Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
In a linear function, multiply first and then add or subtract. चरण 1: दिए गए फलन में (x) के स्थान पर (3) रखें। चरण 2: (f(3)=4\cdot3-5=12-5=7)। चरण 3: रैखिक फलन में पहले गुणा करें, फिर जोड़ या घटाव करें।
Calculate the square and multiplication carefully. चरण 1: (x) के स्थान पर (5) रखें। चरण 2: (f(5)=52-2\cdot5=25-10=15)। चरण 3: वर्ग और गुणा की गणना सावधानी से करें।
In fraction-based functions, simplify the numerator first. चरण 1: (x=7) रखने पर अंश (7+1=8) होगा। चरण 2: इसलिए (f(7)=\frac{8}{2}=4)। चरण 3: भिन्न वाले फलनों में पहले अंश को सरल करें।
Remember that the square of a negative number is positive. चरण 1: (x=-1) रखें। चरण 2: (f(-1)=3(-1)2+1=3\cdot1+1=4)। चरण 3: ऋणात्मक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है, यह बात याद रखें।
The image of an input lies in (B). चरण 1: (A) फलन का प्रान्त होता है। चरण 2: प्रान्त के अवयवों को आगत माना जाता है। चरण 3: आगत की छवि (B) में मिलती है।
In an ordered pair, the first component is the input and the second component is the image.
Step 2
Why this answer is correct
Since ((4,7)) is given, the image of (4) is (7).
Step 3
Exam Tip
Do not interchange the first and second components while reading a pair. चरण 1: क्रमित युग्म में पहला घटक आगत और दूसरा घटक छवि होता है। चरण 2: ((4,7)) दिया है, इसलिए (4) की छवि (7) है। चरण 3: युग्म पढ़ते समय पहले और दूसरे घटक को न बदलें।
A. हाँ, क्योंकि हर आगत की ठीक एक छवि है/Yes, because every input has exactly one image
Step 1
Concept
For being a function, every input must have exactly one image.
Step 2
Why this answer is correct
Here (1,2,3) each have one image.
Step 3
Exam Tip
Two different inputs may have the same image; that does not stop it from being a function. चरण 1: फलन होने के लिए हर आगत की ठीक एक छवि होनी चाहिए। चरण 2: यहाँ (1,2,3) प्रत्येक की एक-एक छवि है। चरण 3: दो अलग आगतों की समान छवि हो सकती है; इससे फलन होना नहीं टूटता।
In a function, one input cannot have two different images.
Step 2
Why this answer is correct
In the first option, (1) has images (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
Therefore the first option is not a function. चरण 1: फलन में किसी एक आगत की दो अलग छवियाँ नहीं हो सकतीं। चरण 2: पहले विकल्प में (1) की छवियाँ (2) और (3) दोनों हैं। चरण 3: इसलिए पहला विकल्प फलन नहीं है।
For (f(a+b)), replace (x) by the whole expression (a+b).
Step 2
Why this answer is correct
This gives (f(a+b)=5(a+b)).
Step 3
Exam Tip
Put the entire input in brackets. चरण 1: (f(a+b)) के लिए (x) की जगह पूरा (a+b) रखें। चरण 2: इससे (f(a+b)=5(a+b)) मिलता है। चरण 3: पूरे आगत को कोष्ठक में रखना सही तरीका है।
While changing the symbol, keep the power correctly. चरण 1: (f(a)) में (x) के स्थान पर (a) रखना है। चरण 2: \(x^2-1\) बदलकर \(a^2-1\) हो जाएगा। चरण 3: प्रतीक बदलते समय घात को सही रखें।
Simplifying gives \(x^2+2x+1-x^2=2x+1\). चरण 1: (f(x+1)=(x+1)2) और (f(x)=x-2)। चरण 2: अंतर ((x+1)2-x-2) होगा। चरण 3: सरल करने पर \(x^2+2x+1-x^2=2x+1\)।
Hence the inverse is (f^{-1}(x)=3x). चरण 1: \(y=\frac{x}{3}\) मानें। चरण 2: दोनों तरफ (3) से गुणा करने पर (x=3y)। चरण 3: इसलिए प्रतिलोम (f^{-1}(x)=3x) है।
Hence (x=5), so (f^{-1}(4)=5). चरण 1: (f^{-1}(4)) का अर्थ है वह (x) जिसके लिए (f(x)=4)। चरण 2: (2x-6=4) से (2x=10) मिलता है। चरण 3: अतः (x=5), इसलिए (f^{-1}(4)=5)।
Different values of (x) give different values of (x-7).
Step 2
Why this answer is correct
For any real (y), choosing (x=y+7) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
Hence it is both one-one and onto. चरण 1: अलग-अलग (x) देने पर (x-7) के मान अलग-अलग मिलते हैं। चरण 2: किसी भी वास्तविक (y) के लिए (x=y+7) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: इसलिए यह एक-एकी और आच्छादक दोनों है।
A. क्योंकि (2) इसकी छवि नहीं हो सकता/Because (2) cannot be its image
Step 1
Concept
Since \(x^2\ge 0\), \(x^2+4\ge 4\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain (R) contains (2), but no real (x) can map to it.
