Level 21 • 41/50 questions • 40 seconds per question.
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If (f(x)=6x+2), what is the value of (f(2))?
A. (14)
फलन में (x) के स्थान पर (2) रखें। / Put (x=2) in the function.
(f(2)=6\cdot2+2=12+2=14)। / (f(2)=6\cdot2+2=12+2=14).
रैखिक फलन में पहले गुणा करें, फिर जोड़ें। / In a linear function, multiply first and then add.
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If (f(x)=x-2+3x), what is (f(2))?
A. (10)
(x=2) रखें। / Put (x=2).
(f(2)=22+3\cdot2=4+6=10)। / (f(2)=22+3\cdot2=4+6=10).
वर्ग और गुणा दोनों को सही क्रम में करें। / Do the square and multiplication in the correct order.
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If (f(x)=2x-2-1), what is (f(-2))?
A. (7)
(x=-2) रखें। / Put (x=-2).
(f(-2)=2(-2)2-1=2\cdot4-1=7)। / (f(-2)=2(-2)2-1=2\cdot4-1=7).
ऋणात्मक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है। / The square of a negative number is positive.
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If \(f=\{(1,5),(2,6),(3,7)\}\), what is the image of (2)?
A. (6)
क्रमित युग्म में पहला घटक आगत और दूसरा घटक छवि होता है। / In an ordered pair, the first component is the input and the second is the image.
((2,6)) दिया है, इसलिए (2) की छवि (6) है। / Since ((2,6)) is given, the image of (2) is (6).
युग्म पढ़ते समय घटकों का क्रम न बदलें। / Do not reverse the order of components.
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If \(f=\{(4,1),(5,1),(6,2)\}\), what is the domain of (f)?
A. ({4,5,6})
प्रान्त क्रमित युग्मों के पहले घटकों से बनता है। / The domain is formed by the first components of ordered pairs.
पहले घटक (4,5,6) हैं। / The first components are (4,5,6).
इसलिए प्रान्त ({4,5,6}) है। / Therefore the domain is ({4,5,6}).
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If \(f=\{(4,1),(5,1),(6,2)\}\), what is the range of (f)?
A. ({1,2})
परास वास्तविक छवियों का समुच्चय होता है। / The range is the set of actual images.
दूसरे घटक (1,1,2) हैं। / The second components are (1,1,2).
समुच्चय में दोहराव नहीं लिखा जाता, इसलिए परास ({1,2}) है। / Repetition is not written in a set, so the range is ({1,2}).
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Which of the following relations is a function?
A. ({(1,2),(2,2),(3,4)})
फलन में एक आगत की दो अलग छवियाँ नहीं हो सकतीं। / In a function, one input cannot have two different images.
पहले विकल्प में (1,2,3) प्रत्येक की ठीक एक छवि है। / In the first option, each of (1,2,3) has exactly one image.
बाकी विकल्पों में कोई न कोई पहला घटक दो अलग छवियों के साथ आया है। / In the other options, some first component has two different images.
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Which of the following relations is not a function?
A. ({(0,1),(0,2),(1,3)})
फलन होने के लिए हर आगत की एक ही छवि होनी चाहिए। / For being a function, each input must have only one image.
पहले विकल्प में (0) की दो छवियाँ (1) और (2) हैं। / In the first option, (0) has two images (1) and (2).
इसलिए पहला विकल्प फलन नहीं है। / Therefore the first option is not a function.
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If \(A=\{0,1,2\}\) and (f(x)=2x+1), what is (f(A))?
A. ({1,3,5})
(A) के हर अवयव पर फलन लगाएँ। / Apply the function to every element of (A).
(f(0)=1), (f(1)=3), और (f(2)=5)। / (f(0)=1), (f(1)=3), and (f(2)=5).
इसलिए (f(A)={1,3,5}) है। / Hence (f(A)={1,3,5}).
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If (f(x)=3x+4), what is (f(a))?
A. (3a+4)
(f(a)) निकालने के लिए (x) के स्थान पर (a) रखें। / To find (f(a)), put (a) in place of (x).
(3x+4) बदलकर (3a+4) होगा। / (3x+4) becomes (3a+4).
प्रतीकात्मक मान में केवल आगत को बदलें। / In symbolic evaluation, replace only the input.
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If (f(x)=x-2+1), what is (f(a-1))?
A. ((a-1)2+1)
(f(a-1)) में (x) की जगह पूरा (a-1) रखें। / In (f(a-1)), replace (x) by the whole expression (a-1).
\(x^2+1\) से ((a-1)2+1) मिलेगा। / \(x^2+1\) becomes ((a-1)2+1).
पूरे व्यंजक को कोष्ठक में रखना जरूरी है। / Put the whole expression in brackets.
