Since ((x-2)3) takes all real values, ((x-2)3+3) also takes all real values.
Step 3
Exam Tip
A horizontal or vertical shift of a cubic still remains onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\). चरण 1: (x-3-6x-2+12x-5=(x-2)3+3) लिखा जा सकता है। चरण 2: ((x-2)3) सभी वास्तविक मान लेता है, इसलिए ((x-2)3+3) भी सभी वास्तविक मान लेता है। चरण 3: घन फलन में क्षैतिज या ऊर्ध्व स्थानांतरण होने पर भी \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादिता बनी रहती है।
A. क्योंकि ऋणात्मक वास्तविक मान नहीं मिलते/Because negative real values are not attained
Step 1
Concept
\(\sqrt{x}\) is always non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) includes negative values, which are not attained.
Step 3
Exam Tip
Remember that the range of the square root function is \([0,\infty\)). चरण 1: \(\sqrt{x}\) का मान हमेशा (0) या उससे बड़ा होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान भी हैं, जो नहीं मिलते। चरण 3: मूल फलन में परिसर \([0,\infty\)) याद रखें।
A. क्योंकि इसका परिसर (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है/Because its range is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\))
Step 1
Concept
Values of \(\tan^{-1}x\) lie only in (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is \(\mathbb{R}\), so many real values are missed.
Step 3
Exam Tip
Remember the principal range of inverse trigonometric functions. चरण 1: \(\tan^{-1}x\) का मान केवल (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) में आता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है इसलिए कई वास्तविक संख्याएँ छूट जाती हैं। चरण 3: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों में मानों की सीमा याद रखें।
A. जब सहप्रांत \([0,\infty\)) ही रहे/When codomain remains \([0,\infty\))
Step 1
Concept
(f(x)=(x+1)2), so its range is \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is also \([0,\infty\)), so every codomain element is attained.
Step 3
Exam Tip
In exams, first find the range and then compare it with the codomain. चरण 1: (f(x)=(x+1)2) है इसलिए इसका परिसर \([0,\infty\)) है। चरण 2: सहप्रांत भी \([0,\infty\)) है इसलिए हर सहप्रांतीय मान का पूर्वप्रतिबिंब मिलता है। चरण 3: परीक्षा में पहले परिसर निकालें फिर उसे सहप्रांत से मिलाएँ।
In an onto function, no codomain element is left out.
Step 2
Why this answer is correct
Hence the range of the function equals the whole codomain.
Step 3
Exam Tip
The shortest test for onto is to compare range and codomain. चरण 1: आच्छादक फलन में सहक्षेत्र का कोई भी सदस्य छूटता नहीं। चरण 2: इसलिए फलन का परास पूरे सहक्षेत्र के बराबर होता है। चरण 3: आच्छादकता की सबसे छोटी परीक्षा यही है कि परास और सहक्षेत्र बराबर हैं या नहीं।
A. क्योंकि (2) प्रतिबिंब नहीं बनता/Because (2) is not an image
Step 1
Concept
On ([-1,1]), the greatest value of \(x^2\) is (1).
Step 2
Why this answer is correct
So the range is ([0,1]), while the codomain is ([0,2]). The codomain element (2) is not obtained from any (x).
Step 3
Exam Tip
While checking onto, observe maximum and minimum values carefully. चरण 1: ([-1,1]) पर \(x^2\) का सबसे बड़ा मान (1) है। चरण 2: इसलिए परास ([0,1]) है, जबकि सहप्रांत ([0,2]) दिया गया है। सहप्रांत का सदस्य (2) किसी भी (x) से प्राप्त नहीं होता। चरण 3: आच्छादी जाँचते समय अधिकतम और न्यूनतम मान ध्यान से देखें।
A. क्योंकि \(e^x\) कभी (0) या ऋणात्मक नहीं होता/Because \(e^x\) is never (0) or negative
Step 1
Concept
\(e^x>0\) for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative numbers, which are not obtained from \(e^x\). Hence the range is smaller than the codomain.
Step 3
Exam Tip
Reading the codomain carefully is most important in onto questions. चरण 1: \(e^x>0\) हर वास्तविक (x) के लिए होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक संख्याएँ हैं, जो \(e^x\) से प्राप्त नहीं होतीं। इसलिए परास सहप्रांत से छोटा है। चरण 3: सहप्रांत को ध्यान से पढ़ना आच्छादी प्रश्नों में सबसे जरूरी है।
A. क्योंकि ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ प्रतिबिंब नहीं बनतीं/Because negative real numbers are not images
Step 1
Concept
(|x|) can never be negative.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) includes negative numbers such as (-3). The equation (|x|=-3) has no real solution.
Step 3
Exam Tip
Remember: if the range is smaller than the codomain, the function is not onto. चरण 1: (|x|) कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ भी हैं, जैसे (-3)। (|x|=-3) का कोई वास्तविक हल नहीं है। चरण 3: वही नियम याद रखें: परास यदि सहप्रांत से छोटा है तो फलन आच्छादी नहीं है।
