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Mathematics Quiz - Class 12 Mathematics Relations and...

Question 1/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) को (6) से भाग देने पर समान शेष मिले। (5) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}\), (aRb) if and only if (a) and (b) leave the same remainder on division by (6). Which is the equivalence class of (5)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({5,11})

Step 1

Concept

(5) को (6) से भाग देने पर शेष (5) है। / (5) leaves remainder (5) on division by (6).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए समुच्चय में (11) भी (6) से भाग देने पर शेष (5) देता है। / In the given set, (11) also leaves remainder (5) on division by (6).

Step 3

Exam Tip

तुल्यता वर्ग लिखते समय केवल समान शेष वाले और मूल समुच्चय के अवयव ही रखें। / While writing an equivalence class, include only elements from the base set with the same remainder.

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Question 2/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

पूर्णांकों पर (aRb) तब और केवल तब जब (a-b) (7) से विभाज्य हो। (-15) का तुल्यता वर्ग किस रूप में लिखा जाएगा?

On integers, (aRb) if and only if (a-b) is divisible by (7). How will the equivalence class of (-15) be written?

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Correct Answer

A. \({x\in Z:x\equiv 6 \pmod{7}}\)

Step 1

Concept

(-15=-21+6), इसलिए इसका शेष (6) माना जाएगा। / (-15=-21+6), so its remainder is taken as (6).

Step 2

Why this answer is correct

इसी शेष वाले सभी पूर्णांक (-15) से सम्बन्धित होंगे। / All integers with the same remainder are related to (-15).

Step 3

Exam Tip

ऋणात्मक संख्या में भी मानक शेष (0) से (6) के बीच लिखना सही तरीका है। / For negative numbers also, write the standard remainder between (0) and (6).

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Question 3/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a-b\in Z\)। \(\frac{3}{4}\) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On real numbers, (aRb) if and only if \(a-b\in Z\). Which is the equivalence class of \(\frac{3}{4}\)?

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Correct Answer

A. \({\frac{3}{4}+n:n\in Z}\)

Step 1

Concept

(x) तभी \(\frac{3}{4}\) से सम्बन्धित होगा जब \(x-\frac{3}{4}\) पूर्णांक हो। / A number (x) is related to \(\frac{3}{4}\) only when \(x-\frac{3}{4}\) is an integer.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए \(x=\frac{3}{4}+n\), जहाँ \(n\in Z\)। / Thus \(x=\frac{3}{4}+n\), where \(n\in Z\).

Step 3

Exam Tip

ऐसे वर्ग में समान भिन्नांश भाग वाली संख्याएँ आती हैं, पूरा अंतराल नहीं। / This class contains numbers with the same fractional part, not a full interval.

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Question 4/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a^2\equiv b^2 \pmod{7}\)। (3) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), (aRb) if and only if \(a^2\equiv b^2 \pmod{7}\). Which is the equivalence class of (3)?

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Correct Answer

A. ({3,4})

Step 1

Concept

\(3^2=9\), जिसका (7) से शेष (2) है। / \(3^2=9\), which leaves remainder (2) modulo (7).

Step 2

Why this answer is correct

\(4^2=16\) का भी (7) से शेष (2) है। / \(4^2=16\) also leaves remainder (2) modulo (7).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (3) और (4) एक ही तुल्यता वर्ग में हैं; वर्ग ({3,4}) होगा। / Therefore (3) and (4) are in the same equivalence class, so the class is ({3,4}).

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Question 5/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\lfloor 2a\rfloor=\lfloor 2b\rfloor\)। \(\frac{5}{4}\) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On all real numbers, (aRb) if and only if \(\lfloor 2a\rfloor=\lfloor 2b\rfloor\). Which is the equivalence class of \(\frac{5}{4}\)?

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Correct Answer

A. \([\frac{5}{4},\frac{3}{2}\))

Step 1

Concept

\(2\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{2}\), इसलिए पूर्णांक भाग (2) है। / \(2\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{2}\), so the floor value is (2).

