Level 21 • 49/50 questions • 40 seconds per question.
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If (f(x)=6x+2), what is the value of (f(2))?
A. (14)
Put (x=2) in the function.
(f(2)=6\cdot2+2=12+2=14).
In a linear function, multiply first and then add. चरण 1: फलन में (x) के स्थान पर (2) रखें। चरण 2: (f(2)=6\cdot2+2=12+2=14)। चरण 3: रैखिक फलन में पहले गुणा करें, फिर जोड़ें।
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If (f(x)=x-2+3x), what is (f(2))?
A. (10)
Put (x=2).
(f(2)=22+3\cdot2=4+6=10).
Do the square and multiplication in the correct order. चरण 1: (x=2) रखें। चरण 2: (f(2)=22+3\cdot2=4+6=10)। चरण 3: वर्ग और गुणा दोनों को सही क्रम में करें।
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If (f(x)=2x-2-1), what is (f(-2))?
A. (7)
Put (x=-2).
(f(-2)=2(-2)2-1=2\cdot4-1=7).
The square of a negative number is positive. चरण 1: (x=-2) रखें। चरण 2: (f(-2)=2(-2)2-1=2\cdot4-1=7)। चरण 3: ऋणात्मक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है।
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If \(f=\{(1,5),(2,6),(3,7)\}\), what is the image of (2)?
A. (6)
In an ordered pair, the first component is the input and the second is the image.
Since ((2,6)) is given, the image of (2) is (6).
Do not reverse the order of components. चरण 1: क्रमित युग्म में पहला घटक आगत और दूसरा घटक छवि होता है। चरण 2: ((2,6)) दिया है, इसलिए (2) की छवि (6) है। चरण 3: युग्म पढ़ते समय घटकों का क्रम न बदलें।
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If \(f=\{(4,1),(5,1),(6,2)\}\), what is the domain of (f)?
A. ({4,5,6})
The domain is formed by the first components of ordered pairs.
The first components are (4,5,6).
Therefore the domain is ({4,5,6}). चरण 1: प्रान्त क्रमित युग्मों के पहले घटकों से बनता है। चरण 2: पहले घटक (4,5,6) हैं। चरण 3: इसलिए प्रान्त ({4,5,6}) है।
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If \(f=\{(4,1),(5,1),(6,2)\}\), what is the range of (f)?
A. ({1,2})
The range is the set of actual images.
The second components are (1,1,2).
Repetition is not written in a set, so the range is ({1,2}). चरण 1: परास वास्तविक छवियों का समुच्चय होता है। चरण 2: दूसरे घटक (1,1,2) हैं। चरण 3: समुच्चय में दोहराव नहीं लिखा जाता, इसलिए परास ({1,2}) है।
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Which of the following relations is a function?
A. ({(1,2),(2,2),(3,4)})
In a function, one input cannot have two different images.
In the first option, each of (1,2,3) has exactly one image.
In the other options, some first component has two different images. चरण 1: फलन में एक आगत की दो अलग छवियाँ नहीं हो सकतीं। चरण 2: पहले विकल्प में (1,2,3) प्रत्येक की ठीक एक छवि है। चरण 3: बाकी विकल्पों में कोई न कोई पहला घटक दो अलग छवियों के साथ आया है।
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Which of the following relations is not a function?
A. ({(0,1),(0,2),(1,3)})
For being a function, each input must have only one image.
In the first option, (0) has two images (1) and (2).
Therefore the first option is not a function. चरण 1: फलन होने के लिए हर आगत की एक ही छवि होनी चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में (0) की दो छवियाँ (1) और (2) हैं। चरण 3: इसलिए पहला विकल्प फलन नहीं है।
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If \(A=\{0,1,2\}\) and (f(x)=2x+1), what is (f(A))?
A. ({1,3,5})
Apply the function to every element of (A).
(f(0)=1), (f(1)=3), and (f(2)=5).
