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पिछले विचार से तत्समक (0) है। / The identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (b) के लिए (a*b=0), यानी (a+b+ab=0)। इससे (b(1+a)=-a), इसलिए \(b=\frac{-a}{1+a}\)। / For inverse (b), (a*b=0), so (a+b+ab=0). Thus (b(1+a)=-a), giving \(b=\frac{-a}{1+a}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम निकालते समय हमेशा (a*b=e) लिखें। / To find inverse, set (a*b=e).
क्रमविनिमेयता के लिए (a*b=b*a) चाहिए। / Commutativity needs (a*b=b*a).
Step 2
Why this answer is correct
\(a^{\log b}=b^{\log a}\)। दोनों ओर \(\log\) लेने पर (\(\log a\)\(\log b\)=\(\log b\)\(\log a\)), जो सदा सत्य है। / Here \(a^{\log b}=b^{\log a}\). Taking \(\log\) on both sides gives (\(\log a\)\(\log b\)=\(\log b\)\(\log a\)), always true.
Step 3
Exam Tip
घात वाले प्रश्नों में लघुगणक लेने से तुलना सरल हो जाती है। / For exponential operations, logarithms often simplify comparison.
((a*b)*c) और (a*(b*c)) की तुलना करें। / Compare ((a*b)*c) and (a*(b*c)).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों तरफ \(a+b+c+kab+kac+kbc+k^2abc\) मिलता है। इसलिए बराबरी हर वास्तविक (k) के लिए सही है। / Both sides become \(a+b+c+kab+kac+kbc+k^2abc\). Hence associativity holds for every real (k).
Step 3
Exam Tip
साहचर्य जांच में विस्तार पूरा करें, जल्दी अनुमान न लगाएं। / In associativity checks, expand fully before deciding.
तत्समक (e) के लिए (\min(a,e)=a) हर \(a\in\mathbb{N}\) के लिए चाहिए। / Identity (e) must satisfy (\min(a,e)=a) for every \(a\in\mathbb{N}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है (e) सभी प्राकृतिक संख्याओं से बड़ा या बराबर हो। \(\mathbb{N}\) में ऐसा सबसे बड़ा अवयव नहीं है। / This means (e) must be greater than or equal to every natural number, but \(\mathbb{N}\) has no greatest element.
Step 3
Exam Tip
\(\min\) में तत्समक तभी मिलता है जब समुच्चय में सबसे बड़ा अवयव हो। / A \(\min\) operation has identity only when the set has a greatest element.
(\min(a,e)=a) हर (a) के लिए चाहिए। / We need (\min(a,e)=a) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसा तभी होगा जब (e) समुच्चय का सबसे बड़ा अवयव हो। यहाँ सबसे बड़ा अवयव (5) है। / This is possible only when (e) is the greatest element of the set. Here the greatest element is (5).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में \(\min\) और \(\max\) के तत्समक को सबसे बड़े और सबसे छोटे अवयव से जोड़कर देखें। / For finite sets, connect \(\min\) and \(\max\) identities with greatest and least elements.
\(a*b=a^2+b^2=b^2+a^2=b*a\), इसलिए क्रमविनिमेयता है। / \(a*b=a^2+b^2=b^2+a^2=b*a\), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((1*1)*1=2*1=5), जबकि (1*(1*1)=1*2=5); यह एक उदाहरण बराबर है, इसलिए दूसरा लें: ((1*2)*3=5*3=34), पर (1*(2*3)=1*13=170)। साहचर्य नहीं है। / But ((1*2)*3=5*3=34), while (1*(2*3)=1*13=170). So it is not associative.
Step 3
Exam Tip
साहचर्य गलत दिखाने के लिए एक विरोधी उदाहरण काफी है। / One counterexample is enough to disprove associativity.
इस संक्रिया का तत्समक (2) है। / The identity of this operation is (2).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (x) के लिए (5*x=2), यानी \(\frac{5x}{2}=2\)। इससे \(x=\frac{4}{5}\)। / For inverse (x), (5*x=2), so \(\frac{5x}{2}=2\). Hence \(x=\frac{4}{5}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम को सामान्य गुणा का प्रतिलोम समझकर जल्दी उत्तर न दें। / Do not confuse operation inverse with ordinary reciprocal.
