Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
किसी भी \(n\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=n) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=n\) मिलता है। / For any \(n\in\mathbb{Z}\), choose (x=n), then \(\lfloor x\rfloor=n\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर पूर्णांक सहप्रांतीय तत्व का पूर्वप्रतिबिंब है। / So every integer in the codomain has a preimage.
Step 3
Exam Tip
तल फलन \(\mathbb{Z}\) सहप्रांत पर आच्छादी होता है। / The floor function is onto when the codomain is \(\mathbb{Z}\).
A. नहीं क्योंकि केवल पूर्णांक मान मिलते हैं/No because only integer values are attained
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) सदैव पूर्णांक होता है। / \(\lfloor x\rfloor\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे गैरपूर्णांक भी हैं, जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integers like \(\frac{1}{2}\), which are not attained.
Step 3
Exam Tip
परिभाषित होना और आच्छादी होना अलग बातें हैं। / Being defined everywhere and being onto are different ideas.
A. नहीं, क्योंकि केवल पूर्णांक मान प्राप्त होते हैं/No, because only integer values are obtained
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) हमेशा पूर्णांक होता है। / \(\lfloor x\rfloor\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे अपूर्णांक मान हैं, जो प्राप्त नहीं होते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integer values like \(\frac{1}{2}\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
महत्तम पूर्णांक फलन का परास पहले पहचानें। / For the greatest integer function, identify the range first.
A. (f) सर्वाच्छादक है पर एकैकी नहीं/(f) is onto but not one-one
Step 1
Concept
किसी भी \(k\in\mathbb{N}\) के लिए (n=2k-1) लेने पर (f(n)=k) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{N}\), taking (n=2k-1) gives (f(n)=k).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (n=2k-1) और (n=2k) दोनों कई बार उसी (k) पर जा सकते हैं, इसलिए एकैकी नहीं है। / But (n=2k-1) and (n=2k) can give the same (k), so the function is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सर्वाच्छादकता और एकैकता को अलग-अलग जाँचना चाहिए। / Onto and one-one properties must be checked separately.
A. \(\frac{1}{2}\) जैसे वास्तविक मान छवि नहीं बनते/Real values like \(\frac{1}{2}\) are not images
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) हमेशा पूर्णांक देता है। / \(\lfloor x\rfloor\) always gives an integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) है, पर वह कभी छवि नहीं बनता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains \(\frac{1}{2}\), but it is never an image.
Step 3
Exam Tip
महत्तम पूर्णांक फलन में परास पूर्णांकों तक सीमित रहता है। / The greatest integer function has range limited to integers.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि केवल पूर्णांक मान मिलते हैं/Not onto because only integer values are obtained
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) हर (x) के लिए सबसे बड़ा पूर्णांक देता है जो (x) से बड़ा नहीं होता। / \(\lfloor x\rfloor\) gives the greatest integer not greater than (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए परास \(\mathbb{Z}\) है \(\mathbb{R}\) नहीं। / Hence its range is \(\mathbb{Z}\), not \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
मंजिल फलन में दशमलव लक्ष्य मान कभी नहीं मिलते। / For the floor function, decimal target values are never obtained.
A. क्योंकि गैर-पूर्णांक वास्तविक मान नहीं मिलते/Because non-integer real values are not obtained
Step 1
Concept
\(\lfloor x-3\rfloor\) हमेशा पूर्णांक होता है। / \(\lfloor x-3\rfloor\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे गैर-पूर्णांक मान हैं, जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integer values such as \(\frac{1}{2}\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक-मान फलन पूरे वास्तविक सहप्रांत को नहीं ढकता। / An integer-valued function does not cover the full real codomain.
\(\lfloor x-3\rfloor\) पूर्णांक मान देता है। / \(\lfloor x-3\rfloor\) gives integer values.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k+3) रखने पर \(\lfloor x-3\rfloor=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k+3), then \(\lfloor x-3\rfloor=k\).
Step 3
Exam Tip
नीचे पूर्णांक फलन पूर्णांक सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है। / A floor function can be onto an integer codomain.
A. क्योंकि गैर-पूर्णांक वास्तविक मान नहीं मिलते/Because non-integer real values are not obtained
Step 1
Concept
\(\lfloor x+2\rfloor\) हमेशा पूर्णांक होता है। / \(\lfloor x+2\rfloor\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{3}\) जैसे गैर-पूर्णांक मान हैं, जो परास में नहीं आते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integer values such as \(\frac{1}{3}\), which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक-मान फलन पूरे वास्तविक सहप्रांत पर आच्छादी नहीं होता। / An integer-valued function is not onto the whole real codomain.
\(\lfloor x+2\rfloor\) पूर्णांक मान देता है। / \(\lfloor x+2\rfloor\) gives integer values.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k-2) रखने पर \(\lfloor x+2\rfloor=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k-2), then \(\lfloor x+2\rfloor=k\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक सहप्रांत पर नीचे पूर्णांक फलन आच्छादी हो सकता है। / A floor function can be onto an integer codomain.
\(\lfloor x\rfloor\) कोई भी पूर्णांक मान दे सकता है। / \(\lfloor x\rfloor\) can give any integer value.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k) रखने पर \(\lfloor x\rfloor=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k), then \(\lfloor x\rfloor=k\).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) रखने पर यह फलन आच्छादी हो जाता है। / With codomain \(\mathbb{Z}\), this function is onto.
