A. नहीं, क्योंकि (0) सहप्रांत में है पर प्राप्त नहीं होता/No, because (0) is in the codomain but is not obtained
Step 1
Concept
\(e^x>0\) for all real (x).
Step 2
Why this answer is correct
(0) is in \([0,\infty\)), but there is no (x) such that \(e^x=0\).
Step 3
Exam Tip
A closed endpoint in the codomain can change onto status. चरण 1: \(e^x>0\) सभी वास्तविक (x) के लिए सत्य है। चरण 2: (0) सहप्रांत \([0,\infty\)) में है, लेकिन कोई (x) ऐसा नहीं कि \(e^x=0\)। चरण 3: सहप्रांत का बंद सिरा कई बार आच्छादकता बदल देता है।
For every (y>0), take \(x=\ln y\), then \(e^x=y\).
Step 3
Exam Tip
For exponential functions, the correct codomain is the key to onto checking. चरण 1: \(e^x\) का मान हमेशा धनात्मक होता है। चरण 2: हर (y>0) के लिए \(x=\ln y\) लेने पर \(e^x=y\) मिलता है। चरण 3: घातीय फलन में सहप्रांत सही चुनने से आच्छादकता स्पष्ट हो जाती है।
A. क्योंकि (0) और (1) जैसे मान नहीं मिलते/Because values like (0) and (1) are not obtained
Step 1
Concept
\(e^x>0\), so \(e^x+1>1\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (\(e^x+1\)2>1), so (0) and (1) are in the codomain but are not images.
Step 3
Exam Tip
Before squaring, check the range of the inner expression. चरण 1: \(e^x>0\), इसलिए \(e^x+1>1\)। चरण 2: अतः (\(e^x+1\)2>1), इसलिए (0) और (1) सहप्रांत में होते हुए भी छवि नहीं बनते। चरण 3: वर्ग करने से पहले अंदर वाले पद की सीमा जरूर देखें।
A. क्योंकि (-1) छवि नहीं बनता/Because (-1) is not an image
Step 1
Concept
Since \(x^2\ge0\) and \(e^x>0\), we have \(x^2+e^x>0\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (-1), but it cannot be an image of any (x).
Step 3
Exam Tip
Positivity or a lower bound can quickly disprove onto property. चरण 1: \(x^2\ge0\) और \(e^x>0\), इसलिए \(x^2+e^x>0\)। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) है, पर यह किसी भी (x) की छवि नहीं बन सकता। चरण 3: धनात्मकता या निचली सीमा दिखाकर सर्वाच्छादकता जल्दी नकारी जा सकती है।
A. \(x^3-x\) का परास \(\mathbb{R}\) है और \(e^t\) का परास (\(0,\infty\)) है/The range of \(x^3-x\) is \(\mathbb{R}\) and the range of \(e^t\) is (\(0,\infty\))
Step 1
Concept
\(x^3-x\) is a continuous odd-degree polynomial and its range is \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
When the exponent takes all real values, \(e^{x^3-x}\) takes all positive values.
Step 3
Exam Tip
In composite functions, check the range of the inner function first. चरण 1: \(x^3-x\) विषम घात का सतत बहुपद है और उसका परास \(\mathbb{R}\) है। चरण 2: जब घातांक सभी वास्तविक मान लेता है, तब \(e^{x^3-x}\) सभी धनात्मक मान लेता है। चरण 3: संयुक्त फलन में अंदर वाले फलन का परास पहले देखें।
For every (x), \(e^x>0\), so the value lies between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
For any (0<y<1), \(e^x=\frac{1-y}{y}\), so \(x=\ln\frac{1-y}{y}\) is real.
Step 3
Exam Tip
In an open interval codomain, endpoints are not required. चरण 1: हर (x) के लिए \(e^x>0\), इसलिए मान (0) और (1) के बीच रहता है। चरण 2: किसी भी (0<y<1) के लिए \(e^x=\frac{1-y}{y}\), अतः \(x=\ln\frac{1-y}{y}\) वास्तविक है। चरण 3: खुले अंतराल में अंतिम बिंदु चाहिए ही नहीं, इसलिए भ्रम न करें।
Since (y>0), \(x=\log_2 y\) is real and gives \(2^x=y\).