Step 2

Why this answer is correct

\(\lfloor 2x\rfloor=2\) के लिए \(2\le 2x<3\) होगा। / \(\lfloor 2x\rfloor=2\) means \(2\le 2x<3\).

Step 3

Exam Tip

इससे \(\frac{5}{4}\le x<\frac{3}{2}\) नहीं, बल्कि \(1\le x<\frac{3}{2}\) मिलता है; इसलिए सही वर्ग \([1,\frac{3}{2}\)) है। / Hence \(1\le x<\frac{3}{2}\), so the correct class is \([1,\frac{3}{2}\)).

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Question 6/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\lfloor 2a\rfloor=\lfloor 2b\rfloor\)। \(\frac{5}{4}\) का सही तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On real numbers, (aRb) if and only if \(\lfloor 2a\rfloor=\lfloor 2b\rfloor\). Which is the correct equivalence class of \(\frac{5}{4}\)?

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Correct Answer

A. \([1,\frac{3}{2}\))

Step 1

Concept

\(\lfloor 2\cdot\frac{5}{4}\rfloor=\lfloor \frac{5}{2}\rfloor=2\)। / \(\lfloor 2\cdot\frac{5}{4}\rfloor=\lfloor \frac{5}{2}\rfloor=2\).

Step 2

Why this answer is correct

\(\lfloor 2x\rfloor=2\) का अर्थ \(2\le 2x<3\) है। / \(\lfloor 2x\rfloor=2\) means \(2\le 2x<3\).

Step 3

Exam Tip

दोनों तरफ (2) से भाग देने पर \(1\le x<\frac{3}{2}\), इसलिए वर्ग \([1,\frac{3}{2}\)) है। / Dividing by (2) gives \(1\le x<\frac{3}{2}\), so the class is \([1,\frac{3}{2}\)).

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Question 7/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (\operatorname{lcm}(a,6)=\operatorname{lcm}(b,6))। (4) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if (\operatorname{lcm}(a,6)=\operatorname{lcm}(b,6)). Which is the equivalence class of (4)?

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Correct Answer

A. ({4})

Step 1

Concept

(\operatorname{lcm}(4,6)=12)। / (\operatorname{lcm}(4,6)=12).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए समुच्चय में केवल (4) का (6) के साथ लघुत्तम समापवर्त्य (12) है। / In the given set, only (4) has least common multiple (12) with (6).

Step 3

Exam Tip

समान मान वाले अवयव ही एक वर्ग में आते हैं, इसलिए वर्ग ({4}) है। / Only elements with the same value lie in one class, so the class is ({4}).

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Question 8/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी \(3\times 3\) वास्तविक आव्यूहों पर (A RB) तब और केवल तब जब (\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B))। इस सम्बन्ध से कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?

On all \(3\times 3\) real matrices, (A RB) if and only if (\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)). How many equivalence classes are formed?

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Correct Answer

A. (4)

Step 1

Concept

\(3\times 3\) आव्यूह की कोटि (0,1,2,3) हो सकती है। / The rank of a \(3\times 3\) matrix can be (0,1,2,) or (3).

Step 2

Why this answer is correct

समान कोटि वाले आव्यूह एक ही तुल्यता वर्ग में आएँगे। / Matrices with the same rank lie in the same equivalence class.

Step 3

Exam Tip

इसलिए कुल (4) तुल्यता वर्ग बनेंगे। / Therefore there are (4) equivalence classes.

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Question 9/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a^4=b^4\)। (2) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On all real numbers, (aRb) if and only if \(a^4=b^4\). Which is the equivalence class of (2)?

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Correct Answer

A. ({-2,2})

Step 1

Concept

\(2^4=16\) है। / \(2^4=16\).

Step 2

Why this answer is correct

वास्तविक संख्याओं में \(x^4=16\) के हल (x=2) और (x=-2) हैं। / Over real numbers, \(x^4=16\) gives (x=2) and (x=-2).

Step 3

Exam Tip

सम घात में चिन्ह बदलने पर मान समान रह सकता है, इसलिए दोनों अवयव वर्ग में होंगे। / With an even power, the sign can change while the value remains the same, so both elements are included.

