फलन \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) जहाँ (f(x)=\sqrt{x}), किस प्रकार का है?
The function \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), where (f(x)=\sqrt{x}), is of which type?
#bijective function
#square root
#onto proof
A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B आच्छादी लेकिन एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C एकैकी लेकिन आच्छादी नहीं / One-one but not onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
Step 1
Concept
\(\sqrt{x}\) \([0,\infty\)) पर बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। / \(\sqrt{x}\) is increasing on \([0,\infty\)), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge0\) के लिए \(x=y^2\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge0\), choose \(x=y^2\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम जैसी सोच से आच्छादिता जल्दी सिद्ध होती है। / Thinking through the inverse helps prove onto quickly.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) जहाँ (f(x)=\tan^{-1}x), तो सही निष्कर्ष क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)), where (f(x)=\tan^{-1}x), what is the correct conclusion?
#inverse tangent
#bijective function
#onto function
A (f) एकैकी और आच्छादी है / (f) is one-one and onto
B (f) आच्छादी नहीं है / (f) is not onto
C (f) एकैकी नहीं है / (f) is not one-one
D (f) का परिसर \([0,\infty\)) है / The range of (f) is \([0,\infty\))
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Correct Answer
A. (f) एकैकी और आच्छादी है / (f) is one-one and onto
Step 1
Concept
\(\tan^{-1}x\) सख्ती से बढ़ता है इसलिए एकैकी है। / \(\tan^{-1}x\) is strictly increasing, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसका परिसर (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है जो सहप्रांत के बराबर है। / Its range is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
सही सहप्रांत चुनने पर कई फलन आच्छादी बन जाते हैं। / Choosing the exact range as codomain often makes a function onto.
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फलन \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\) जहाँ (f(x)=\sin x), किस प्रकार का है?
The function \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\), where (f(x)=\sin x), is of which type?
#bijective function
#onto function
#sine restricted domain
A एकैकी और आच्छादी दोनों / Both one-one and onto
B आच्छादी लेकिन एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C एकैकी लेकिन आच्छादी नहीं / One-one but not onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादी दोनों / Both one-one and onto
Step 1
Concept
दिए गए प्रांत पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। / On the given domain, \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
इसका परिसर ([-1,1]) है जो सहप्रांत के बराबर है। / Its range is ([-1,1]), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
सीमित अंतराल पर त्रिकोणमितीय फलन की एकरसता और परिसर दोनों जाँचें। / On restricted trigonometric intervals, check both monotonicity and range.
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यदि \(f:A\to B\) उभयैक है और (A) में (9) अवयव हैं, तो (B) में कितने अवयव होंगे?
If \(f:A\to B\) is bijective and (A) has (9) elements, how many elements will (B) have?
#bijective function
#finite sets
#cardinality
A (9)
B (8)
C (10)
D यह निश्चित नहीं / Cannot be determined
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Step 1
Concept
उभयैक फलन में हर अवयव का ठीक एक-एक मिलान होता है। / In a bijective function, every element is matched exactly one-to-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए प्रान्त और सहप्रान्त में अवयवों की संख्या समान होती है। / Hence the domain and codomain have the same number of elements.
Step 3
Exam Tip
(A) में (9) अवयव हैं, अतः (B) में भी (9) होंगे। / Since (A) has (9) elements, (B) also has (9).
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यदि \(f:A\to B\) उभयैक है और (B) में (8) अवयव हैं, तो (A) में कितने अवयव होंगे?
If \(f:A\to B\) is bijective and (B) has (8) elements, how many elements will (A) have?
#bijective function
#finite sets
#cardinality
A (8)
B (7)
C (9)
D यह निश्चित नहीं / Cannot be determined
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Step 1
Concept
उभयैक फलन में हर अवयव का ठीक एक-एक मिलान होता है। / In a bijective function, every element is matched exactly one-to-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए प्रान्त और सहप्रान्त में अवयवों की संख्या समान होती है। / Hence the domain and codomain have the same number of elements.
Step 3
Exam Tip
(B) में (8) अवयव हैं, अतः (A) में भी (8) होंगे। / Since (B) has (8) elements, (A) also has (8).
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यदि \(f:A\to B\) उभयैक है और (A) में (5) अवयव हैं, तो (B) में कितने अवयव होंगे?
If \(f:A\to B\) is bijective and (A) has (5) elements, how many elements will (B) have?
#bijective function
#finite sets
#cardinality
A (5)
B (4)
C (6)
D यह निश्चित नहीं / Cannot be determined
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Step 1
Concept
उभयैक फलन में हर अवयव का मिलान ठीक एक-एक तरीके से होता है। / In a bijective function, elements are matched exactly one-to-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए प्रान्त और सहप्रान्त में अवयवों की संख्या समान होती है। / Hence the domain and codomain have the same number of elements.
Step 3
Exam Tip
(A) में (5) अवयव हैं, अतः (B) में भी (5) होंगे। / Since (A) has (5) elements, (B) also has (5).