Step 3
Exam Tip
For exponential functions, logarithms provide the required preimage. चरण 1: सर्वाच्छादकता दिखाने के लिए \(2^x=y\) हल करें। चरण 2: (y>0) होने पर \(x=\log_2 y\) वास्तविक है और \(2^x=y\) देता है। चरण 3: घातीय फलन के लिए लघुगणक पूर्वप्रतिबिंब देता है।
A. ऋणात्मक संख्याएँ और (0) छवि नहीं बनते/Negative numbers and (0) are not images
Step 1
Concept
\(2^x\) is positive for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (0) and negative real numbers are in the codomain but not in the range.
Step 3
Exam Tip
Remember that the natural range of exponential functions is (\(0,\infty\)). चरण 1: \(2^x\) हर वास्तविक (x) के लिए धनात्मक है। चरण 2: इसलिए (0) और ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ सहप्रांत में होकर भी परास में नहीं हैं। चरण 3: घातीय फलनों का प्राकृतिक परास (\(0,\infty\)) ध्यान रखें।
For every (y>0), \(x=\ln y\) is real and \(e^x=y\).
Step 3
Exam Tip
An exponential function can be onto when its codomain is chosen as its natural range. चरण 1: सहप्रांत (\(0,\infty\)) दिया गया है। चरण 2: हर (y>0) के लिए \(x=\ln y\) वास्तविक है और \(e^x=y\) है। चरण 3: घातीय फलन को सही सहप्रांत देने पर वह सर्वाच्छादक हो सकता है।
The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers and (0), which have no preimage.
Step 3
Exam Tip
If the range (\(0,\infty\)) differs from codomain \(\mathbb{R}\), the function is not onto. चरण 1: \(e^x\) हमेशा धनात्मक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ और (0) भी हैं, जिनका कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है। चरण 3: परास (\(0,\infty\)) और सहप्रांत \(\mathbb{R}\) अलग हों तो फलन आच्छादी नहीं होता।
The codomain is also (\(0,\infty\)), so every positive (y) has preimage \(x=\ln y\).
Step 3
Exam Tip
In exponential functions, (0) is not in the range, so read the codomain carefully. चरण 1: \(e^x\) का परास (\(0,\infty\)) होता है। चरण 2: सहप्रांत भी (\(0,\infty\)) है, इसलिए हर धनात्मक (y) के लिए \(x=\ln y\) मिलता है। चरण 3: घातीय फलन में (0) परास का भाग नहीं होता, इसलिए सहप्रांत ध्यान से पढ़ें।
A. क्योंकि \(e^x\) कभी (0) या ऋणात्मक नहीं होता/Because \(e^x\) is never (0) or negative
Step 1
Concept
\(e^x>0\) for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative numbers, which are not obtained from \(e^x\). Hence the range is smaller than the codomain.
Step 3
Exam Tip
Reading the codomain carefully is most important in onto questions. चरण 1: \(e^x>0\) हर वास्तविक (x) के लिए होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक संख्याएँ हैं, जो \(e^x\) से प्राप्त नहीं होतीं। इसलिए परास सहप्रांत से छोटा है। चरण 3: सहप्रांत को ध्यान से पढ़ना आच्छादी प्रश्नों में सबसे जरूरी है।
Hence (f(1)=e-1) and (f(-1)=e-1), while \(1\ne-1\).