(a*b=1-(1-a)(1-b)) लिखा जा सकता है। / We can write (a*b=1-(1-a)(1-b)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\neq1\) और \(b\neq1\), तो ((1-a)(1-b)\neq0), इसलिए \(a*b\neq1\)। / If \(a\neq1\) and \(b\neq1\), then ((1-a)(1-b)\neq0), so \(a*b\neq1\).
Step 3
Exam Tip
ऐसी संक्रिया में बंदता समझने के लिए अभिव्यक्ति को गुणन रूप में बदलना उपयोगी है। / For closure, rewriting into a product form can reveal excluded values.
प्रतिलोम (x) के लिए (a+x-ax=0)। इसलिए (x(1-a)=-a), अतः \(x=\frac{-a}{1-a}\)। / For inverse (x), (a+x-ax=0). Hence (x(1-a)=-a), so \(x=\frac{-a}{1-a}\).
Step 3
Exam Tip
चिह्नों पर ध्यान दें, क्योंकि (1-a) और (a-1) में ऋण चिह्न का अंतर होता है। / Watch signs carefully because (1-a) and (a-1) differ by a negative sign.
D. कुछ अवयवों के प्रतिलोम नहीं हैं/Some elements have no inverse
Step 1
Concept
संक्रिया \(\mathbb{Z}\) में बंद है और साहचर्य भी है। / The operation is closed in \(\mathbb{Z}\) and associative.
Step 2
Why this answer is correct
तत्समक (0) है। प्रतिलोम के लिए (a*x=0) से \(x=\frac{-a}{1+a}\) मिलता है। / The identity is (0). For inverse, (a*x=0) gives \(x=\frac{-a}{1+a}\).
Step 3
Exam Tip
(a=1) पर \(x=-\frac{1}{2}\), जो पूर्णांक नहीं है; इसलिए सभी प्रतिलोम नहीं मिलते। / For (a=1), \(x=-\frac{1}{2}\), not an integer, so not every element has an inverse.
A. दोनों ओर (a+b+c-ab-ac-bc+abc) मिलता है/Both sides become (a+b+c-ab-ac-bc+abc)
Step 1
Concept
((a*b)*c) फैलाने पर (a+b-ab+c-c(a+b-ab)) मिलता है। / Expanding ((a*b)*c) gives (a+b-ab+c-c(a+b-ab)).
Step 2
Why this answer is correct
सरलीकरण से (a+b+c-ab-ac-bc+abc) आता है। (a*(b*c)) से भी यही रूप मिलता है। / It simplifies to (a+b+c-ab-ac-bc+abc). The same expression comes from (a*(b*c)).
Step 3
Exam Tip
साहचर्य सिद्ध करने में दोनों पक्षों को एक जैसे रूप तक लाना सबसे सुरक्षित तरीका है। / To prove associativity, reduce both sides to the same form.
A. तत्समक (1) है और (0) का प्रतिलोम नहीं है/Identity is (1) and (0) has no inverse
Step 1
Concept
गुणा में (1) तत्समक है क्योंकि \(a\cdot1=a\)। / In multiplication, (1) is the identity because \(a\cdot1=a\).
Step 2
Why this answer is correct
(1) का प्रतिलोम (1) है, पर (0*x=1) कभी नहीं हो सकता। इसलिए (0) का प्रतिलोम नहीं है। / The inverse of (1) is (1), but (0*x=1) is impossible. So (0) has no inverse.
Step 3
Exam Tip
शून्य वाले गुणन में प्रतिलोम पर विशेष ध्यान दें। / In multiplication-like operations, check zero carefully.
बायाँ पक्ष (a*\(b\circ c\)=a+b+c+a(b+c)) है। / The left side is (a*\(b\circ c\)=a+b+c+a(b+c)).
Step 2
Why this answer is correct
दायाँ पक्ष ((a*b)\circ(a*c)=a+b+ab+a+c+ac=2a+b+c+ab+ac) है। बराबरी के लिए (a=2a), इसलिए (a=0)। / The right side is ((a*b)\circ(a*c)=a+b+ab+a+c+ac=2a+b+c+ab+ac). Equality needs (a=2a), so (a=0).
