Class 12 Mathematics Relations and Functions Binary operations Expert Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a^2+b^2\) है। यह संक्रिया किस गुण को पूरा करती है?

On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a^2+b^2\). Which property does this operation satisfy?

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Correct Answer

A. केवल क्रमविनिमेयCommutative only

Step 1

Concept

\(a*b=a^2+b^2=b^2+a^2=b*a\), so it is commutative.

Step 2

Why this answer is correct

But ((1*2)*3=5*3=34), while (1*(2*3)=1*13=170). So it is not associative.

Step 3

Exam Tip

One counterexample is enough to disprove associativity. चरण 1: \(a*b=a^2+b^2=b^2+a^2=b*a\), इसलिए क्रमविनिमेयता है। चरण 2: ((1*1)*1=2*1=5), जबकि (1*(1*1)=1*2=5); यह एक उदाहरण बराबर है, इसलिए दूसरा लें: ((1*2)*3=5*3=34), पर (1*(2*3)=1*13=170)। साहचर्य नहीं है। चरण 3: साहचर्य गलत दिखाने के लिए एक विरोधी उदाहरण काफी है।

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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a^2+b^2\) है। यह संक्रिया किस गुण को पूरा करती है? / On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a^2+b^2\). Which property does this operation satisfy?

Correct Answer: A. केवल क्रमविनिमेय / Commutative only. Explanation: चरण 1: \(a*b=a^2+b^2=b^2+a^2=b*a\), इसलिए क्रमविनिमेयता है। चरण 2: ((1*1)*1=2*1=5), जबकि (1*(1*1)=1*2=5); यह एक उदाहरण बराबर है, इसलिए दूसरा लें: ((1*2)*3=5*3=34), पर (1*(2*3)=1*13=170)। साहचर्य नहीं है। चरण 3: साहचर्य गलत दिखाने के लिए एक विरोधी उदाहरण काफी है। / Step 1: \(a*b=a^2+b^2=b^2+a^2=b*a\), so it is commutative. Step 2: But ((1*2)*3=5*3=34), while (1*(2*3)=1*13=170). So it is not associative. Step 3: One counterexample is enough to disprove associativity.

Which concept should I revise for this Mathematics MCQ?

\(a*b=a^2+b^2=b^2+a^2=b*a\), so it is commutative.

What exam hint can help solve this Mathematics question?

One counterexample is enough to disprove associativity. चरण 1: \(a*b=a^2+b^2=b^2+a^2=b*a\), इसलिए क्रमविनिमेयता है। चरण 2: ((1*1)*1=2*1=5), जबकि (1*(1*1)=1*2=5); यह एक उदाहरण बराबर है, इसलिए दूसरा लें: ((1*2)*3=5*3=34), पर (1*(2*3)=1*13=170)। साहचर्य नहीं है। चरण 3: साहचर्य गलत दिखाने के लिए एक विरोधी उदाहरण काफी है।