Hence (f(A)={1,3,5}). चरण 1: (A) के हर अवयव पर फलन लगाएँ। चरण 2: (f(0)=1), (f(1)=3), और (f(2)=5)। चरण 3: इसलिए (f(A)={1,3,5}) है।
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If (f(x)=x-3), what is (f(10)-f(4))?
A. (6)
(f(10)=10-3=7).
(f(4)=4-3=1).
The difference is (7-1=6). चरण 1: (f(10)=10-3=7)। चरण 2: (f(4)=4-3=1)। चरण 3: अंतर (7-1=6) है।
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If (f(x)=x-2+2x), what is (f(1)+f(2))?
A. (11)
(f(1)=12+2\cdot1=3).
(f(2)=22+2\cdot2=8).
The sum is (3+8=11). चरण 1: (f(1)=12+2\cdot1=3)। चरण 2: (f(2)=22+2\cdot2=8)। चरण 3: योग (3+8=11) है।
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If (f(x)=3x+4), what is (f(a))?
A. (3a+4)
To find (f(a)), put (a) in place of (x).
(3x+4) becomes (3a+4).
In symbolic evaluation, replace only the input. चरण 1: (f(a)) निकालने के लिए (x) के स्थान पर (a) रखें। चरण 2: (3x+4) बदलकर (3a+4) होगा। चरण 3: प्रतीकात्मक मान में केवल आगत को बदलें।
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If (f(x)=x-2+1), what is (f(a-1))?
A. ((a-1)2+1)
In (f(a-1)), replace (x) by the whole expression (a-1).
\(x^2+1\) becomes ((a-1)2+1).
Put the whole expression in brackets. चरण 1: (f(a-1)) में (x) की जगह पूरा (a-1) रखें। चरण 2: \(x^2+1\) से ((a-1)2+1) मिलेगा। चरण 3: पूरे व्यंजक को कोष्ठक में रखना जरूरी है।
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If (f(x)=2x+5), what is (f(x-2))?
A. (2x+1)
Replace (x) by (x-2).
(f(x-2)=2(x-2)+5=2x-4+5).
Simplifying gives (2x+1). चरण 1: (x) के स्थान पर (x-2) रखें। चरण 2: (f(x-2)=2(x-2)+5=2x-4+5)। चरण 3: सरल करने पर (2x+1) मिलता है।
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If (f(x)=x-2), what is (f(x-1)-f(x))?
A. (-2x+1)
(f(x-1)=(x-1)2) and (f(x)=x-2).
The difference is ((x-1)2-x-2).
Simplifying gives \(x^2-2x+1-x^2=-2x+1\). चरण 1: (f(x-1)=(x-1)2) और (f(x)=x-2)। चरण 2: अंतर ((x-1)2-x-2) होगा। चरण 3: सरल करने पर \(x^2-2x+1-x^2=-2x+1\)।
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If (f(x)=x+5) and (g(x)=x-2), what is ((f+g)(1))?
A. (7)
((f+g)(1)=f(1)+g(1)).
(f(1)=6) and (g(1)=1).
The total is (6+1=7). चरण 1: ((f+g)(1)=f(1)+g(1))। चरण 2: (f(1)=6) और (g(1)=1)। चरण 3: कुल (6+1=7) है।
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If (f(x)=4x) and (g(x)=x+2), what is ((f-g)(2))?
A. (4)
((f-g)(2)=f(2)-g(2)).
(f(2)=8) and (g(2)=4).
The difference is (8-4=4). चरण 1: ((f-g)(2)=f(2)-g(2))। चरण 2: (f(2)=8) और (g(2)=4)। चरण 3: अंतर (8-4=4) है।
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If (f(x)=x+1) and (g(x)=x+3), what is ((fg)(1))?
A. (8)
((fg)(1)=f(1)g(1)).
(f(1)=2) and (g(1)=4).
