is onto but not one-one
Step 1
Concept
For every \(y\ge4\), \(x=\sqrt{y-4}\) or \(x=-\sqrt{y-4}\) can be chosen, so it is onto.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=f(-1)=5), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
Changing the codomain can change onto status. चरण 1: हर \(y\ge4\) के लिए \(x=\sqrt{y-4}\) या \(x=-\sqrt{y-4}\) मिल सकता है, इसलिए आच्छादक है। चरण 2: (f(1)=f(-1)=5), इसलिए एक-एकी नहीं है। चरण 3: सहप्रान्त बदलने से आच्छादकता की स्थिति बदल सकती है।
The expression inside the square root, (2x-6), must be non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
From \(2x-6\ge0\), we get \(x\ge3\).
Step 3
Exam Tip
At (x=3), the value is (0), so (3) is included. चरण 1: वर्गमूल के अंदर (2x-6) ऋणात्मक नहीं होना चाहिए। चरण 2: \(2x-6\ge0\) से \(x\ge3\) मिलता है। चरण 3: (x=3) पर मान (0) है, इसलिए (3) शामिल होगा।
But the same square root is in the denominator, so it cannot be zero.
Step 3
Exam Tip
Thus (x+2>0), so the domain is (\(-2,\infty\)). चरण 1: वर्गमूल के लिए \(x+2\ge0\) चाहिए। चरण 2: लेकिन वही वर्गमूल हर में है, इसलिए वह शून्य नहीं हो सकता। चरण 3: अतः (x+2>0), यानी प्रान्त (\(-2,\infty\)) है।
The denominator cannot be zero, so \(x\ne4\) and \(x\ne-4\).
Step 3
Exam Tip
Even if (x-4) cancels, (x=4) is not valid in the original function. चरण 1: हर (x-2-16=(x-4)(x+4)) है। चरण 2: हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x\ne4\) और \(x\ne-4\)। चरण 3: भले ही (x-4) कटे, मूल फलन में (x=4) मान्य नहीं होगा।
Thus (x=3) or (x=-5), so the preimage is ({-5,3}). चरण 1: पूर्वछवि के लिए (|x+1|=4) हल करें। चरण 2: इससे (x+1=4) या (x+1=-4) मिलता है। चरण 3: इसलिए (x=3) या (x=-5), अतः पूर्वछवि ({-5,3}) है।
The images of (1,2,3,4) are distinct, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(t) is in the codomain but is not an image.
Step 3
Exam Tip
Therefore the function is not onto. चरण 1: (1,2,3,4) की छवियाँ अलग-अलग हैं, इसलिए फलन एक-एकी है। चरण 2: (t) सहप्रान्त में है पर किसी की छवि नहीं है। चरण 3: इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
There are two non-onto functions, where all elements go only to (a) or only to (b).
Step 3
Exam Tip
Therefore onto functions are (16-2=14). चरण 1: कुल फलन \(2^4=16\) होंगे। चरण 2: आच्छादक न होने वाले फलन दो हैं, जिनमें सभी अवयव केवल (a) या केवल (b) पर जाते हैं। चरण 3: इसलिए आच्छादक फलन (16-2=14) होंगे।
In a one-one function, the two inputs must have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
The first input has (5) choices and the second has (4) choices.
Step 3
Exam Tip
Total one-one functions are \(5\cdot4=20\). चरण 1: एक-एकी फलन में दोनों आगतों की छवियाँ अलग होनी चाहिए। चरण 2: पहले आगत के लिए (5) विकल्प और दूसरे के लिए (4) विकल्प हैं। चरण 3: कुल \(5\cdot4=20\) एक-एकी फलन होंगे।
A. नहीं, क्योंकि प्रान्त में सहप्रान्त से कम अवयव हैं/No, because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
In an onto function, every element of the codomain must be an image.
Step 2
Why this answer is correct
Here the domain has (3) elements, but the codomain has (4).
Step 3
Exam Tip
Three inputs cannot cover four different codomain elements, so no onto function exists. चरण 1: आच्छादक फलन में सहप्रान्त का हर अवयव छवि होना चाहिए। चरण 2: यहाँ प्रान्त में (3) अवयव हैं, पर सहप्रान्त में (4) अवयव हैं। चरण 3: तीन आगत चार अलग अवयवों को पूरा नहीं ढक सकते, इसलिए आच्छादक फलन नहीं बनेगा।
For a cubic function, the real cube root can be taken directly. चरण 1: (f^{-1}(10)) के लिए \(x^3+2=10\) हल करें। चरण 2: \(x^3=8\), इसलिए (x=2)। चरण 3: घन फलन में वास्तविक घनमूल सीधे लिया जा सकता है।
Replacing (y) by (x), (f^{-1}(x)=\frac{4x+2}{3}). चरण 1: \(y=\frac{3x-2}{4}\) लिखें। चरण 2: (4y=3x-2), इसलिए \(x=\frac{4y+2}{3}\)। चरण 3: (y) को (x) से बदलने पर (f^{-1}(x)=\frac{4x+2}{3})।
A. क्योंकि यह एक-एकी नहीं है/Because it is not one-one
Step 1
Concept
For an inverse function to exist, the original function must be one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) and (f(-2)=0), while \(0\ne-2\).
