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Subjects
Class 12 Mathematics Relations and Functions Binary operations Hard Level 30

\(\mathbb{N}\) पर (a*b=\gcd(a,b)) परिभाषित है। क्या \(\mathbb{N}\) में तत्समक अवयव मौजूद है?

On \(\mathbb{N}\), (a*b=\gcd(a,b)) is defined. Does an identity element exist in \(\mathbb{N}\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published:
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Correct Answer

A. नहींNo

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (e) के लिए (\gcd(a,e)=a) हर \(a\in\mathbb{N}\) के लिए चाहिए। / Identity (e) would require (\gcd(a,e)=a) for every \(a\in\mathbb{N}\).

Step 2

Why this answer is correct

ऐसा (e) हर प्राकृतिक संख्या का गुणज होना चाहिए, जो \(\mathbb{N}\) में एक निश्चित संख्या के रूप में संभव नहीं। / Such (e) would have to be a multiple of every natural number, which is not possible as one fixed natural number.

Step 3

Exam Tip

\(\gcd\) में (1) परिणाम को अक्सर (1) बना देता है, इसलिए उसे तत्समक न मानें। / In \(\gcd\), (1) often makes the result (1), so do not mistake it for identity.

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Mathematics Answer, Explanation and Revision Hints

\(\mathbb{N}\) पर (a*b=\gcd(a,b)) परिभाषित है। क्या \(\mathbb{N}\) में तत्समक अवयव मौजूद है? / On \(\mathbb{N}\), (a*b=\gcd(a,b)) is defined. Does an identity element exist in \(\mathbb{N}\)?

Correct Answer: A. नहीं / No. Explanation: चरण 1: तत्समक अवयव (e) के लिए (\gcd(a,e)=a) हर \(a\in\mathbb{N}\) के लिए चाहिए। चरण 2: ऐसा (e) हर प्राकृतिक संख्या का गुणज होना चाहिए, जो \(\mathbb{N}\) में एक निश्चित संख्या के रूप में संभव नहीं। चरण 3: \(\gcd\) में (1) परिणाम को अक्सर (1) बना देता है, इसलिए उसे तत्समक न मानें। / Step 1: Identity (e) would require (\gcd(a,e)=a) for every \(a\in\mathbb{N}\). Step 2: Such (e) would have to be a multiple of every natural number, which is not possible as one fixed natural number. Step 3: In \(\gcd\), (1) often makes the result (1), so do not mistake it for identity.

Why is option A correct in this Mathematics MCQ?

ऐसा (e) हर प्राकृतिक संख्या का गुणज होना चाहिए, जो \(\mathbb{N}\) में एक निश्चित संख्या के रूप में संभव नहीं। / Such (e) would have to be a multiple of every natural number, which is not possible as one fixed natural number.

What should I remember for this Mathematics concept?

\(\gcd\) में (1) परिणाम को अक्सर (1) बना देता है, इसलिए उसे तत्समक न मानें। / In \(\gcd\), (1) often makes the result (1), so do not mistake it for identity.