The product is \(2\cdot4=8\). चरण 1: ((fg)(1)=f(1)g(1))। चरण 2: (f(1)=2) और (g(1)=4)। चरण 3: गुणनफल \(2\cdot4=8\) है।
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If (f(x)=x+2) and (g(x)=3x), what is (\(f\circ g\)(2))?
A. (8)
(\(f\circ g\)(2)=f(g(2))).
(g(2)=3\cdot2=6).
(f(6)=6+2=8). चरण 1: (\(f\circ g\)(2)=f(g(2)))। चरण 2: (g(2)=3\cdot2=6)। चरण 3: (f(6)=6+2=8)।
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If (f(x)=2x-1) and (g(x)=x+4), what is (\(g\circ f\)(2))?
A. (7)
(\(g\circ f\)(2)=g(f(2))).
(f(2)=2\cdot2-1=3).
(g(3)=3+4=7). चरण 1: (\(g\circ f\)(2)=g(f(2)))। चरण 2: (f(2)=2\cdot2-1=3)। चरण 3: (g(3)=3+4=7)।
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If (f(x)=x-2+1) and (g(x)=x-1), what is (\(f\circ g\)(3))?
A. (5)
(\(f\circ g\)(3)=f(g(3))).
(g(3)=2).
(f(2)=22+1=5). चरण 1: (\(f\circ g\)(3)=f(g(3)))। चरण 2: (g(3)=2)। चरण 3: (f(2)=22+1=5)।
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If (f(x)=x+6), what is (f^{-1}(x))?
A. (x-6)
Write (y=x+6).
Then (x=y-6).
Replacing (y) by (x), (f^{-1}(x)=x-6). चरण 1: (y=x+6) लिखें। चरण 2: (x=y-6) मिलेगा। चरण 3: (y) को (x) से बदलने पर (f^{-1}(x)=x-6)।
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If (f(x)=5x), what is (f^{-1}(x))?
A. \(\frac{x}{5}\)
Let (y=5x).
Then \(x=\frac{y}{5}\).
Replacing (y) by (x), (f^{-1}(x)=\frac{x}{5}). चरण 1: (y=5x) मानें। चरण 2: \(x=\frac{y}{5}\) मिलेगा। चरण 3: (y) के स्थान पर (x) लिखने पर (f^{-1}(x)=\frac{x}{5})।
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If (f(x)=3x+6), what is (f^{-1}(0))?
A. (-2)
(f^{-1}(0)) means solving (f(x)=0).
From (3x+6=0), we get (3x=-6).
Hence (x=-2). चरण 1: (f^{-1}(0)) का अर्थ है (f(x)=0) हल करना। चरण 2: (3x+6=0) से (3x=-6)। चरण 3: इसलिए (x=-2) मिलता है।
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Which statement is correct about \(f:R\to R\), (f(x)=4x+9)?
A. यह एक-एकी और आच्छादक हैIt is one-one and onto
(4x+9) gives different values for different (x).
For every real (y), we can take \(x=\frac{y-9}{4}\).
Hence the function is both one-one and onto. चरण 1: (4x+9) अलग-अलग (x) के लिए अलग-अलग मान देता है। चरण 2: हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\frac{y-9}{4}\) लिया जा सकता है। चरण 3: इसलिए फलन एक-एकी और आच्छादक दोनों है।
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What is the range of \(f:R\to R\), (f(x)=x-2+9)?
A. \([9,\infty\))
For every real (x), \(x^2\ge 0\).
Therefore \(x^2+9\ge 9\).
The minimum value is (9), so the range is \([9,\infty\)). चरण 1: हर वास्तविक (x) के लिए \(x^2\ge 0\)। चरण 2: इसलिए \(x^2+9\ge 9\)। चरण 3: न्यूनतम मान (9) है, अतः परास \([9,\infty\)) है।
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Why is \(f:R\to R\), (f(x)=x-2+9), not onto?
A. क्योंकि (0) इसकी छवि नहीं हो सकताBecause (0) cannot be its image
The value of \(x^2+9\) is always at least (9).