Step 3
Exam Tip
Since one image has two preimages, the inverse is not a well-defined function. चरण 1: प्रतिलोम फलन के लिए मूल फलन का एक-एकी होना जरूरी है। चरण 2: (f(0)=0) और (f(-2)=0), जबकि \(0\ne-2\)। चरण 3: एक छवि की दो पूर्वछवियाँ होने से प्रतिलोम फलन स्पष्ट नहीं बनता।
Hence (x=5) or (x=1), so the preimage is ({1,5}). चरण 1: पूर्वछवि के लिए (|x-3|=2) हल करें। चरण 2: इससे (x-3=2) या (x-3=-2) मिलता है। चरण 3: इसलिए (x=5) या (x=1), अतः पूर्वछवि ({1,5}) है।
The minimum value is (1), attained at (x=-3). चरण 1: (x-2+6x+10=(x+3)2+1) लिखें। चरण 2: ((x+3)2\ge0), इसलिए (f(x)\ge1)। चरण 3: न्यूनतम मान (1) है, जो (x=-3) पर मिलता है।
Therefore the least value is (1), and the range is \([1,\infty\)). चरण 1: फलन को ((x+3)2+1) के रूप में लिखें। चरण 2: वर्ग का मान हमेशा (0) या उससे अधिक होता है। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा मान (1) है और परास \([1,\infty\)) है।
A. नहीं, कोई वास्तविक हल नहीं है/No, it has no real solution
Step 1
Concept
Assume \(\frac{2x}{x-1}=2\).
Step 2
Why this answer is correct
This gives (2x=2x-2), which is impossible.
Step 3
Exam Tip
Therefore (2) is not in the range of this function. चरण 1: \(\frac{2x}{x-1}=2\) मानें। चरण 2: इससे (2x=2x-2) मिलता है, जो असंभव है। चरण 3: इसलिए (2) इस फलन के परास में नहीं आता।
From (y(x-1)=2x), we get \(x=\frac{y}{y-2}\), if \(y\ne2\).
Step 3
Exam Tip
Hence every real (y) is possible except (2). चरण 1: \(y=\frac{2x}{x-1}\) लिखें। चरण 2: (y(x-1)=2x) से \(x=\frac{y}{y-2}\), यदि \(y\ne2\)। चरण 3: इसलिए हर वास्तविक (y) संभव है, केवल (2) नहीं।
The composite of two one-one functions is one-one, and the composite of two onto functions is onto.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(g\circ f\) is bijective. चरण 1: उभयैक का अर्थ एक-एकी और आच्छादक दोनों होता है। चरण 2: दो एक-एकी फलनों का संयुक्त फलन एक-एकी होता है और दो आच्छादक फलनों का संयुक्त फलन आच्छादक होता है। चरण 3: इसलिए \(g\circ f\) उभयैक होगा।
Then (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), so (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)).
Step 3
Exam Tip
Since \(g\circ f\) is one-one, \(a_1=a_2\), so (f) is one-one. चरण 1: मान लें (f\(a_1\)=f\(a_2\))। चरण 2: तब (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), यानी (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\))। चरण 3: \(g\circ f\) एक-एकी है, इसलिए \(a_1=a_2\), अतः (f) एक-एकी है।
Applying (f) first and then (g) brings the original value back.
Step 3
Exam Tip
Therefore (\(g\circ f\)(x)=x). चरण 1: प्रतिलोम फलन एक-दूसरे की क्रिया को उलट देते हैं। चरण 2: पहले (f) और फिर (g) लगाने पर मूल मान वापस आता है। चरण 3: इसलिए (\(g\circ f\)(x)=x)।
If (k=0), then (f(x)=-5) becomes a constant function.
Step 2
Why this answer is correct
A constant function is not one-one.
Step 3
Exam Tip
Therefore the linear function is one-one when \(k\ne0\). चरण 1: यदि (k=0), तो (f(x)=-5) स्थिर फलन बन जाएगा। चरण 2: स्थिर फलन एक-एकी नहीं होता। चरण 3: इसलिए रैखिक फलन के एक-एकी होने के लिए \(k\ne0\) चाहिए।
Therefore onto requires \(k\ne0\). चरण 1: यदि (k=0), तो फलन का मान हमेशा (-1) रहेगा। चरण 2: तब परास केवल ({-1}) होगा, पूरा (R) नहीं। चरण 3: इसलिए आच्छादकता के लिए \(k\ne0\) चाहिए।
Putting (y=1) gives an impossible statement, so (1) is not in the range. चरण 1: \(y=\frac{x+1}{x-2}\) लिखें। चरण 2: (y(x-2)=x+1) से (x(y-1)=2y+1) मिलता है। चरण 3: (y=1) रखने पर असंभव स्थिति बनती है, इसलिए (1) परास में नहीं है।
Solving gives \(x=\frac{2y+1}{y-1}\), if \(y\ne1\).