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Question 10/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी जटिल संख्याओं पर \(z_1Rz_2\) तब और केवल तब जब (\operatorname{Re}\(z_1\)=\operatorname{Re}\(z_2\))। (2+3i) का तुल्यता वर्ग क्या दर्शाता है?

On all complex numbers, \(z_1Rz_2\) if and only if (\operatorname{Re}\(z_1\)=\operatorname{Re}\(z_2\)). What does the equivalence class of (2+3i) represent?

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Correct Answer

A. \({2+yi:y\in R}\)

Step 1

Concept

(2+3i) का वास्तविक भाग (2) है। / The real part of (2+3i) is (2).

Step 2

Why this answer is correct

इससे सम्बन्धित सभी जटिल संख्याओं का वास्तविक भाग (2) होना चाहिए। / All complex numbers related to it must have real part (2).

Step 3

Exam Tip

काल्पनिक भाग कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है, इसलिए वर्ग \({2+yi:y\in R}\) है। / The imaginary part can be any real number, so the class is \({2+yi:y\in R}\).

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Question 11/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\lceil \frac{a}{2}\rceil=\lceil \frac{b}{2}\rceil\)। (5) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) if and only if \(\lceil \frac{a}{2}\rceil=\lceil \frac{b}{2}\rceil\). Which is the equivalence class of (5)?

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Correct Answer

A. ({5,6})

Step 1

Concept

\(\lceil \frac{5}{2}\rceil=3\)। / \(\lceil \frac{5}{2}\rceil=3\).

Step 2

Why this answer is correct

\(\lceil \frac{6}{2}\rceil=3\), इसलिए (6) भी उसी वर्ग में है। / \(\lceil \frac{6}{2}\rceil=3\), so (6) is in the same class.

Step 3

Exam Tip

छत फलन वाले प्रश्नों में अगला पूरा मान कब आता है, यह ध्यान से देखें। / In ceiling function questions, carefully check where the next integer value begins.

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Question 12/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a-b\in Q\)। निम्न में से कौन-सा युग्म सम्बन्ध में नहीं है?

On all real numbers, (aRb) if and only if \(a-b\in Q\). Which of the following pairs is not in the relation?

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Correct Answer

A. (\(\sqrt{2},\sqrt{3}\))

Step 1

Concept

सम्बन्ध के लिए दोनों संख्याओं का अंतर परिमेय होना चाहिए। / For the relation, the difference of the two numbers must be rational.

Step 2

Why this answer is correct

\(\sqrt{2}-\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है, इसलिए यह युग्म सम्बन्ध में नहीं है। / \(\sqrt{2}-\sqrt{3}\) is not rational, so this pair is not in the relation.

Step 3

Exam Tip

बाकी विकल्पों में अंतर परिमेय है, इसलिए वे सम्बन्ध में आते हैं। / In the other options, the difference is rational, so they are in the relation.

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Question 13/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी बहुपदों के समुच्चय पर (pRq) तब और केवल तब जब (p(1)=q(1))। (p(x)=x^-2+x) का तुल्यता वर्ग किस शर्त से बनेगा?

On the set of all polynomials, (pRq) if and only if (p(1)=q(1)). By which condition is the equivalence class of (p(x)=x^-2+x) formed?

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Correct Answer

A. ({q:q(1)=2})

Step 1

Concept

दिए गए बहुपद के लिए (p(1)=1²+1=2)। / For the given polynomial, (p(1)=1²+1=2).

Step 2

Why this answer is correct

सम्बन्ध (1) पर समान मान देखने वाला है। / The relation checks equality of value at (1).

Step 3

Exam Tip

इसलिए वही सभी बहुपद वर्ग में आएँगे जिनका (1) पर मान (2) है। / Hence all polynomials whose value at (1) is (2) lie in this class.

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Question 14/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर \(R={(a,b):a\) और (b) का (3) से भाग देने पर शेष समान हो(}) है। (R) में कुल कितने क्रमित युग्म हैं?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), \(R={(a,b):a\) and (b) leave the same remainder on division by (3)(}). How many ordered pairs are in (R)?