Step 3
Exam Tip
Therefore the range is not all of (R), so the function is not onto. चरण 1: \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+4\ge 4\)। चरण 2: सहप्रान्त (R) में (2) है, पर कोई वास्तविक (x) इसे छवि नहीं बना सकता। चरण 3: इसलिए परास पूरा (R) नहीं है और फलन आच्छादक नहीं है।
The minimum value is (4), so the range is \([4,\infty\)). चरण 1: किसी भी वास्तविक (x) के लिए \(x^2\ge 0\)। चरण 2: इसलिए \(x^2+4\ge 4\)। चरण 3: न्यूनतम मान (4) है, इसलिए परास \([4,\infty\)) है।
For every (x), the value of the function remains (2).
Step 2
Why this answer is correct
Such a function is called a constant function.
Step 3
Exam Tip
In a constant function, all inputs give the same image. चरण 1: हर (x) के लिए फलन का मान (2) ही रहता है। चरण 2: ऐसा फलन स्थिर फलन कहलाता है। चरण 3: स्थिर फलन में सभी आगत एक ही छवि देते हैं।
The expression inside the square root, (x+2), must be non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(x+2\ge 0\) gives \(x\ge -2\).
Step 3
Exam Tip
Hence the real domain is \([-2,\infty\)). चरण 1: वर्गमूल के अंदर (x+2) ऋणात्मक नहीं होना चाहिए। चरण 2: \(x+2\ge 0\) से \(x\ge -2\) मिलता है। चरण 3: इसलिए वास्तविक प्रान्त \([-2,\infty\)) है।
So all real numbers except (-3) form the domain. चरण 1: हर (x+3) शून्य नहीं होना चाहिए। चरण 2: (x+3=0) से (x=-3) मिलता है। चरण 3: इसलिए (-3) को हटाकर बाकी सभी वास्तविक संख्याएँ प्रान्त हैं।
The expression inside the square root must satisfy \(5-x\ge 0\).
Step 2
Why this answer is correct
This gives \(x\le 5\).
Step 3
Exam Tip
Therefore the domain is (\(-\infty,5]\). चरण 1: वर्गमूल के अंदर \(5-x\ge 0\) होना चाहिए। चरण 2: इससे \(x\le 5\) मिलता है। चरण 3: इसलिए प्रान्त (\(-\infty,5]\) है।
A fraction is undefined when the denominator is zero. चरण 1: फलन में हर (x+1) है। चरण 2: (x+1=0) करने पर (x=-1) मिलता है। चरण 3: हर शून्य होने पर भिन्न परिभाषित नहीं होता।
Total functions are \(3^2=9\). चरण 1: (A) में (2) अवयव हैं और (B) में (3) विकल्प हैं। चरण 2: हर अवयव के लिए (3) छवि विकल्प मिलेंगे। चरण 3: कुल फलन \(3^2=9\) होंगे।
The number of functions is \(n^m\), where (m) is the number of domain elements and (n) is the number of codomain elements.
Step 2
Why this answer is correct
Here (m=2) and (n=4).
Step 3
Exam Tip
Therefore the number is \(4^2=16\). चरण 1: कुल फलनों की संख्या \(n^m\) होती है, जहाँ (m) प्रान्त के अवयव हैं और (n) सहप्रान्त के। चरण 2: यहाँ (m=2) और (n=4)। चरण 3: इसलिए संख्या \(4^2=16\) है।
In a one-one function, the three inputs must have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
The first input has (3) choices, the second has (2), and the third has (1).
Step 3
Exam Tip
Total one-one functions are \(3\cdot2\cdot1=6\). चरण 1: एक-एकी फलन में तीनों आगतों की छवियाँ अलग होंगी। चरण 2: पहले आगत के लिए (3), दूसरे के लिए (2), तीसरे के लिए (1) विकल्प है। चरण 3: कुल \(3\cdot2\cdot1=6\) एक-एकी फलन होंगे।
The two inputs have different images, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Both elements (a) and (b) of (B) appear as images, so it is onto.
