Class 12 positive reals MCQ Questions

Question 1/9 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}^{+}\) पर \(a*b=\frac{ab}{a+b}\) है। यह संक्रिया किस गुण को पूरा करती है?

On \(\mathbb{R}^{+}\), \(a*b=\frac{ab}{a+b}\). Which property does this operation satisfy?

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Correct Answer

A. क्रमविनिमेय हैIt is commutative

Step 1

Concept

\(\frac{ab}{a+b}=\frac{ba}{b+a}\), इसलिए संक्रिया क्रमविनिमेय है। / \(\frac{ab}{a+b}=\frac{ba}{b+a}\), so the operation is commutative.

Step 2

Why this answer is correct

धनात्मक (a,b) के लिए परिणाम भी धनात्मक है, इसलिए बंदता भी है। / For positive (a,b), the result is also positive, so it is closed.

Step 3

Exam Tip

तत्समक के लिए \(\frac{ae}{a+e}=a\) से \(ae=a^2+ae\), यानी \(a^2=0\), असंभव; इसलिए तत्समक नहीं। / Identity would need \(\frac{ae}{a+e}=a\), giving \(ae=a^2+ae\), impossible for (a>0).

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Question 2/9 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{a}{b}\) परिभाषित है। यह क्रिया किस गुण को संतुष्ट नहीं करती?

On positive real numbers, \(a*b=\frac{a}{b}\) is defined. Which property is not satisfied by this operation?

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Correct Answer

A. साहचर्यAssociativity

Step 1

Concept

धनात्मक (a,b) के लिए \(\frac{a}{b}\) धनात्मक है, इसलिए आंतरिकता है। / For positive (a,b), \(\frac{a}{b}\) is positive, so closure holds.

Step 2

Why this answer is correct

((a*b)*c=\frac{a}{bc}), जबकि (a*(b*c)=\frac{ac}{b}), ये सामान्य रूप से बराबर नहीं हैं। / ((a*b)*c=\frac{a}{bc}), while (a*(b*c)=\frac{ac}{b}), which are not equal in general.

Step 3

Exam Tip

भाग वाली क्रियाएँ अक्सर साहचर्य नहीं होतीं। / Division-type operations are often not associative.

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Question 3/9 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर (ab=ab) परिभाषित है। (ab=ba) और ((ab)c=a(b*c)) के बारे में सही विकल्प चुनिए।

On positive real numbers, (a*b=ab) is defined. Choose the correct option about (a*b=b*a) and ((a*b)*c=a*(b*c)).

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Correct Answer

A. दोनों सत्य हैंBoth are true

Step 1

Concept

वास्तविक संख्याओं का गुणन क्रमविनिमेय है, इसलिए (ab=ba)। / Multiplication of real numbers is commutative, so (ab=ba).

Step 2

Why this answer is correct

गुणन साहचर्य भी है, इसलिए ((ab)c=a(bc))। / Multiplication is also associative, so ((ab)c=a(bc)).

Step 3

Exam Tip

सामान्य गुणन को पहचानना कई कठिन प्रश्नों को सरल बना देता है। / Recognizing ordinary multiplication helps simplify many binary-operation questions.

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Question 4/9 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\sqrt{ab}\) परिभाषित है। इस क्रिया के साहचर्य गुण के बारे में सही कथन चुनिए।

On positive real numbers, \(a*b=\sqrt{ab}\) is defined. Choose the correct statement about associativity of this operation.

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Correct Answer

B. यह साहचर्य नहीं हैIt is not associative

Step 1

Concept

साहचर्य के लिए ((a*b)*c=a*(b*c)) होना चाहिए। / For associativity, ((a*b)*c=a*(b*c)) must hold.

Step 2

Why this answer is correct

((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}) और (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), ये सामान्य रूप से बराबर नहीं होते। / Here ((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}) and (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), which are not equal in general.

Step 3

Exam Tip

एक छोटा प्रतिउदाहरण साहचर्य को खारिज करने का तेज तरीका है। / A small counterexample is a quick way to disprove associativity.

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Question 5/9 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\mathbb{R}^{+}\) पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) है। इस क्रिया में तत्समक अवयव के बारे में सही बात क्या है?

On \(A=\mathbb{R}^{+}\), \(a*b=\frac{a+b}{2}\). What is true about the identity element?

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Correct Answer

D. तत्समक अस्तित्व में नहीं हैIdentity does not exist

Step 1

Concept

(a*e=a) से \(\frac{a+e}{2}=a\) मिलता है। / From (a*e=a), \(\frac{a+e}{2}=a\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (e=a), जो हर (a) के लिए बदलता रहेगा। / This gives (e=a), which changes with (a).