The codomain (R) contains (0), but no real (x) maps to it.
Therefore the function is not onto. चरण 1: \(x^2+9\) का मान हमेशा (9) या उससे बड़ा होता है। चरण 2: सहप्रान्त (R) में (0) है, पर कोई वास्तविक (x) इसे छवि नहीं बना सकता। चरण 3: इसलिए यह आच्छादक नहीं है।
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What is the range of \(f:R\to R\), (f(x)=9)?
A. ({9})
This is a constant function.
The image of every input is only (9).
Hence the range is ({9}). चरण 1: यह स्थिर फलन है। चरण 2: हर आगत की छवि (9) ही है। चरण 3: इसलिए परास केवल ({9}) है।
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Why is \(f:R\to R\), (f(x)=9), not one-one?
A. क्योंकि (f(1)=f(2))Because (f(1)=f(2))
In a one-one function, different inputs must have different images.
Here \(1\ne2\), but (f(1)=9) and (f(2)=9).
Therefore the constant function is not one-one. चरण 1: एक-एकी फलन में अलग आगतों की छवियाँ अलग होनी चाहिए। चरण 2: यहाँ \(1\ne2\), पर (f(1)=9) और (f(2)=9)। चरण 3: इसलिए स्थिर फलन एक-एकी नहीं है।
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What is the real domain of (f(x)=\sqrt{x-4})?
A. \([4,\infty\))
The expression under the square root, (x-4), must be non-negative.
\(x-4\ge 0\) gives \(x\ge 4\).
Hence the real domain is \([4,\infty\)). चरण 1: वर्गमूल के अंदर (x-4) ऋणात्मक नहीं होना चाहिए। चरण 2: \(x-4\ge 0\) से \(x\ge 4\)। चरण 3: इसलिए वास्तविक प्रान्त \([4,\infty\)) है।
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What is the real domain of (f(x)=\sqrt{3+x})?
A. \([-3,\infty\))
For the square root, \(3+x\ge 0\) is needed.
This gives \(x\ge -3\).
Therefore the domain is \([-3,\infty\)). चरण 1: वर्गमूल के लिए \(3+x\ge 0\) होना चाहिए। चरण 2: इससे \(x\ge -3\) मिलता है। चरण 3: इसलिए प्रान्त \([-3,\infty\)) है।
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At which value is (f(x)=\frac{2}{x-5}) not defined?
A. (x=5)
The denominator of the fraction is (x-5).
(x-5=0) gives (x=5).
A function with zero denominator is not defined there. चरण 1: भिन्न में हर (x-5) है। चरण 2: (x-5=0) होने पर (x=5) मिलता है। चरण 3: हर शून्य होने पर फलन परिभाषित नहीं रहता।
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What is the real domain of (f(x)=\frac{x+2}{x-1})?
A. (R-{1})
The denominator (x-1) must not be zero.
(x-1=0) gives (x=1).
So the domain is all real numbers except (1). चरण 1: हर (x-1) शून्य नहीं होना चाहिए। चरण 2: (x-1=0) से (x=1) मिलता है। चरण 3: इसलिए (1) को हटाकर सभी वास्तविक संख्याएँ प्रान्त हैं।
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If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(B=\{a,b\}\), how many functions can be formed from (A) to (B)?
A. (16)
(A) has (4) elements and (B) gives (2) choices.
Each element has (2) image choices.
Total functions are \(2^4=16\). चरण 1: (A) में (4) अवयव हैं और (B) में (2) विकल्प हैं। चरण 2: हर अवयव के लिए (2) छवि विकल्प हैं। चरण 3: कुल फलन \(2^4=16\) होंगे।
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If (A) has (3) elements and (B) has (4) elements, how many functions are there from (A) to (B)?
A. (64)
The number of functions is \(n^m\).
Here (m=3) and (n=4).
