Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यह फलन \(\mathbb{R}\) पर सु-परिभाषित नहीं है/This function is not well-defined on \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
\(\tan x\) \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) पर परिभाषित नहीं होता। / \(\tan x\) is undefined at \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\).
Step 2
Why this answer is correct
ये मान \(\mathbb{R}\) में आते हैं, इसलिए \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) के रूप में फलन सु-परिभाषित नहीं है। / These values are in \(\mathbb{R}\), so \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is not well-defined.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता से पहले फलन का सु-परिभाषित होना जरूरी है। / A function must be well-defined before onto nature can be tested.
\(\tan x\) इस खुले अंतराल पर परिभाषित है। / \(\tan x\) is defined on this open interval.
Step 2
Why this answer is correct
(x) जैसे-जैसे सिरों के पास जाता है मान \(-\infty\) से \(\infty\) तक सभी वास्तविक मान लेता है। / As (x) approaches the ends, the values cover all real numbers from \(-\infty\) to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलन में चुना गया अंतराल बहुत महत्वपूर्ण होता है। / The chosen interval is very important for trigonometric functions.
इस अंतराल पर \(\tan x\) लगातार बढ़ता है। / On this interval, \(\tan x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
(x) जब \(-\frac{\pi}{2}\) के पास जाता है तो मान बहुत छोटा होता है और \(\frac{\pi}{2}\) के पास बहुत बड़ा होता है। इसलिए परास \(\mathbb{R}\) है। / As (x) approaches \(-\frac{\pi}{2}\), the value becomes very small, and near \(\frac{\pi}{2}\), it becomes very large. Hence the range is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
उचित अंतराल चुनने से त्रिकोणमितीय फलन आच्छादी और एकैकी बन सकता है। / Choosing a suitable interval can make a trigonometric function onto and one-one.
इस अंतराल पर \(\tan x\) सभी वास्तविक मान लेता है। / On this interval, \(\tan x\) takes all real values.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए कोई (x) इस अंतराल में है जिससे \(\tan x=y\)। / For every \(y\in\mathbb{R}\), there is an (x) in this interval such that \(\tan x=y\).
Step 3
Exam Tip
\(\tan x\) का मानक परास \(\mathbb{R}\) याद रखें। / Remember the standard range of \(\tan x\) as \(\mathbb{R}\).
A. क्योंकि इसका परास केवल ([0,1]) है/Because its range is only ([0,1])
Step 1
Concept
\([0,\frac{\pi}{4}]\) पर \(\tan x\) (0) से (1) तक मान लेता है। / On \([0,\frac{\pi}{4}]\), \(\tan x\) takes values from (0) to (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (2) जैसे मान भी हैं, जो परास में नहीं आते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains values such as (2), which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
बड़े सहप्रांत के सामने छोटा परास आच्छादीपन नहीं देता। / A small range cannot cover a larger codomain.
(\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) पर \(\tan x\) का परास \(\mathbb{R}\) है। / On (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)), the range of \(\tan x\) is \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर वास्तविक सहप्रांत मान किसी न किसी (x) से मिलता है। / Thus every real codomain value is obtained for some (x).
Step 3
Exam Tip
\(\tan x\) का मानक आच्छादी अंतराल याद रखें। / Remember the standard onto interval for \(\tan x\).
\(\tan x\) आवर्ती है और हर जगह परिभाषित भी नहीं है। / \(\tan x\) is periodic and is not defined everywhere.
Step 2
Why this answer is correct
(\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) पर यह लगातार बढ़ता है और हर मान एक बार लेता है। / On (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)), it is strictly increasing and takes each value once.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय प्रतिलोम फलनों के लिए मानक एकैकी अंतराल याद रखें। / Remember standard one-one intervals for inverse trigonometric functions.
दिए गए अंतराल पर \(\tan x\) लगातार बढ़ता है। / On the given interval, \(\tan x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दो अलग (x) समान स्पर्शज्या मान नहीं दे सकते। / Therefore two different (x) values cannot give the same tangent value.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों को सही अंतराल पर सीमित करने से एकैकीपन मिल सकता है। / Restricting a trigonometric function to a suitable interval can make it one-one.
सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\tan a=\tan b\), जहाँ \(\tan a\) और \(\tan b\) परिभाषित हैं। (0) के तुल्यता वर्ग में निम्न में से कौन-सी संख्या होगी?
\(\tan \pi=0\), इसलिए \(\pi\) भी (0) के समान स्पर्शज्या मान देता है। / \(\tan \pi=0\), so \(\pi\) has the same tangent value as (0).
Step 3
Exam Tip
पर \(\frac{\pi}{2}\) पर स्पर्शज्या परिभाषित नहीं है, इसलिए सावधानी रखें। / But tangent is undefined at \(\frac{\pi}{2}\), so the domain must be checked carefully.
