Class 12 Mathematics Relations and Functions Binary operations Expert Level 30

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=a^{\log b}\) दिया है, जहाँ \(\log\) का आधार (10) है। यह संक्रिया क्रमविनिमेय कब होगी?

On positive real numbers, \(a*b=a^{\log b}\), where \(\log\) has base (10). When is this operation commutative?

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Correct Answer

A. सभी (a,b>0) के लिएFor all (a,b>0)

Step 1

Concept

Commutativity needs (a*b=b*a).

Step 2

Why this answer is correct

Here \(a^{\log b}=b^{\log a}\). Taking \(\log\) on both sides gives (\(\log a\)\(\log b\)=\(\log b\)\(\log a\)), always true.

Step 3

Exam Tip

For exponential operations, logarithms often simplify comparison. चरण 1: क्रमविनिमेयता के लिए (a*b=b*a) चाहिए। चरण 2: \(a^{\log b}=b^{\log a}\)। दोनों ओर \(\log\) लेने पर (\(\log a\)\(\log b\)=\(\log b\)\(\log a\)), जो सदा सत्य है। चरण 3: घात वाले प्रश्नों में लघुगणक लेने से तुलना सरल हो जाती है।

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Mathematics Answer, Explanation and Revision Hints

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=a^{\log b}\) दिया है, जहाँ \(\log\) का आधार (10) है। यह संक्रिया क्रमविनिमेय कब होगी? / On positive real numbers, \(a*b=a^{\log b}\), where \(\log\) has base (10). When is this operation commutative?

Correct Answer: A. सभी (a,b>0) के लिए / For all (a,b>0). Explanation: चरण 1: क्रमविनिमेयता के लिए (a*b=b*a) चाहिए। चरण 2: \(a^{\log b}=b^{\log a}\)। दोनों ओर \(\log\) लेने पर (\(\log a\)\(\log b\)=\(\log b\)\(\log a\)), जो सदा सत्य है। चरण 3: घात वाले प्रश्नों में लघुगणक लेने से तुलना सरल हो जाती है। / Step 1: Commutativity needs (a*b=b*a). Step 2: Here \(a^{\log b}=b^{\log a}\). Taking \(\log\) on both sides gives (\(\log a\)\(\log b\)=\(\log b\)\(\log a\)), always true. Step 3: For exponential operations, logarithms often simplify comparison.

Which concept should I revise for this Mathematics MCQ?

Commutativity needs (a*b=b*a).

What exam hint can help solve this Mathematics question?

For exponential operations, logarithms often simplify comparison. चरण 1: क्रमविनिमेयता के लिए (a*b=b*a) चाहिए। चरण 2: \(a^{\log b}=b^{\log a}\)। दोनों ओर \(\log\) लेने पर (\(\log a\)\(\log b\)=\(\log b\)\(\log a\)), जो सदा सत्य है। चरण 3: घात वाले प्रश्नों में लघुगणक लेने से तुलना सरल हो जाती है।