Therefore the number is \(4^3=64\). चरण 1: कुल फलनों की संख्या \(n^m\) होती है। चरण 2: यहाँ (m=3) और (n=4) हैं। चरण 3: इसलिए संख्या \(4^3=64\) है।
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If \(A=\{1,2\}\) and \(B=\{a,b,c\}\), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
A. (6)
In a one-one function, the two inputs must have distinct images.
The first input has (3) choices and the second has (2) choices.
Total one-one functions are \(3\cdot2=6\). चरण 1: एक-एकी फलन में दोनों आगतों की छवियाँ अलग होंगी। चरण 2: पहले आगत के लिए (3) और दूसरे के लिए (2) विकल्प हैं। चरण 3: कुल \(3\cdot2=6\) एक-एकी फलन हैं।
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If \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c\}\), and \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c)\}\), what type of function is (f)?
A. उभयैकBijective
The three inputs have distinct images, so the function is one-one.
All elements of (B) appear as images, so it is onto.
Since it is both one-one and onto, it is bijective. चरण 1: तीनों आगतों की छवियाँ अलग-अलग हैं, इसलिए फलन एक-एकी है। चरण 2: (B) के सभी अवयव छवि के रूप में आए हैं, इसलिए आच्छादक है। चरण 3: एक-एकी और आच्छादक दोनों होने से यह उभयैक है।
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If \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c\}\), and \(f=\{(1,a),(2,a),(3,c)\}\), what is correct about (f)?
A. यह न एक-एकी है न आच्छादकIt is neither one-one nor onto
Both (1) and (2) map to (a), so it is not one-one.
(b) is in the codomain but is not an image, so it is not onto.
Still, every input has one image, so it is a function. चरण 1: (1) और (2) दोनों की छवि (a) है, इसलिए एक-एकी नहीं है। चरण 2: (b) सहप्रान्त में है पर छवि नहीं है, इसलिए आच्छादक नहीं है। चरण 3: फिर भी हर आगत की एक छवि है, इसलिए यह फलन है।
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Why is \(f:R\to R\), (f(x)=5x-2), one-one?
A. क्योंकि (f(a)=f(b)) से (a=b) मिलता हैBecause (f(a)=f(b)) gives (a=b)
Assume (f(a)=f(b)).
Then (5a-2=5b-2), so (5a=5b).
This gives (a=b), so the function is one-one. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: तब (5a-2=5b-2), इसलिए (5a=5b)। चरण 3: इससे (a=b) मिलता है, इसलिए फलन एक-एकी है।
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Why is \(f:R\to R\), (f(x)=x-2-9), not one-one?
A. क्योंकि (f(3)=f(-3))Because (f(3)=f(-3))
In a one-one function, different inputs have different images.
\(3\ne -3\), but (f(3)=0) and (f(-3)=0).
Therefore this function is not one-one. चरण 1: एक-एकी में अलग आगतों की छवियाँ अलग होती हैं। चरण 2: \(3\ne -3\), पर (f(3)=0) और (f(-3)=0)। चरण 3: इसलिए यह फलन एक-एकी नहीं है।
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If \(f:R\to R\), (f(x)=x-3-2), is (f) onto?
A. हाँ, क्योंकि हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y+2}\) मिल जाता हैYes, because for every real (y), \(x=\sqrt[3]{y+2}\) exists
For onto, every real (y) must have a preimage.
From \(x^3-2=y\), we get \(x=\sqrt[3]{y+2}\).
This is real for every real (y), so the function is onto. चरण 1: आच्छादकता के लिए हर वास्तविक (y) की पूर्वछवि चाहिए। चरण 2: \(x^3-2=y\) से \(x=\sqrt[3]{y+2}\) मिलता है। चरण 3: यह हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है, इसलिए फलन आच्छादक है।
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Why is \(f:R\to R\), (f(x)=|x+2|), not one-one?
A. क्योंकि (f(-3)=f(-1))Because (f(-3)=f(-1))
(f(-3)=|-3+2|=1).
(f(-1)=|-1+2|=1).
