Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\ln x\) का परास \(\mathbb{R}\) है। / The range of \(\ln x\) is \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी वास्तविक (y) के लिए \(x=e^y>0\) मिलता है, जो प्रांत में है। इसलिए फलन आच्छादी है। \(\ln x\) बढ़ता हुआ है, इसलिए एकैकी भी है। / For any real (y), \(x=e^y>0\), which lies in the domain. So the function is onto. Since \(\ln x\) is increasing, it is also one-one.
Step 3
Exam Tip
\(\ln x\) और \(e^x\) के परास-प्रांत संबंध को याद रखें। / Remember the domain-range link between \(\ln x\) and \(e^x\).
A. हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=2+e^y\) मिल जाता है/For every \(y\in\mathbb{R}\), \(x=2+e^y\) exists
Step 1
Concept
(f(x)=y) रखने पर (\ln(x-2)=y) मिलता है। / Put (f(x)=y), so (\ln(x-2)=y).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(x-2=e^y\), यानी \(x=2+e^y\), जो हमेशा (2) से बड़ा है। / Then \(x-2=e^y\), so \(x=2+e^y\), which is always greater than (2).
Step 3
Exam Tip
लघुगणक फलन अपने प्राकृतिक धनात्मक अंदरूनी भाग पर सभी वास्तविक मान देता है। / A logarithmic function gives all real values when its inside expression is positive.
A. क्योंकि ऋणात्मक फलन मान सहप्रांत में नहीं हैं, इसलिए यह सही रूप से इस सहप्रांत में फलन नहीं बनता/Because negative function values are not in the codomain, so it is not properly a function into this codomain
Step 1
Concept
(0<x<1) पर \(\ln x<0\) होता है। / For (0<x<1), \(\ln x<0\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत (\(0,\infty\)) है, जिसमें ऋणात्मक मान नहीं हैं, इसलिए दिए गए रूप में यह (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)) फलन ठीक से नहीं बनता। / The codomain is (\(0,\infty\)), which does not contain negative values, so the given mapping is not properly a function into this codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जांचने से पहले फलन की परिभाषा सही है या नहीं, यह देखें। / Before testing onto nature, check whether the function is well-defined.
\(\ln x\) का परास \(\mathbb{R}\) है। / The range of \(\ln x\) is \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\ln x+4\) भी सभी वास्तविक मान ले सकता है, क्योंकि ऊपर खिसकाव से \(\mathbb{R}\) परास नहीं बदलता। / \(\ln x+4\) also takes all real values, because shifting \(\mathbb{R}\) still gives \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
लघुगणकीय फलन अपने प्राकृतिक प्रांत पर \(\mathbb{R}\) को ढकता है। / A logarithmic function on its natural domain covers all real values.
\(\ln x\) का प्रांत (\(0,\infty\)) है। / The domain of \(\ln x\) is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
(f'(x)=\frac{1}{x}), जो इस प्रांत में हर जगह धनात्मक है, इसलिए फलन बढ़ता है। / (f'(x)=\frac{1}{x}), which is positive throughout this domain, so the function is increasing.
Step 3
Exam Tip
बढ़ता हुआ लघुगणकीय फलन अपने प्रांत पर एकैकी होता है। / An increasing logarithmic function is one-one on its domain.
लघुगणकीय फलन अपने सही प्रांत (\(0,\infty\)) पर बढ़ता है। / The logarithmic function increases on its proper domain (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\log x_1=\log x_2\), तो \(x_1=x_2\) ही होगा। / If \(\log x_1=\log x_2\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
लघुगणकीय फलन की एक-एकता जांचते समय पहले उसका प्रांत अवश्य देखें। / While checking injectivity of a logarithmic function, always check its domain first.