Step 3
Exam Tip
Even with an exponential outer function, an even inner expression can break one-one nature. चरण 1: \(x^2\) का मान (x) और (-x) पर समान होता है। चरण 2: इसलिए (f(1)=e-1) और (f(-1)=e-1), जबकि \(1\ne-1\)। चरण 3: घातांकीय बाहरी फलन होने पर भी अंदर का सम रूप एकैकीपन तोड़ सकता है।
Therefore (f(1)=e) and (f(-1)=e), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
Even if the outer function is one-one, the whole function may fail if the inner part is not one-one. चरण 1: \(x^2\) में (x) और (-x) समान मान देते हैं। चरण 2: इसलिए (f(1)=e) और (f(-1)=e), जबकि \(1\neq -1\)। चरण 3: बाहरी फलन एकैकी हो फिर भी अंदर का भाग एकैकी न हो तो पूरा फलन एकैकी नहीं हो सकता।
\(e^t\) is also increasing, so the composition is increasing.
Step 3
Exam Tip
A composition of increasing one-one functions remains one-one. चरण 1: (2x+1) एक बढ़ता हुआ रैखिक रूप है। चरण 2: \(e^t\) भी बढ़ता हुआ है, इसलिए संयोजन बढ़ता है। चरण 3: बढ़ते हुए फलनों का संयोजन एकैकी रहता है।
(f'(x)=e^x-1), which is negative for (x<0) and positive for (x>0).
Step 2
Why this answer is correct
The function decreases first and then increases, so it is not one-one on all of \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
If a function changes direction, equal images may occur. चरण 1: (f'(x)=e^x-1) है जो (x<0) पर ऋणात्मक और (x>0) पर धनात्मक होता है। चरण 2: फलन पहले घटता और फिर बढ़ता है, इसलिए पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं है। चरण 3: यदि फलन दिशा बदलता है तो समान छवि की संभावना रहती है।
The sum of two increasing parts is increasing, so two different inputs cannot have the same image.
Step 3
Exam Tip
In such questions, quickly identify the increasing nature of the function. चरण 1: \(e^x\) बढ़ता है और (x) भी बढ़ता है। चरण 2: दो बढ़ते हुए भागों का योग भी बढ़ता है, इसलिए दो अलग आगत समान छवि नहीं देंगे। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में फलन की बढ़ने की प्रकृति जल्दी पहचानें।
\(e^x\) is strictly increasing, so different inputs give different outputs.
Step 2
Why this answer is correct
It is never (0) or negative, and every positive value can occur.
Step 3
Exam Tip
Because the codomain is (\(0,\infty\)), the function is onto. चरण 1: \(e^x\) सदा बढ़ने वाला फलन है इसलिए अलग (x) पर अलग मान मिलते हैं। चरण 2: इसका मान कभी (0) या ऋणात्मक नहीं होता और हर धनात्मक मान मिल सकता है। चरण 3: सहप्रांत (\(0,\infty\)) होने से यह आच्छादी बन जाता है।
Its values are positive, and for every (y>0), \(x=\ln y\) exists.
Step 3
Exam Tip
With codomain (\(0,\infty\)), the function is bijective. चरण 1: \(e^x\) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए यह एकैकी है। चरण 2: इसका हर मान धनात्मक होता है और प्रत्येक (y>0) के लिए \(x=\ln y\) मौजूद है। चरण 3: सहप्रांत (\(0,\infty\)) लेने पर यह द्वैक हो जाता है।
By the definition of logarithm, \(x=e^y\), so (f^{-1}(x)=e^x).
Step 3
Exam Tip
\(\ln x\) and \(e^x\) are inverse functions of each other. चरण 1: \(y=\ln x\) मानें। चरण 2: लघुगणक की परिभाषा से \(x=e^y\), इसलिए (f^{-1}(x)=e^x)। चरण 3: \(\ln x\) और \(e^x\) परस्पर व्युत्क्रम फलन हैं।
For every (y>0), \(x=\ln y\) is real and gives \(e^x=y\).
Step 3
Exam Tip
The exponential function becomes bijective when the codomain is (\(0,\infty\)). चरण 1: \(e^x\) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए यह एकैकी है। चरण 2: हर (y>0) के लिए \(x=\ln y\) वास्तविक है और \(e^x=y\) देता है। चरण 3: घातीय फलन का सहप्रांत (\(0,\infty\)) रखने पर वह द्वैकी हो जाता है।