Step 3

Exam Tip

तत्समक एक निश्चित अवयव होना चाहिए, इसलिए यहाँ तत्समक नहीं है। / An identity must be fixed, so no identity exists here.

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Question 6/9 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\mathbb{R}^{+}\) पर (a*b=ab) है। (a) का प्रतिलोम किस समुच्चय में रहता है?

On \(A=\mathbb{R}^{+}\), (a*b=ab). In which set does the inverse of (a) lie?

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Correct Answer

A. \(\mathbb{R}^{+}\)

Step 1

Concept

साधारण गुणन में तत्समक (1) है। / Under ordinary multiplication, the identity is (1).

Step 2

Why this answer is correct

(a>0) होने पर प्रतिलोम \(\frac{1}{a}\) भी धनात्मक होता है। / If (a>0), then its inverse \(\frac{1}{a}\) is also positive.

Step 3

Exam Tip

इसलिए प्रतिलोम उसी समुच्चय \(\mathbb{R}^{+}\) में रहता है, जो बंदता के बाद अगली जरूरी जाँच है। / Thus the inverse remains in \(\mathbb{R}^{+}\), which is the next key check after closure.

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Question 7/9 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\sqrt{ab}\) है। इस क्रिया के बारे में सही निष्कर्ष चुनिए।

On positive real numbers, \(a*b=\sqrt{ab}\). Choose the correct conclusion about this operation.

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Correct Answer

A. क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहींCommutative but not associative

Step 1

Concept

(ab=ba), इसलिए (a*b=b*a) और क्रिया क्रमविनिमेय है। / Since (ab=ba), (a*b=b*a), so the operation is commutative.

Step 2

Why this answer is correct

((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}), जबकि (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), ये सामान्यतः बराबर नहीं होते। / ((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}), while (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), not equal in general.

Step 3

Exam Tip

साहचर्य जाँचने के लिए (a=1,b=4,c=16) जैसे मान तुरंत अंतर दिखाते हैं। / Values like (a=1,b=4,c=16) quickly disprove associativity.

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Question 8/9 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर (a*b=ab) है। (5) का प्रतिलोम क्या है?

On positive real numbers, (a*b=ab). What is the inverse of (5)?

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Correct Answer

C. \(\frac{1}{5}\)

Step 1

Concept

गुणा की संक्रिया में तत्समक (1) है। / The identity for multiplication is (1).

Step 2

Why this answer is correct

(5*x=1) से (5x=1) और \(x=\frac{1}{5}\) है। / (5*x=1) gives (5x=1), so \(x=\frac{1}{5}\).

Step 3

Exam Tip

गुणन प्रतिलोम में संख्या का व्युत्क्रम लेते हैं। / For multiplicative inverse, take the reciprocal.

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Question 9/9 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर (a*b=ab) दिया है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On positive real numbers, (a*b=ab). What is the identity element of this operation?

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Correct Answer

B. (1)

Step 1

Concept

(a*e=a) के लिए (ae=a) चाहिए। / For (a*e=a), we need (ae=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a>0) होने से (e=1) मिलता है। / Since (a>0), (e=1).

Step 3

Exam Tip

सामान्य गुणा में तत्समक अवयव (1) होता है। / In ordinary multiplication, the identity element is (1).

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positive reals MCQ Questions for Class 12

Practice Questions

समुच्चय \(\mathbb{R}^{+}\) पर \(a*b=\frac{ab}{a+b}\) है। यह संक्रिया किस गुण को पूरा करती है?

Concept

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Exam Tip

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{a}{b}\) परिभाषित है। यह क्रिया किस गुण को संतुष्ट नहीं करती?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर (a*b=ab) परिभाषित है। (a*b=b*a) और ((a*b)*c=a*(b*c)) के बारे में सही विकल्प चुनिए।

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\sqrt{ab}\) परिभाषित है। इस क्रिया के साहचर्य गुण के बारे में सही कथन चुनिए।

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\mathbb{R}^{+}\) पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) है। इस क्रिया में तत्समक अवयव के बारे में सही बात क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\mathbb{R}^{+}\) पर (a*b=ab) है। (a) का प्रतिलोम किस समुच्चय में रहता है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\sqrt{ab}\) है। इस क्रिया के बारे में सही निष्कर्ष चुनिए।

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर (a*b=ab) है। (5) का प्रतिलोम क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर (a*b=ab) दिया है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

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धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर (ab=ab) परिभाषित है। (ab=ba) और ((ab)c=a(b*c)) के बारे में सही विकल्प चुनिए।