Step 3
Exam Tip
वितरण में दोनों पक्षों को अलग-अलग फैलाकर तुलना करें। / In distributive questions, expand both sides separately.
क्रमविनिमेयता के लिए \(a+\mu b=b+\mu a\) हर (a,b) के लिए चाहिए। / Commutativity requires \(a+\mu b=b+\mu a\) for all (a,b).
Step 2
Why this answer is correct
इसे (\(1-\mu\)a=\(1-\mu\)b) की तरह देखा जा सकता है। हर (a,b) के लिए यह तभी संभव है जब \(\mu=1\)। / This can be written as (\(1-\mu\)a=\(1-\mu\)b). For all (a,b), this is possible only when \(\mu=1\).
Step 3
Exam Tip
पैरामीटर प्रश्नों में बराबरी सभी अवयवों के लिए होनी चाहिए। / In parameter questions, equality must hold for all elements.
(a*(b*c)=a+\mu\(b+\mu c\)=a+\mu b+\mu-2c)। बराबरी के लिए \(\mu c=\mu^2c\) हर (c) पर चाहिए, इसलिए \(\mu=\mu^2\)। / (a*(b*c)=a+\mu\(b+\mu c\)=a+\mu b+\mu-2c). Equality needs \(\mu c=\mu^2c\) for every (c), so \(\mu=\mu^2\).
Step 3
Exam Tip
अतः \(\mu=0\) या \(\mu=1\)। / Thus \(\mu=0\) or \(\mu=1\).
(a*b=pa+qb) और (b*a=pb+qa)। / (a*b=pa+qb) and (b*a=pb+qa).
Step 2
Why this answer is correct
हर (a,b) के लिए बराबरी तभी होगी जब (a) और (b) के गुणांक समान मिलें। इसलिए (p=q)। / For equality for every (a,b), the coefficients of (a) and (b) must match. Hence (p=q).
Step 3
Exam Tip
रैखिक संक्रिया में गुणांकों की तुलना सबसे तेज तरीका है। / For linear operations, comparing coefficients is the fastest method.
इस प्रकार की संक्रिया में तत्समक (0) होता है। / For this type of operation, the identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(2*(-1)=0) रखने पर \(2-1-2\alpha=0\), इसलिए \(\alpha=\frac{1}{2}\)। / Put (2*(-1)=0): \(2-1-2\alpha=0\), so \(\alpha=\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
जाँच करें: (3*\(-\frac{3}{2}\)=3-\frac{3}{2}-\frac{9\alpha}{2}), \(\alpha=\frac{1}{2}\) पर यह (0) है। / Check: (3*\(-\frac{3}{2}\)=3-\frac{3}{2}-\frac{9\alpha}{2}), which is (0) when \(\alpha=\frac{1}{2}\).
A. यह बंद है, पर क्रमविनिमेय नहीं है/It is closed but not commutative
Step 1
Concept
\(a\neq0\) और \(b\neq0\) होने पर \(\frac{a}{b}\neq0\), इसलिए बंदता है। / If \(a\neq0\) and \(b\neq0\), then \(\frac{a}{b}\neq0\), so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a}{b}\) सामान्यतः \(\frac{b}{a}\) के बराबर नहीं होता, इसलिए क्रमविनिमेयता नहीं। / \(\frac{a}{b}\) is not generally equal to \(\frac{b}{a}\), so it is not commutative.
Step 3
Exam Tip
भाग की संक्रिया में बंदता और क्रमविनिमेयता अलग-अलग जांचें। / For division operations, test closure and commutativity separately.
A. बंद और क्रमविनिमेय है, पर साहचर्य नहीं/Closed and commutative, but not associative
Step 1
Concept
धनात्मक (a,b) के लिए \(\sqrt{ab}\) धनात्मक है, इसलिए बंदता है। / For positive (a,b), \(\sqrt{ab}\) is positive, so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{ab}=\sqrt{ba}\), इसलिए क्रमविनिमेयता है। / \(\sqrt{ab}=\sqrt{ba}\), so it is commutative.