Step 3
Exam Tip
Hence all real values except (1) are in the range. चरण 1: \(y=\frac{x+1}{x-2}\) मानें। चरण 2: हल करने पर \(x=\frac{2y+1}{y-1}\) मिलता है, यदि \(y\ne1\)। चरण 3: इसलिए (1) को छोड़कर सभी वास्तविक मान परास में आते हैं।
The absolute values of the given elements are (4,2,0,2,4).
Step 2
Why this answer is correct
Repeated values are written only once in the range.
Step 3
Exam Tip
The range is ({0,2,4}), so it has (3) elements. चरण 1: दिए गए अवयवों के परम मान (4,2,0,2,4) हैं। चरण 2: परास में दोहराए हुए मान एक बार लिखे जाते हैं। चरण 3: परास ({0,2,4}) है, इसलिए (3) अवयव हैं।
All three elements (a,b,c) appear as images, so the function is onto.
Step 2
Why this answer is correct
Both (1) and (2) map to (a), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
In such questions, check both codomain coverage and distinct images. चरण 1: (a,b,c) तीनों छवि के रूप में मिलते हैं, इसलिए फलन आच्छादक है। चरण 2: (1) और (2) दोनों (a) पर जाते हैं, इसलिए एक-एकी नहीं है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में सहप्रान्त के हर अवयव और अलग छवियों दोनों की जाँच करें।
(g(f(x))=\sqrt{\(x^2-4\)+4}=\sqrt{x-2}). चरण 1: (\(g\circ f\)(x)=g(f(x))) है। चरण 2: (g) में (x) के स्थान पर \(x^2-4\) रखें। चरण 3: (g(f(x))=\sqrt{\(x^2-4\)+4}=\sqrt{x-2})।
Replacing (y) by (x), (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-5}). चरण 1: \(y=x^3+5\) लिखें। चरण 2: \(x^3=y-5\), इसलिए \(x=\sqrt[3]{y-5}\)। चरण 3: (y) को (x) से बदलने पर (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-5})।
Since the domain is \([0,\infty\)), only (3) is valid. चरण 1: (f^{-1}(10)) के लिए \(x^2+1=10\) हल करें। चरण 2: \(x^2=9\), इसलिए (x=3) या (x=-3)। चरण 3: प्रान्त \([0,\infty\)) है, इसलिए केवल (3) मान्य है।
Hence (x=2) or (x=-2), so the preimage is ({-2,2}). चरण 1: पूर्वछवि के लिए \(x^2+1=5\) हल करें। चरण 2: इससे \(x^2=4\) मिलता है। चरण 3: इसलिए (x=2) या (x=-2), अतः पूर्वछवि ({-2,2}) है।
At (x=4), (f(4)=2), so it is not zero. चरण 1: (f(x)=x-2-5x+6=(x-2)(x-3))। चरण 2: (x=2) और (x=3) पर गुणनफल शून्य होगा। चरण 3: (x=4) पर (f(4)=2), इसलिए वह शून्य नहीं है।
At (x=4), the minimum value (1) is obtained, so the range is \([1,\infty\)). चरण 1: \(|x-4|\ge0\) हर वास्तविक (x) के लिए। चरण 2: इसलिए \(|x-4|+1\ge1\)। चरण 3: (x=4) पर न्यूनतम मान (1) मिलता है, अतः परास \([1,\infty\)) है।
A. क्योंकि (0) इसकी छवि नहीं हो सकता/Because (0) cannot be its image
Step 1
Concept
The value of (|x-4|+1) is always at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain (R) contains (0), but it cannot be the image of any (x).
Step 3
Exam Tip
Therefore the function is not onto. चरण 1: (|x-4|+1) का मान हमेशा (1) या उससे बड़ा होता है। चरण 2: सहप्रान्त (R) में (0) है, लेकिन वह किसी (x) की छवि नहीं बन सकता। चरण 3: इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
In a bijective function, every element is matched exactly one-to-one.
Step 2
Why this answer is correct
Hence the domain and codomain have the same number of elements.
Step 3
Exam Tip
Since (B) has (8) elements, (A) also has (8). चरण 1: उभयैक फलन में हर अवयव का ठीक एक-एक मिलान होता है। चरण 2: इसलिए प्रान्त और सहप्रान्त में अवयवों की संख्या समान होती है। चरण 3: (B) में (8) अवयव हैं, अतः (A) में भी (8) होंगे।
A. (f) उभयैक है और \(g=f^{-1}\)/(f) is bijective and \(g=f^{-1}\)
Step 1
Concept
Both compositions give identity functions.
Step 2
Why this answer is correct
This means (f) and (g) completely undo each other's action.
Step 3
Exam Tip
Therefore (f) is bijective and (g) is the inverse of (f). चरण 1: दोनों संयुक्त फलन पहचान फलन दे रहे हैं। चरण 2: इसका अर्थ है कि (f) और (g) एक-दूसरे की क्रिया को पूरी तरह उलटते हैं। चरण 3: इसलिए (f) उभयैक है और (g), (f) का प्रतिलोम है।
