Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यह संवृत है और इसका तत्समक (2) है/It is closed and has identity (2)
Step 1
Concept
दो अशून्य वास्तविक संख्याओं का गुणन अशून्य होता है, इसलिए \(\frac{ab}{2}\) भी अशून्य है। / The product of two non-zero real numbers is non-zero, so \(\frac{ab}{2}\) is also non-zero.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{ae}{2}=a\Rightarrow e=2\), जो समुच्चय में है। / \(\frac{ae}{2}=a\Rightarrow e=2\), which belongs to the set.
Step 3
Exam Tip
अशून्य समुच्चय में परिणाम शून्य तो नहीं बन रहा, यह जरूर जाँचें। / For non-zero sets, ensure the result cannot become zero.
प्रतिलोम (x) के लिए \(4\ast x=\frac{1}{2}\) होना चाहिए। / For inverse (x), \(4\ast x=\frac{1}{2}\) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
\(2\cdot4\cdot x=\frac{1}{2}\), इसलिए \(8x=\frac{1}{2}\) और \(x=\frac{1}{16}\) नहीं, ध्यान से \(x=\frac{1}{16}\) आता है। / \(2\cdot4\cdot x=\frac{1}{2}\), so \(8x=\frac{1}{2}\), giving \(x=\frac{1}{16}\).
Step 3
Exam Tip
भिन्नों में गुणा करते समय समीकरण को धीरे हल करें। / Solve fractional equations slowly to avoid calculation errors.
\(\frac{a}{a}=1\), जो परिमेय है, इसलिए स्वतुल्यता है। / \(\frac{a}{a}=1\), which is rational, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\frac{a}{b}\) परिमेय और अशून्य है, तो \(\frac{b}{a}\) भी परिमेय है। / If \(\frac{a}{b}\) is rational and non-zero, then \(\frac{b}{a}\) is also rational.
Step 3
Exam Tip
दो परिमेय अनुपातों का गुणनफल परिमेय होता है, इसलिए संक्रामकता भी मिलती है। / The product of two rational ratios is rational, so transitivity also holds.
A. यह समान चिन्ह वाली संख्याओं को एक साथ रखता है/It groups numbers with the same sign
Step 1
Concept
\(\frac{a}{a}=1>0\), इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / \(\frac{a}{a}=1>0\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a}{b}>0\) का अर्थ है कि (a) और (b) का चिन्ह समान है, इसलिए उल्टा अनुपात भी धनात्मक होगा। / \(\frac{a}{b}>0\) means (a) and (b) have the same sign, so the reverse ratio is also positive.
Step 3
Exam Tip
समान चिन्ह की बात संक्रामक है, इसलिए यह धनात्मक और ऋणात्मक दो तुल्यता वर्ग बनाता है। / Having the same sign is transitive, so it forms two equivalence classes: positive and negative.
\(\frac{1}{a}\) का चिन्ह स्वयं के चिन्ह के समान होता है, इसलिए स्वतुल्यता है। / \(\frac{1}{a}\) has the same sign as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समान चिन्ह का संबंध उल्टे क्रम में भी सही रहता है। / Having the same sign is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि दो-दो प्रतिलोमों के चिन्ह समान हैं, तो पहली और तीसरी का चिन्ह भी समान होगा। / If two reciprocal signs are equal through a middle element, the first and third signs are also equal.
\(\frac{a}{a}=1>0\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(\frac{a}{a}=1>0\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a}{b}>0\) होने पर (a) और (b) का चिन्ह समान है, इसलिए \(\frac{b}{a}>0\) भी होगा। / If \(\frac{a}{b}>0\), then (a) and (b) have the same sign, so \(\frac{b}{a}>0\).
Step 3
Exam Tip
समान चिन्ह का संबंध संक्रमण भी होता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Having the same sign is transitive, so the relation is an equivalence relation.