Step 3
Exam Tip
((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}) और (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), ये सामान्यतः बराबर नहीं। / ((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}) and (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), not equal in general.
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{ba}{b+a}\), इसलिए संक्रिया क्रमविनिमेय है। / \(\frac{ab}{a+b}=\frac{ba}{b+a}\), so the operation is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
धनात्मक (a,b) के लिए परिणाम भी धनात्मक है, इसलिए बंदता भी है। / For positive (a,b), the result is also positive, so it is closed.
Step 3
Exam Tip
तत्समक के लिए \(\frac{ae}{a+e}=a\) से \(ae=a^2+ae\), यानी \(a^2=0\), असंभव; इसलिए तत्समक नहीं। / Identity would need \(\frac{ae}{a+e}=a\), giving \(ae=a^2+ae\), impossible for (a>0).
पहले कोष्ठक के अंदर (2*3=2+3-1=4) निकालें। / First calculate inside the bracket: (2*3=2+3-1=4).
Step 2
Why this answer is correct
अब (4*4=4+4-1=7) मिलेगा। / Now (4*4=4+4-1=7).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में संक्रिया को सामान्य जोड़ न समझें, हर बार दी गई परिभाषा लगाएं। / Do not treat the operation as ordinary addition; apply the given definition each time.
तत्समक (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a).
Step 2
Why this answer is correct
(a+e-1=a) से (e=1) मिलता है। / From (a+e-1=a), we get (e=1).
Step 3
Exam Tip
(a+b-k) रूप में तत्समक प्रायः (k) होता है, लेकिन फिर भी शर्त लगाकर जांचें। / In operations of the form (a+b-k), the identity is often (k), but always verify through the identity condition.
परिभाषा के अनुसार (x*2=x+2+2x)। / By definition, (x*2=x+2+2x).
Step 2
Why this answer is correct
(x+2+2x=8) से (3x=6), इसलिए (x=2)। / From (x+2+2x=8), we get (3x=6), so (x=2).
Step 3
Exam Tip
संक्रिया वाले समीकरण में पहले संक्रिया को सामान्य बीजीय रूप में बदलें। / In operation equations, first convert the operation into an ordinary algebraic equation.
तत्समक (e) के लिए (a*e=a) लिखें। / For identity (e), write (a*e=a).
Step 2
Why this answer is correct
\(a+e+\frac{ae}{2}=a\) से (e\left\(1+\frac{a}{2}\right\)=0) मिलता है। चूँकि \(a\neq-2\), इसलिए (e=0)। / \(a+e+\frac{ae}{2}=a\) gives (e\left\(1+\frac{a}{2}\right\)=0). Since \(a\neq-2\), (e=0).
Step 3
Exam Tip
निष्कासित मान पर ध्यान देने से भाग और गुणन की गलती नहीं होती। / Paying attention to the excluded value avoids algebraic mistakes.
इस संक्रिया का तत्समक (0) है। / The identity of this operation is (0).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (x) के लिए \(4+x+\frac{4x}{2}=0\)। इससे (4+3x=0), इसलिए \(x=-\frac{4}{3}\)। / For inverse (x), \(4+x+\frac{4x}{2}=0\). Thus (4+3x=0), so \(x=-\frac{4}{3}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम का मान समुच्चय में होना चाहिए; यहाँ \(-\frac{4}{3}\neq-2\), इसलिए मान्य है। / The inverse must belong to the set; here \(-\frac{4}{3}\neq-2\), so it is valid.
किसी भी वास्तविक (a,b) के लिए \(a^2+b\) वास्तविक है, इसलिए बंदता है। / For any real (a,b), \(a^2+b\) is real, so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
\(a*b=a^2+b\), जबकि \(b*a=b^2+a\)। ये सामान्यतः बराबर नहीं हैं, जैसे (1*2=3) और (2*1=5)। / \(a*b=a^2+b\), while \(b*a=b^2+a\). They are not generally equal; for example, (1*2=3) and (2*1=5).
Step 3
Exam Tip
क्रमविनिमेयता गलत दिखाने के लिए एक सही विरोधी उदाहरण काफी है। / One valid counterexample is enough to disprove commutativity.