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यदि \(f:A\to B\) उभयैक है, तो प्रतिलोम फलन के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If \(f:A\to B\) is bijective, which statement about the inverse function is correct?
#bijective function
#inverse function
#domain codomain
A \(f^{-1}:B\to A\) परिभाषित होता है / \(f^{-1}:B\to A\) is defined
B \(f^{-1}:A\to B\) ही होता है / \(f^{-1}:A\to B\) only
C प्रतिलोम कभी नहीं बनता / The inverse never exists
D प्रतिलोम केवल स्थिर फलन होता है / The inverse is only a constant function
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Correct Answer
A. \(f^{-1}:B\to A\) परिभाषित होता है / \(f^{-1}:B\to A\) is defined
Step 1
Concept
उभयैक फलन एक-एकी और आच्छादक दोनों होता है। / A bijective function is both one-one and onto.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर छवि की ठीक एक पूर्वछवि मिलती है। / Therefore every image has exactly one preimage.
Step 3
Exam Tip
इसी कारण प्रतिलोम फलन (B) से (A) में परिभाषित होता है। / Hence the inverse function is defined from (B) to (A).
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यदि \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c\}\), और \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c)\}\), तो (f) कैसा है?
If \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c\}\), and \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c)\}\), what type of function is (f)?
#bijective function
#finite mapping
#one one onto
A उभयैक / Bijective
B केवल बहु-एकी / Only many-one
C आच्छादक नहीं / Not onto
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. उभयैक / Bijective
Step 1
Concept
तीनों आगतों की छवियाँ अलग-अलग हैं, इसलिए फलन एक-एकी है। / The three inputs have distinct images, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(B) के सभी अवयव छवि के रूप में आए हैं, इसलिए आच्छादक है। / All elements of (B) appear as images, so it is onto.
Step 3
Exam Tip
एक-एकी और आच्छादक दोनों होने से यह उभयैक है। / Since it is both one-one and onto, it is bijective.
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यदि \(f:A\to B\) उभयैक फलन है, तो \(f^{-1}\) किससे किसमें फलन होगा?
If \(f:A\to B\) is a bijective function, then \(f^{-1}\) is a function from which set to which set?
#bijective function
#inverse function
#domain codomain
#functions
A (B) से (A) में / From (B) to (A)
B (A) से (B) में / From (A) to (B)
C (A) से (A) में / From (A) to (A)
D (B) से (B) में / From (B) to (B)
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Correct Answer
A. (B) से (A) में / From (B) to (A)
Step 1
Concept
उभयैक फलन का प्रतिलोम अच्छी तरह परिभाषित होता है। / A bijective function has a well-defined inverse.
Step 2
Why this answer is correct
यदि मूल फलन (A) से (B) में जाता है, तो प्रतिलोम दिशा बदल देता है। / If the original function maps from (A) to (B), the inverse reverses the direction.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(f^{-1}\) (B) से (A) में फलन होगा। / Therefore \(f^{-1}\) maps from (B) to (A).
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यदि \(A=\{1,2\}\), \(B=\{a,b\}\), और \(f=\{(1,a),(2,b)\}\), तो (f) कैसा है?
If \(A=\{1,2\}\), \(B=\{a,b\}\), and \(f=\{(1,a),(2,b)\}\), what type of function is (f)?
#bijective function
#finite mapping
#one one
#onto
A उभयैक / Bijective
B केवल बहु-एकी / Only many-one
C आच्छादक नहीं / Not onto
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. उभयैक / Bijective
Step 1
Concept
दोनों आगतों की छवियाँ अलग हैं, इसलिए फलन एक-एकी है। / The two inputs have different images, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(B) के दोनों अवयव (a) और (b) छवि के रूप में आए हैं, इसलिए आच्छादक है। / Both elements (a) and (b) of (B) appear as images, so it is onto.
Step 3
Exam Tip
एक-एकी और आच्छादक दोनों होने से यह उभयैक है। / Being both one-one and onto, it is bijective.
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यदि \(f:A\to B\) उभयैक है, तो (f) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If \(f:A\to B\) is bijective, which statement is correct about (f)?
#bijective function
#one one
#onto
#inverse
A यह एक-एकी और आच्छादक दोनों है / It is both one-one and onto
B यह केवल स्थिर है / It is only constant
C यह केवल बहु-एकी है / It is only many-one
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. यह एक-एकी और आच्छादक दोनों है / It is both one-one and onto
Step 1
Concept
उभयैक फलन का अर्थ दो गुणों का साथ होना है। / A bijective function means two properties hold together.
Step 2
Why this answer is correct
वह एक-एकी भी होता है और आच्छादक भी। / It is both one-one and onto.
Step 3
Exam Tip
ऐसे फलन का प्रतिलोम सामान्यतः अच्छी तरह परिभाषित होता है। / Such a function generally has a well-defined inverse.
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