हर पूर्णांक (n) के लिए (x=n) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=n\), इसलिए आच्छादी है। / For every integer (n), choosing (x=n) gives \(\lfloor x\rfloor=n\), so it is onto.
Step 2
Why this answer is correct
\(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), इसलिए एकैकी नहीं है। / \(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) लेने से आच्छादिता बदल जाती है। / Taking codomain \(\mathbb{Z}\) changes onto behaviour.
किसी भी वास्तविक (x) को पूर्णांक भाग और भिन्नांश भाग के योग के रूप में लिखा जाता है। / Every real (x) is the sum of its greatest integer part and fractional part.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\lfloor x\rfloor+{x}=x\)। / Therefore \(\lfloor x\rfloor+{x}=x\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक भाग से जुड़े प्रश्नों में मूल पहचान याद रखें। / For greatest integer questions, remember this basic identity.
\(\lfloor 2x\rfloor=2\) का अर्थ \(2\le 2x<3\) है। / \(\lfloor 2x\rfloor=2\) means \(2\le 2x<3\).
Step 3
Exam Tip
दोनों तरफ (2) से भाग देने पर \(1\le x<\frac{3}{2}\), इसलिए वर्ग \([1,\frac{3}{2}\)) है। / Dividing by (2) gives \(1\le x<\frac{3}{2}\), so the class is \([1,\frac{3}{2}\)).
\(2\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{2}\), इसलिए पूर्णांक भाग (2) है। / \(2\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{2}\), so the floor value is (2).
Step 2
Why this answer is correct
\(\lfloor 2x\rfloor=2\) के लिए \(2\le 2x<3\) होगा। / \(\lfloor 2x\rfloor=2\) means \(2\le 2x<3\).
Step 3
Exam Tip
इससे \(\frac{5}{4}\le x<\frac{3}{2}\) नहीं, बल्कि \(1\le x<\frac{3}{2}\) मिलता है; इसलिए सही वर्ग \([1,\frac{3}{2}\)) है। / Hence \(1\le x<\frac{3}{2}\), so the correct class is \([1,\frac{3}{2}\)).
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\left\lfloor\frac{a}{3}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{b}{3}\right\rfloor\)। (8) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
दिए गए समुच्चय में (6,7,8) के लिए \(\left\lfloor\frac{a}{3}\right\rfloor=2\) मिलता है। / In the given set, (6,7,8) have \(\left\lfloor\frac{a}{3}\right\rfloor=2\).
Step 3
Exam Tip
(9) के लिए मान (3) है, इसलिए (9) इस वर्ग में नहीं आएगा। / For (9), the value is (3), so (9) is not in this class.
\(\lfloor -1.2\rfloor=-2\) है। / \(\lfloor -1.2\rfloor=-2\).
Step 2
Why this answer is correct
जिन वास्तविक संख्याओं का पूर्णांक भाग (-2) है, वे ([-2,-1)) में आती हैं। / Real numbers with floor value (-2) lie in ([-2,-1)).
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक संख्याओं में पूर्णांक भाग निकालते समय बाएँ छोटे पूर्णांक पर ध्यान दें। / For negative numbers, be careful that the floor goes to the smaller integer.
\(\lfloor \frac{5}{3}\rfloor=1\) है। / \(\lfloor \frac{5}{3}\rfloor=1\).
Step 2
Why this answer is correct
(3,4,5) के लिए भी \(\lfloor \frac{a}{3}\rfloor=1\) मिलता है। / For (3,4,5), the value of \(\lfloor \frac{a}{3}\rfloor\) is also (1).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक भाग वाले संबंध में समान पूर्णांक भाग वाले तत्व ही एक वर्ग बनाते हैं। / In floor-based relations, elements with the same floor value form one class.
\(\lfloor 2.7\rfloor=2\) है। / \(\lfloor 2.7\rfloor=2\).
Step 2
Why this answer is correct
जिन वास्तविक संख्याओं का पूर्णांक भाग (2) है, वे ([2,3)) में आती हैं। / Real numbers with greatest integer value (2) lie in ([2,3)).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक भाग वाले प्रश्नों में बायाँ सिरा शामिल और दायाँ सिरा शामिल नहीं होता। / For floor-based classes, the left endpoint is included and the right endpoint is excluded.
\(\lfloor a\rfloor=\lfloor a\rfloor\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(\lfloor a\rfloor=\lfloor a\rfloor\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समान पूर्णांक भाग की समानता उल्टे क्रम में भी सही रहती है। / Equality of the greatest integer value is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि दो संख्याओं का पूर्णांक भाग समान मध्य संख्या से समान है, तो वे आपस में भी समान पूर्णांक भाग रखेंगी। / If two values are equal to the same middle value, they are equal to each other, so transitivity holds.
हर (a) के लिए \(\lfloor a\rfloor=\lfloor a\rfloor\), इसलिए प्रतिवर्तिता है। / For every (a), \(\lfloor a\rfloor=\lfloor a\rfloor\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
बराबरी पलटने पर भी सही रहती है, इसलिए सममितता है। / Equality remains true when reversed, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान पूर्णांक भाग की शृंखला आगे भी समान पूर्णांक भाग देती है, इसलिए संक्रामकता है। / Having the same greatest-integer value passes through a middle element, so it is transitive.