(a+b+ab) को ((a+1)(b+1)-1) लिखा जा सकता है। / (a+b+ab) can be written as ((a+1)(b+1)-1).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\neq-1\) और \(b\neq-1\), तो ((a+1)(b+1)\neq0), इसलिए परिणाम (-1) नहीं होगा। / If \(a\neq-1\) and \(b\neq-1\), then ((a+1)(b+1)\neq0), so the result cannot be (-1).
Step 3
Exam Tip
बंदता में निष्कासित मान को पहचानने के लिए गुणन रूप बहुत उपयोगी है। / A product form is very useful for detecting excluded values in closure questions.
A. \(\frac{-a}{1-a}\), जहाँ \(a\neq1\)/\(\frac{-a}{1-a}\), where \(a\neq1\)
Step 1
Concept
(a+b-ab=0) लिखें। / Write (a+b-ab=0).
Step 2
Why this answer is correct
(b(1-a)=-a), इसलिए \(b=\frac{-a}{1-a}\), जहाँ \(a\neq1\)। / (b(1-a)=-a), so \(b=\frac{-a}{1-a}\), where \(a\neq1\).
Step 3
Exam Tip
(a+b+ab) और (a+b-ab) में चिह्न अलग होता है, इसलिए जल्दबाजी में पुराना सूत्र न लगाएं। / The signs differ in (a+b+ab) and (a+b-ab), so do not reuse a formula blindly.
अपना ही प्रतिलोम होने के लिए (a*a=0) चाहिए, क्योंकि तत्समक (0) है। / To be self-inverse, (a*a=0), since the identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(a*a=2a+a-2=a(a+2)=0), इसलिए (a=0) या (a=-2)। / (a*a=2a+a-2=a(a+2)=0), so (a=0) or (a=-2).
Step 3
Exam Tip
दिए विकल्पों में (0) और (-2) दोनों दिख रहे हैं, पर (-2) भी सही है; इसलिए प्रश्न में यदि एक उत्तर चाहिए तो विकल्पों की रचना सावधानी से होनी चाहिए। / Since both (0) and (-2) appear in the options, the item has two correct choices and must be corrected before use.
तत्समक (e) के लिए (\gcd(a,e)=a) हर \(a\in S\) के लिए चाहिए। / Identity (e) must satisfy (\gcd(a,e)=a) for every \(a\in S\).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसा तब होता है जब हर (a), (e) को विभाजित करे। (12) इस समुच्चय के सभी अवयवों का गुणज है। / This happens when every (a) divides (e). Here (12) is a multiple of all elements of the set.
Step 3
Exam Tip
\(\gcd\) संक्रिया में तत्समक सामान्यतः समुच्चय का ऐसा बड़ा अवयव होता है जो सभी से विभाज्य हो। / For a \(\gcd\) operation, the identity is usually a greatest common multiple-like element inside the set.
तत्समक (e) के लिए (\operatorname{lcm}(a,e)=a) हर \(a\in S\) के लिए चाहिए। / Identity (e) must satisfy (\operatorname{lcm}(a,e)=a) for every \(a\in S\).
Step 2
Why this answer is correct
यह (e=1) पर सही है क्योंकि (\operatorname{lcm}(a,1)=a)। / This works for (e=1), since (\operatorname{lcm}(a,1)=a).
Step 3
Exam Tip
\(\operatorname{lcm}\) में (1) को पहले जांचें, क्योंकि वह हर संख्या को अपरिवर्तित रखता है। / In an \(\operatorname{lcm}\) operation, check (1) first because it leaves every number unchanged.
परिभाषा लगाएं: (2*x=2+x-2x)। / Apply the definition: (2*x=2+x-2x).
Step 2
Why this answer is correct
(2-x=3) से (x=-1) मिलता है। / From (2-x=3), we get (x=-1).
Step 3
Exam Tip
संक्रिया में चर दो जगह आ सकता है, इसलिए पहले पूरा बीजीय समीकरण बनाएं। / The variable may appear in two places in an operation, so first form the complete algebraic equation.