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If (f(x)=2x+5), what is (f(x-2))?
A. (2x+1)
(x) के स्थान पर (x-2) रखें। / Replace (x) by (x-2).
(f(x-2)=2(x-2)+5=2x-4+5)। / (f(x-2)=2(x-2)+5=2x-4+5).
सरल करने पर (2x+1) मिलता है। / Simplifying gives (2x+1).
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If (f(x)=x-2), what is (f(x-1)-f(x))?
A. (-2x+1)
(f(x-1)=(x-1)2) और (f(x)=x-2)। / (f(x-1)=(x-1)2) and (f(x)=x-2).
अंतर ((x-1)2-x-2) होगा। / The difference is ((x-1)2-x-2).
सरल करने पर \(x^2-2x+1-x^2=-2x+1\)। / Simplifying gives \(x^2-2x+1-x^2=-2x+1\).
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If (f(x)=x+6), what is (f^{-1}(x))?
A. (x-6)
(y=x+6) लिखें। / Write (y=x+6).
(x=y-6) मिलेगा। / Then (x=y-6).
(y) को (x) से बदलने पर (f^{-1}(x)=x-6)। / Replacing (y) by (x), (f^{-1}(x)=x-6).
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If (f(x)=5x), what is (f^{-1}(x))?
A. \(\frac{x}{5}\)
(y=5x) मानें। / Let (y=5x).
\(x=\frac{y}{5}\) मिलेगा। / Then \(x=\frac{y}{5}\).
(y) के स्थान पर (x) लिखने पर (f^{-1}(x)=\frac{x}{5})। / Replacing (y) by (x), (f^{-1}(x)=\frac{x}{5}).
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If (f(x)=3x+6), what is (f^{-1}(0))?
A. (-2)
(f^{-1}(0)) का अर्थ है (f(x)=0) हल करना। / (f^{-1}(0)) means solving (f(x)=0).
(3x+6=0) से (3x=-6)। / From (3x+6=0), we get (3x=-6).
इसलिए (x=-2) मिलता है। / Hence (x=-2).
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Which statement is correct about \(f:R\to R\), (f(x)=4x+9)?
A. यह एक-एकी और आच्छादक हैIt is one-one and onto
(4x+9) अलग-अलग (x) के लिए अलग-अलग मान देता है। / (4x+9) gives different values for different (x).
हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\frac{y-9}{4}\) लिया जा सकता है। / For every real (y), we can take \(x=\frac{y-9}{4}\).
इसलिए फलन एक-एकी और आच्छादक दोनों है। / Hence the function is both one-one and onto.
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What is the range of \(f:R\to R\), (f(x)=x-2+9)?
A. \([9,\infty\))
हर वास्तविक (x) के लिए \(x^2\ge 0\)। / For every real (x), \(x^2\ge 0\).
इसलिए \(x^2+9\ge 9\)। / Therefore \(x^2+9\ge 9\).
न्यूनतम मान (9) है, अतः परास \([9,\infty\)) है। / The minimum value is (9), so the range is \([9,\infty\)).
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Why is \(f:R\to R\), (f(x)=x-2+9), not onto?
A. क्योंकि (0) इसकी छवि नहीं हो सकताBecause (0) cannot be its image
\(x^2+9\) का मान हमेशा (9) या उससे बड़ा होता है। / The value of \(x^2+9\) is always at least (9).
सहप्रान्त (R) में (0) है, पर कोई वास्तविक (x) इसे छवि नहीं बना सकता। / The codomain (R) contains (0), but no real (x) maps to it.
इसलिए यह आच्छादक नहीं है। / Therefore the function is not onto.
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What is the range of \(f:R\to R\), (f(x)=9)?
A. ({9})
यह स्थिर फलन है। / This is a constant function.
हर आगत की छवि (9) ही है। / The image of every input is only (9).
इसलिए परास केवल ({9}) है। / Hence the range is ({9}).
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Why is \(f:R\to R\), (f(x)=9), not one-one?
A. क्योंकि (f(1)=f(2))Because (f(1)=f(2))
एक-एकी फलन में अलग आगतों की छवियाँ अलग होनी चाहिए। / In a one-one function, different inputs must have different images.
यहाँ \(1\ne2\), पर (f(1)=9) और (f(2)=9)। / Here \(1\ne2\), but (f(1)=9) and (f(2)=9).
इसलिए स्थिर फलन एक-एकी नहीं है। / Therefore the constant function is not one-one.
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What is the real domain of (f(x)=\sqrt{x-4})?
A. \([4,\infty\))
वर्गमूल के अंदर (x-4) ऋणात्मक नहीं होना चाहिए। / The expression under the square root, (x-4), must be non-negative.
\(x-4\ge 0\) से \(x\ge 4\)। / \(x-4\ge 0\) gives \(x\ge 4\).