Step 3
Exam Tip
Being both one-one and onto, it is bijective. चरण 1: दोनों आगतों की छवियाँ अलग हैं, इसलिए फलन एक-एकी है। चरण 2: (B) के दोनों अवयव (a) और (b) छवि के रूप में आए हैं, इसलिए आच्छादक है। चरण 3: एक-एकी और आच्छादक दोनों होने से यह उभयैक है।
A. यह न एक-एकी है न आच्छादक/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
Both (1) and (2) map to (a), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(c) is in the codomain but is not an image, so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
Every input has one image, so it is a function, but neither one-one nor onto. चरण 1: (1) और (2) दोनों की छवि (a) है, इसलिए फलन एक-एकी नहीं है। चरण 2: (c) सहप्रान्त में है पर किसी की छवि नहीं है, इसलिए आच्छादक नहीं है। चरण 3: हर आगत की एक छवि है, इसलिए यह फलन है, पर न एक-एकी न आच्छादक।
A. क्योंकि (f(a)=f(b)) से (a=b) मिलता है/Because (f(a)=f(b)) gives (a=b)
Step 1
Concept
Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
Then (3a+1=3b+1), so (3a=3b) and (a=b).
Step 3
Exam Tip
Hence different inputs have different images, so the function is one-one. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: तब (3a+1=3b+1), इसलिए (3a=3b) और (a=b)। चरण 3: इसलिए अलग आगतों की छवियाँ अलग होंगी और फलन एक-एकी है।
In a one-one function, different inputs must have different images.
Step 2
Why this answer is correct
\(2\ne -2\), but (f(2)=0) and (f(-2)=0).
Step 3
Exam Tip
Therefore this function is not one-one. चरण 1: एक-एकी फलन में अलग आगतों की छवियाँ अलग होनी चाहिए। चरण 2: \(2\ne -2\), लेकिन (f(2)=0) और (f(-2)=0)। चरण 3: इसलिए यह फलन एक-एकी नहीं है।
A. हाँ, क्योंकि हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) मिल जाता है/Yes, because for every real (y), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) exists
Step 1
Concept
For onto, every real (y) must have a preimage.
Step 2
Why this answer is correct
From \(x^3+1=y\), we get \(x=\sqrt[3]{y-1}\).
Step 3
Exam Tip
This is real for every real (y), so the function is onto. चरण 1: आच्छादकता के लिए हर वास्तविक (y) की पूर्वछवि चाहिए। चरण 2: \(x^3+1=y\) से \(x=\sqrt[3]{y-1}\) मिलता है। चरण 3: यह हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है, इसलिए फलन आच्छादक है।
Two different inputs have the same image, so the function is not one-one. चरण 1: (f(0)=|0-1|=1)। चरण 2: (f(2)=|2-1|=1)। चरण 3: दो अलग आगतों की छवि समान है, इसलिए फलन एक-एकी नहीं है।
Therefore the range is \([0,\infty\)). चरण 1: परम मान हमेशा (0) या उससे बड़ा होता है। चरण 2: (x=1) पर (|x-1|=0) मिलता है। चरण 3: इसलिए परास \([0,\infty\)) है।
In an onto function, every element of the codomain becomes an image.
Step 2
Why this answer is correct
This means the range is equal to (B).
Step 3
Exam Tip
Therefore such a function is called onto. चरण 1: आच्छादक फलन में सहप्रान्त का हर अवयव छवि बनता है। चरण 2: इसका अर्थ है परास (B) के बराबर है। चरण 3: इसलिए ऐसा फलन आच्छादक कहलाता है।
The main feature of a one-one function is that different inputs have different images.
Step 2
Why this answer is correct
This means two different elements do not map to the same image.
Step 3
Exam Tip
Therefore such a function is called one-one. चरण 1: एक-एकी फलन की मुख्य पहचान अलग आगतों की अलग छवि है। चरण 2: इसका अर्थ है दो अलग अवयव एक ही छवि नहीं देंगे। चरण 3: इसलिए ऐसा फलन एक-एकी कहलाता है।
The identity function keeps every value unchanged.
Step 3
Exam Tip
Therefore its inverse is also (f^{-1}(x)=x). चरण 1: (f(x)=x) पहचान फलन है। चरण 2: पहचान फलन हर मान को वैसा ही रखता है। चरण 3: इसलिए इसका प्रतिलोम भी (f^{-1}(x)=x) ही होता है।
A. वे एक-दूसरे के प्रतिलोम हैं/They are inverses of each other
Step 1
Concept
(f(g(x))=f\(\frac{x}{2}\)=x).
Step 2
Why this answer is correct
(g(f(x))=g(2x)=x).
Step 3
Exam Tip
Both composites give the identity function, so they are inverses. चरण 1: (f(g(x))=f\(\frac{x}{2}\)=x)। चरण 2: (g(f(x))=g(2x)=x)। चरण 3: दोनों संयुक्त फलन पहचान फलन देते हैं, इसलिए वे प्रतिलोम हैं।
If the original function maps from (A) to (B), the inverse reverses the direction.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(f^{-1}\) maps from (B) to (A). चरण 1: उभयैक फलन का प्रतिलोम अच्छी तरह परिभाषित होता है। चरण 2: यदि मूल फलन (A) से (B) में जाता है, तो प्रतिलोम दिशा बदल देता है। चरण 3: इसलिए \(f^{-1}\) (B) से (A) में फलन होगा।