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Correct Answer

A. (12)

Step 1

Concept

तीन तुल्यता वर्ग बनते हैं: ({1,4}), ({2,5}), और ({3,6})। / Three equivalence classes are formed: ({1,4}), ({2,5}), and ({3,6}).

Step 2

Why this answer is correct

हर वर्ग में (2) अवयव हैं, इसलिए हर वर्ग से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / Each class has (2) elements, so each contributes \(2^2=4\) pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल (4+4+4=12) क्रमित युग्म होंगे। / Total ordered pairs are (4+4+4=12).

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Question 15/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

किसी (8) अवयवों वाले समुच्चय पर एक तुल्यता सम्बन्ध के वर्गों के आकार (2,2,4) हैं। सम्बन्ध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

On a set with (8) elements, an equivalence relation has class sizes (2,2,4). How many ordered pairs are in the relation?

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Correct Answer

A. (24)

Step 1

Concept

आकार (n) वाले हर वर्ग से \(n^2\) क्रमित युग्म मिलते हैं। / Each class of size (n) contributes \(n^2\) ordered pairs.

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ कुल संख्या \(2^2+2^2+4^2=4+4+16\) है। / Here the total is \(2^2+2^2+4^2=4+4+16\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए सम्बन्ध में (24) क्रमित युग्म होंगे। / Therefore the relation contains (24) ordered pairs.

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Question 16/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{a,b,c,d\}\) पर विभाजन ({{a,c,d},{b}}) दिया है। इससे बने तुल्यता सम्बन्ध में कौन-सा युग्म नहीं होगा?

A partition ({{a,c,d},{b}}) is given on \(A=\{a,b,c,d\}\). Which pair will not belong to the equivalence relation formed from it?

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Correct Answer

A. ((a,b))

Step 1

Concept

एक ही भाग के अवयव आपस में सम्बन्धित होते हैं। / Elements in the same block are related to each other.

Step 2

Why this answer is correct

(a) और (b) अलग-अलग भागों में हैं, इसलिए ((a,b)) सम्बन्ध में नहीं होगा। / (a) and (b) are in different blocks, so ((a,b)) is not in the relation.

Step 3

Exam Tip

वर्ग के भीतर दिशा बदलने पर भी युग्म शामिल रहता है, इसलिए बाकी युग्म सही हैं। / Within a class, ordered pairs in both directions are included, so the other pairs are valid.

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Question 17/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\frac{\ln a}{\ln b}\) परिभाषित हो और परिमेय हो। यह सम्बन्ध क्यों तुल्यता सम्बन्ध नहीं है?

On positive real numbers, (aRb) if and only if \(\frac{\ln a}{\ln b}\) is defined and rational. Why is this not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. क्योंकि (1R1) परिभाषित नहीं हैBecause (1R1) is not defined

Step 1

Concept

(1) के लिए \(\ln 1=0\) है। / For (1), \(\ln 1=0\).

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{\ln 1}{\ln 1}=\frac{0}{0}\) परिभाषित नहीं है। / \(\frac{\ln 1}{\ln 1}=\frac{0}{0}\) is undefined.

Step 3

Exam Tip

स्वतुल्यता टूटने पर सम्बन्ध तुल्यता सम्बन्ध नहीं हो सकता। / When reflexivity fails, the relation cannot be an equivalence relation.

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Question 18/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a^2+b^2=0\)। क्या यह तुल्यता सम्बन्ध है?

On all real numbers, (aRb) if and only if \(a^2+b^2=0\). Is this an equivalence relation?

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Correct Answer

A. नहीं, यह स्वतुल्य नहीं हैNo, it is not reflexive

Step 1

Concept

वास्तविक संख्याओं में \(a^2+b^2=0\) तभी होता है जब (a=0) और (b=0)। / For real numbers, \(a^2+b^2=0\) only when (a=0) and (b=0).

Step 2

Why this answer is correct

(1R1) के लिए \(1^2+1^2=2\), इसलिए (1R1) नहीं है। / For (1R1), \(1^2+1^2=2\), so (1R1) is false.

Step 3

Exam Tip

सभी अवयव स्वयं से सम्बन्धित नहीं हैं, अतः यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं है। / Not every element is related to itself, so it is not an equivalence relation.

