Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(e^x\) का मान हमेशा (0) से बड़ा होता है। / \(e^x\) is always positive.
Step 2
Why this answer is correct
हर (y>0) के लिए \(x=\ln y\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every (y>0), taking \(x=\ln y\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में सहप्रांत यदि (\(0,\infty\)) हो तो आच्छादिता तुरंत जाँची जा सकती है। / For exponential functions, codomain (\(0,\infty\)) makes onto verification direct.
\(x\to-\infty\) पर (x) का प्रभाव मान को \(-\infty\) की ओर ले जाता है और \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to-\infty\), the term (x) drives the value to \(-\infty\), and as \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
जब सतत फलन दोनों दिशाओं में पूरे वास्तविक मानों को पार करता है, तब वह सर्वाच्छादक होता है। / When a continuous function crosses all real values, it is onto.
A. क्योंकि (0) और (1) कभी छवि नहीं बनते/Because (0) and (1) are never images
Step 1
Concept
\(e^{-x}\) हर वास्तविक (x) के लिए धनात्मक होता है। / \(e^{-x}\) is positive for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\frac{1}{1+e^{-x}}\) हमेशा (0) और (1) के बीच रहता है, पर (0) या (1) के बराबर नहीं होता। / So \(\frac{1}{1+e^{-x}}\) always lies between (0) and (1), but never equals (0) or (1).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत में अंतिम बिंदु हों तो जाँचें कि वे वास्तव में छवि बनते हैं या नहीं। / When endpoints are in the codomain, check whether they are actually attained.
A. शून्य और ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ छवि नहीं बनतीं/Zero and negative real numbers are not images
Step 1
Concept
\(e^x\) हर वास्तविक (x) के लिए धनात्मक होता है। / \(e^x\) is positive for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक संख्याएँ भी हैं पर वे नहीं मिलतीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative numbers, but they are not obtained.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में परास को सहप्रांत से मिलाकर देखें। / For exponential functions, compare the range carefully with the codomain.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Not onto because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\(e^x\) हमेशा (0) से बड़ा होता है। / \(e^x\) is always greater than (0).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ और (0) हैं जो परास में नहीं आतीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers and (0), which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में परास को याद रखना आच्छादकता के लिए बहुत जरूरी है। / Remembering the range of exponential functions helps in onto questions.
\(e^x\) का मान हमेशा धनात्मक होता है और इसका परास (\(0,\infty\)) है। / \(e^x\) is always positive and its range is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए सहप्रांत के हर (y>0) के लिए \(x=\ln y\) वास्तविक है। इसलिए फलन आच्छादी है और बढ़ता हुआ होने से एकैकी भी है। / For every (y>0) in the codomain, \(x=\ln y\) is real. So the function is onto and also one-one because it is increasing.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन का परास याद रखें। / Remember the range of exponential functions.
A. क्योंकि यह सहप्रांत से बाहर (1) मान भी देता है/Because it also gives value (1), which is outside the codomain
Step 1
Concept
(x=0) पर \(e^{|x|}=1\) मिलता है। / At (x=0), \(e^{|x|}=1\).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन सहप्रांत (\(1,\infty\)) में (1) शामिल नहीं है, इसलिए यह दिए गए सहप्रांत में ठीक से फलन ही नहीं बनता। / But (1) is not included in the codomain (\(1,\infty\)), so the mapping is not properly a function into this codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादीपन से पहले यह जांचें कि सभी फलन मान सहप्रांत में हैं या नहीं। / Before checking onto nature, verify that all function values lie in the codomain.
\(|x|\ge0\), इसलिए \(e^{|x|}\ge1\)। / \(|x|\ge0\), so \(e^{|x|}\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\ln y\) लेने पर (|x|) को आवश्यक मान मिल जाता है और \(e^{|x|}=y\)। / For every \(y\ge1\), taking \(x=\ln y\) gives the needed absolute value and \(e^{|x|}=y\).
Step 3
Exam Tip
मापांक और घातीय फलन मिलकर \([1,\infty\)) परास देते हैं। / A modulus with an exponential gives range \([1,\infty\)).
A. क्योंकि (4) नहीं मिलता/Because (4) is not obtained
Step 1
Concept
\(e^{2x}\) हमेशा धनात्मक होता है और कभी (0) नहीं होता। / \(e^{2x}\) is always positive and never (0).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(e^{2x}+4\) हमेशा (4) से बड़ा है, पर सहप्रांत में (4) शामिल है। / Hence \(e^{2x}+4\) is always greater than (4), but (4) is included in the codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी प्रश्नों में खुले और बंद सिरे की जांच जरूर करें। / In onto questions, always check open and closed endpoints.
A. क्योंकि (0) और ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because (0) and negative values are not obtained
Step 1
Concept
\(e^x\) हमेशा धनात्मक होता है। / \(e^x\) is always positive.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान भी हैं, पर वे परास में नहीं हैं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values, but they are not in the range.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत बड़ा हो तो फलन आच्छादी न भी हो सकता है। / If the codomain is larger than the range, the function is not onto.
अवकलज से बढ़ने-घटने का पता लगाएं। / Use the derivative to study monotonicity.
Step 2
Why this answer is correct
(f'(x)=e^x+1), जो हर (x) के लिए धनात्मक है। इसलिए फलन सख्ती से बढ़ता है और एकैकी है। / (f'(x)=e^x+1), which is positive for every (x). Hence the function is strictly increasing and one-one.
Step 3
Exam Tip
अगर अवकलज हमेशा धनात्मक या हमेशा ऋणात्मक हो, तो फलन एकैकी होता है। / A function with derivative always positive or always negative is one-one.
घातीय फलन में (x) बढ़ने पर \(e^x\) भी लगातार बढ़ता है। / The exponential function \(e^x\) increases continuously as (x) increases.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(e^a=e^b\), तो समान आधार के कारण (a=b) होगा। / If \(e^a=e^b\), then the same base gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में लगातार बढ़ने वाला फलन अलग आगतों को अलग प्रतिबिंब देता है, इसलिए वह एकैकी होता है। / In exams, a strictly increasing function gives different images for different inputs, so it is one-one.
\(2^x\) बढ़ने वाला फलन है। / \(2^x\) is an increasing function.
Step 2
Why this answer is correct
उसमें (1) जोड़ने से अलग आगतों के मान अलग ही रहते हैं। / Adding (1) keeps different input values different.
Step 3
Exam Tip
बढ़ते घातीय फलन में स्थिर संख्या जोड़ने से एकैकीपन नहीं बदलता। / Adding a constant to an increasing exponential function does not change one-one property.
\(e^x\) बढ़ने वाला फलन है। / \(e^x\) is an increasing function.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ाने पर \(e^x\) का मान भी बढ़ता है इसलिए दो अलग आगत समान निर्गत नहीं देते। / As (x) increases, \(e^x\) also increases, so two different inputs cannot give the same output.
Step 3
Exam Tip
बढ़ते फलन सामान्यतः एकैकी जाँच में सरल होते हैं। / Increasing functions are usually easy to test for one-one.
A. यह एकैकी है पर आच्छादी नहीं/It is one-one but not onto
Step 1
Concept
\(2^x\) बढ़ता हुआ फलन है, इसलिए यह एकैकी है। / \(2^x\) is an increasing function, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसका मान हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए कोई ऋणात्मक वास्तविक संख्या छवि नहीं बनती। / Its value is always positive, so no negative real number is attained.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन का परास पहचानना आच्छादीपन में मदद करता है। / Knowing the range of an exponential function helps in checking onto.
