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Subjects
Class 12 Mathematics Relations and Functions Onto function Hard Level 27

यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,1]\) और (f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}), तो (f) सर्वाच्छादक क्यों नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to[0,1]\) and (f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}), why is (f) not onto?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published:
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Correct Answer

A. क्योंकि (0) और (1) कभी छवि नहीं बनतेBecause (0) and (1) are never images

Step 1

Concept

\(e^{-x}\) हर वास्तविक (x) के लिए धनात्मक होता है। / \(e^{-x}\) is positive for every real (x).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए \(\frac{1}{1+e^{-x}}\) हमेशा (0) और (1) के बीच रहता है, पर (0) या (1) के बराबर नहीं होता। / So \(\frac{1}{1+e^{-x}}\) always lies between (0) and (1), but never equals (0) or (1).

Step 3

Exam Tip

सहप्रांत में अंतिम बिंदु हों तो जाँचें कि वे वास्तव में छवि बनते हैं या नहीं। / When endpoints are in the codomain, check whether they are actually attained.

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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,1]\) और (f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}), तो (f) सर्वाच्छादक क्यों नहीं है? / If \(f:\mathbb{R}\to[0,1]\) and (f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}), why is (f) not onto?

Correct Answer: A. क्योंकि (0) और (1) कभी छवि नहीं बनते / Because (0) and (1) are never images. Explanation: चरण 1: \(e^{-x}\) हर वास्तविक (x) के लिए धनात्मक होता है। चरण 2: इसलिए \(\frac{1}{1+e^{-x}}\) हमेशा (0) और (1) के बीच रहता है, पर (0) या (1) के बराबर नहीं होता। चरण 3: सहप्रांत में अंतिम बिंदु हों तो जाँचें कि वे वास्तव में छवि बनते हैं या नहीं। / Step 1: \(e^{-x}\) is positive for every real (x). Step 2: So \(\frac{1}{1+e^{-x}}\) always lies between (0) and (1), but never equals (0) or (1). Step 3: When endpoints are in the codomain, check whether they are actually attained.

Why is option A correct in this Mathematics MCQ?

इसलिए \(\frac{1}{1+e^{-x}}\) हमेशा (0) और (1) के बीच रहता है, पर (0) या (1) के बराबर नहीं होता। / So \(\frac{1}{1+e^{-x}}\) always lies between (0) and (1), but never equals (0) or (1).

What should I remember for this Mathematics concept?

सहप्रांत में अंतिम बिंदु हों तो जाँचें कि वे वास्तव में छवि बनते हैं या नहीं। / When endpoints are in the codomain, check whether they are actually attained.