इसलिए वास्तविक प्रान्त \([4,\infty\)) है। / Hence the real domain is \([4,\infty\)).
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What is the real domain of (f(x)=\sqrt{3+x})?
A. \([-3,\infty\))
वर्गमूल के लिए \(3+x\ge 0\) होना चाहिए। / For the square root, \(3+x\ge 0\) is needed.
इससे \(x\ge -3\) मिलता है। / This gives \(x\ge -3\).
इसलिए प्रान्त \([-3,\infty\)) है। / Therefore the domain is \([-3,\infty\)).
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At which value is (f(x)=\frac{2}{x-5}) not defined?
A. (x=5)
भिन्न में हर (x-5) है। / The denominator of the fraction is (x-5).
(x-5=0) होने पर (x=5) मिलता है। / (x-5=0) gives (x=5).
हर शून्य होने पर फलन परिभाषित नहीं रहता। / A function with zero denominator is not defined there.
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What is the real domain of (f(x)=\frac{x+2}{x-1})?
A. (R-{1})
हर (x-1) शून्य नहीं होना चाहिए। / The denominator (x-1) must not be zero.
(x-1=0) से (x=1) मिलता है। / (x-1=0) gives (x=1).
इसलिए (1) को हटाकर सभी वास्तविक संख्याएँ प्रान्त हैं। / So the domain is all real numbers except (1).
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If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(B=\{a,b\}\), how many functions can be formed from (A) to (B)?
A. (16)
(A) में (4) अवयव हैं और (B) में (2) विकल्प हैं। / (A) has (4) elements and (B) gives (2) choices.
हर अवयव के लिए (2) छवि विकल्प हैं। / Each element has (2) image choices.
कुल फलन \(2^4=16\) होंगे। / Total functions are \(2^4=16\).
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If (A) has (3) elements and (B) has (4) elements, how many functions are there from (A) to (B)?
A. (64)
कुल फलनों की संख्या \(n^m\) होती है। / The number of functions is \(n^m\).
यहाँ (m=3) और (n=4) हैं। / Here (m=3) and (n=4).
इसलिए संख्या \(4^3=64\) है। / Therefore the number is \(4^3=64\).
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If \(A=\{1,2\}\) and \(B=\{a,b,c\}\), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
A. (6)
एक-एकी फलन में दोनों आगतों की छवियाँ अलग होंगी। / In a one-one function, the two inputs must have distinct images.
पहले आगत के लिए (3) और दूसरे के लिए (2) विकल्प हैं। / The first input has (3) choices and the second has (2) choices.
कुल \(3\cdot2=6\) एक-एकी फलन हैं। / Total one-one functions are \(3\cdot2=6\).
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If \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c\}\), and \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c)\}\), what type of function is (f)?
A. उभयैकBijective
तीनों आगतों की छवियाँ अलग-अलग हैं, इसलिए फलन एक-एकी है। / The three inputs have distinct images, so the function is one-one.
(B) के सभी अवयव छवि के रूप में आए हैं, इसलिए आच्छादक है। / All elements of (B) appear as images, so it is onto.
एक-एकी और आच्छादक दोनों होने से यह उभयैक है। / Since it is both one-one and onto, it is bijective.
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If \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c\}\), and \(f=\{(1,a),(2,a),(3,c)\}\), what is correct about (f)?
A. यह न एक-एकी है न आच्छादकIt is neither one-one nor onto
(1) और (2) दोनों की छवि (a) है, इसलिए एक-एकी नहीं है। / Both (1) and (2) map to (a), so it is not one-one.
(b) सहप्रान्त में है पर छवि नहीं है, इसलिए आच्छादक नहीं है। / (b) is in the codomain but is not an image, so it is not onto.
फिर भी हर आगत की एक छवि है, इसलिए यह फलन है। / Still, every input has one image, so it is a function.
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Why is \(f:R\to R\), (f(x)=5x-2), one-one?
A. क्योंकि (f(a)=f(b)) से (a=b) मिलता हैBecause (f(a)=f(b)) gives (a=b)
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
तब (5a-2=5b-2), इसलिए (5a=5b)। / Then (5a-2=5b-2), so (5a=5b).
इससे (a=b) मिलता है, इसलिए फलन एक-एकी है। / This gives (a=b), so the function is one-one.
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Why is \(f:R\to R\), (f(x)=x-2-9), not one-one?
A. क्योंकि (f(3)=f(-3))Because (f(3)=f(-3))
एक-एकी में अलग आगतों की छवियाँ अलग होती हैं। / In a one-one function, different inputs have different images.
\(3\ne -3\), पर (f(3)=0) और (f(-3)=0)। / \(3\ne -3\), but (f(3)=0) and (f(-3)=0).