Two different inputs have the same image, so the function is not one-one. चरण 1: (f(-3)=|-3+2|=1)। चरण 2: (f(-1)=|-1+2|=1)। चरण 3: दो अलग आगतों की छवि समान है, इसलिए फलन एक-एकी नहीं है।
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If \(f:R\to R\), (f(x)=|x+2|), what is its range?
A. \([0,\infty\))
An absolute value is never negative.
At (x=-2), (|x+2|=0).
Therefore the range is \([0,\infty\)). चरण 1: परम मान कभी ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: (x=-2) पर (|x+2|=0) मिलता है। चरण 3: इसलिए परास \([0,\infty\)) है।
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If \(f:A\to B\) is one-one and \(a_1\ne a_2\), which statement is true?
A. (f\(a_1\)\ne f\(a_2\))
In a one-one function, different inputs have different images.
Here \(a_1\ne a_2\) is given.
Therefore (f\(a_1\)\ne f\(a_2\)). चरण 1: एक-एकी फलन में अलग आगतों की छवियाँ अलग होती हैं। चरण 2: यहाँ \(a_1\ne a_2\) दिया है। चरण 3: इसलिए (f\(a_1\)\ne f\(a_2\)) होगा।
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If \(f:A\to B\) is onto, what is true for every element of (B)?
A. उसकी कम से कम एक पूर्वछवि (A) में होती हैIt has at least one preimage in (A)
In an onto function, no element of the codomain is left out.
Therefore each element of (B) is reached by at least one element of (A).
This is the main idea of onto. चरण 1: आच्छादक फलन में सहप्रान्त का कोई अवयव छूटता नहीं है। चरण 2: इसलिए (B) के हर अवयव तक (A) से कोई न कोई अवयव पहुँचता है। चरण 3: यही आच्छादकता की मुख्य पहचान है।
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If \(f:R\to R\), (f(x)=x), what is (\(f\circ f\)(x))?
A. (x)
(f(x)=x) is the identity function.
(\(f\circ f\)(x)=f(f(x))=f(x)).
Therefore (\(f\circ f\)(x)=x). चरण 1: (f(x)=x) पहचान फलन है। चरण 2: (\(f\circ f\)(x)=f(f(x))=f(x))। चरण 3: इसलिए (\(f\circ f\)(x)=x) होगा।
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If (f(x)=x+4) and (g(x)=x-4), what is (\(g\circ f\)(x))?
A. (x)
(\(g\circ f\)(x)=g(f(x))).
Put (f(x)=x+4) into (g).
(g(x+4)=(x+4)-4=x). चरण 1: (\(g\circ f\)(x)=g(f(x)))। चरण 2: (f(x)=x+4) को (g) में रखें। चरण 3: (g(x+4)=(x+4)-4=x)।
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If (f(x)=3x) and (g(x)=\frac{x}{3}), which statement about (f) and (g) is correct?
A. वे एक-दूसरे के प्रतिलोम हैंThey are inverses of each other
(f(g(x))=f\(\frac{x}{3}\)=x).
(g(f(x))=g(3x)=x).
Both composites give the identity function, so they are inverses. चरण 1: (f(g(x))=f\(\frac{x}{3}\)=x)। चरण 2: (g(f(x))=g(3x)=x)। चरण 3: दोनों संयुक्त फलन पहचान फलन देते हैं, इसलिए दोनों प्रतिलोम हैं।
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If \(f:A\to B\) is bijective, which statement about the inverse function is correct?
A. \(f^{-1}:B\to A\) परिभाषित होता है\(f^{-1}:B\to A\) is defined
A bijective function is both one-one and onto.
Therefore every image has exactly one preimage.
Hence the inverse function is defined from (B) to (A). चरण 1: उभयैक फलन एक-एकी और आच्छादक दोनों होता है। चरण 2: इसलिए हर छवि की ठीक एक पूर्वछवि मिलती है। चरण 3: इसी कारण प्रतिलोम फलन (B) से (A) में परिभाषित होता है।
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