इसलिए यह फलन एक-एकी नहीं है। / Therefore this function is not one-one.
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If \(f:R\to R\), (f(x)=x-3-2), is (f) onto?
A. हाँ, क्योंकि हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y+2}\) मिल जाता हैYes, because for every real (y), \(x=\sqrt[3]{y+2}\) exists
आच्छादकता के लिए हर वास्तविक (y) की पूर्वछवि चाहिए। / For onto, every real (y) must have a preimage.
\(x^3-2=y\) से \(x=\sqrt[3]{y+2}\) मिलता है। / From \(x^3-2=y\), we get \(x=\sqrt[3]{y+2}\).
यह हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है, इसलिए फलन आच्छादक है। / This is real for every real (y), so the function is onto.
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Why is \(f:R\to R\), (f(x)=|x+2|), not one-one?
A. क्योंकि (f(-3)=f(-1))Because (f(-3)=f(-1))
(f(-3)=|-3+2|=1)। / (f(-3)=|-3+2|=1).
(f(-1)=|-1+2|=1)। / (f(-1)=|-1+2|=1).
दो अलग आगतों की छवि समान है, इसलिए फलन एक-एकी नहीं है। / Two different inputs have the same image, so the function is not one-one.
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If \(f:R\to R\), (f(x)=|x+2|), what is its range?
A. \([0,\infty\))
परम मान कभी ऋणात्मक नहीं होता। / An absolute value is never negative.
(x=-2) पर (|x+2|=0) मिलता है। / At (x=-2), (|x+2|=0).
इसलिए परास \([0,\infty\)) है। / Therefore the range is \([0,\infty\)).
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If \(f:A\to B\) is one-one and \(a_1\ne a_2\), which statement is true?
A. (f\(a_1\)\ne f\(a_2\))
एक-एकी फलन में अलग आगतों की छवियाँ अलग होती हैं। / In a one-one function, different inputs have different images.
यहाँ \(a_1\ne a_2\) दिया है। / Here \(a_1\ne a_2\) is given.
इसलिए (f\(a_1\)\ne f\(a_2\)) होगा। / Therefore (f\(a_1\)\ne f\(a_2\)).
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If \(f:A\to B\) is onto, what is true for every element of (B)?
A. उसकी कम से कम एक पूर्वछवि (A) में होती हैIt has at least one preimage in (A)
आच्छादक फलन में सहप्रान्त का कोई अवयव छूटता नहीं है। / In an onto function, no element of the codomain is left out.
इसलिए (B) के हर अवयव तक (A) से कोई न कोई अवयव पहुँचता है। / Therefore each element of (B) is reached by at least one element of (A).
यही आच्छादकता की मुख्य पहचान है। / This is the main idea of onto.
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If \(f:R\to R\), (f(x)=x), what is (\(f\circ f\)(x))?
A. (x)
(f(x)=x) पहचान फलन है। / (f(x)=x) is the identity function.
(\(f\circ f\)(x)=f(f(x))=f(x))। / (\(f\circ f\)(x)=f(f(x))=f(x)).
इसलिए (\(f\circ f\)(x)=x) होगा। / Therefore (\(f\circ f\)(x)=x).
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If (f(x)=x+4) and (g(x)=x-4), what is (\(g\circ f\)(x))?
A. (x)
(\(g\circ f\)(x)=g(f(x)))। / (\(g\circ f\)(x)=g(f(x))).
(f(x)=x+4) को (g) में रखें। / Put (f(x)=x+4) into (g).
(g(x+4)=(x+4)-4=x)। / (g(x+4)=(x+4)-4=x).
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If (f(x)=3x) and (g(x)=\frac{x}{3}), which statement about (f) and (g) is correct?
A. वे एक-दूसरे के प्रतिलोम हैंThey are inverses of each other
(f(g(x))=f\(\frac{x}{3}\)=x)। / (f(g(x))=f\(\frac{x}{3}\)=x).
(g(f(x))=g(3x)=x)। / (g(f(x))=g(3x)=x).
दोनों संयुक्त फलन पहचान फलन देते हैं, इसलिए दोनों प्रतिलोम हैं। / Both composites give the identity function, so they are inverses.
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If \(f:A\to B\) is bijective, which statement about the inverse function is correct?
A. \(f^{-1}:B\to A\) परिभाषित होता है\(f^{-1}:B\to A\) is defined
उभयैक फलन एक-एकी और आच्छादक दोनों होता है। / A bijective function is both one-one and onto.
इसलिए हर छवि की ठीक एक पूर्वछवि मिलती है। / Therefore every image has exactly one preimage.
इसी कारण प्रतिलोम फलन (B) से (A) में परिभाषित होता है। / Hence the inverse function is defined from (B) to (A).
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