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Question 19/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a+b) अभाज्य हो। यह तुल्यता सम्बन्ध क्यों नहीं है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if (a+b) is prime. Why is this not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. क्योंकि यह स्वतुल्य नहीं हैBecause it is not reflexive

Step 1

Concept

स्वतुल्यता के लिए हर (a) पर (a+a) अभाज्य होना चाहिए। / Reflexivity would require (a+a) to be prime for every (a).

Step 2

Why this answer is correct

(a=2) लेने पर (2+2=4), जो अभाज्य नहीं है। / For (a=2), (2+2=4), which is not prime.

Step 3

Exam Tip

इसलिए सम्बन्ध सभी अवयवों पर स्वतुल्य नहीं है और तुल्यता सम्बन्ध नहीं बनता। / Therefore the relation is not reflexive on all elements and cannot be equivalence.

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Question 20/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (|a-b|) (3) से विभाज्य हो। इस सम्बन्ध के तुल्यता वर्ग कौन-से हैं?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if (|a-b|) is divisible by (3). What are the equivalence classes of this relation?

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Correct Answer

A. ({1,4},{2,5},{3})

Step 1

Concept

(|a-b|) का (3) से विभाज्य होना समान शेष की बात है। / (|a-b|) being divisible by (3) means the numbers have the same remainder modulo (3).

Step 2

Why this answer is correct

शेष (1) वाला वर्ग ({1,4}), शेष (2) वाला ({2,5}), और शेष (0) वाला ({3}) है। / Remainder (1) gives ({1,4}), remainder (2) gives ({2,5}), and remainder (0) gives ({3}).

Step 3

Exam Tip

समान शेष वाले अवयव एक ही तुल्यता वर्ग बनाते हैं। / Elements with the same remainder form one equivalence class.

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Question 21/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड समान हो। (18) का तुल्यता वर्ग किस प्रकार की संख्याओं से बनेगा?

On natural numbers, (aRb) if and only if (a) and (b) have the same greatest prime factor. What kind of numbers form the equivalence class of (18)?

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Correct Answer

A. वे संख्याएँ जिनका सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड (3) हैNumbers whose greatest prime factor is (3)

Step 1

Concept

\(18=2\cdot 3^2\), इसलिए इसका सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड (3) है। / \(18=2\cdot 3^2\), so its greatest prime factor is (3).

Step 2

Why this answer is correct

सम्बन्ध केवल सबसे बड़े अभाज्य गुणनखंड को देखता है। / The relation checks only the greatest prime factor.

Step 3

Exam Tip

इसलिए वर्ग उन सभी प्राकृतिक संख्याओं का होगा जिनका सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड (3) है। / Therefore the class contains all natural numbers whose greatest prime factor is (3).

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Question 22/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी क्रमित युग्मों \(R^2\) पर ((a,b)S(c,d)) तब और केवल तब जब (a-b=c-d)। ((4,1)) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On all ordered pairs in \(R^2\), ((a,b)S(c,d)) if and only if (a-b=c-d). Which is the equivalence class of ((4,1))?

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Correct Answer

A. ({(x,y):x-y=3})

Step 1

Concept

((4,1)) के लिए (4-1=3)। / For ((4,1)), (4-1=3).

Step 2

Why this answer is correct

उससे सम्बन्धित हर युग्म में पहला घटक घटा दूसरा घटक (3) होना चाहिए। / Every pair related to it must have first component minus second component equal to (3).

Step 3

Exam Tip

इसलिए तुल्यता वर्ग ({(x,y):x-y=3}) है। / Hence the equivalence class is ({(x,y):x-y=3}).

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Question 23/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी बिंदुओं \(R^2\) पर (P R Q) तब और केवल तब जब दोनों बिंदुओं की (x)-निर्देशांक समान हो। बिंदु ((3,-2)) का तुल्यता वर्ग क्या है?

On all points in \(R^2\), (P R Q) if and only if the two points have the same (x)-coordinate. What is the equivalence class of ((3,-2))?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \({(3,y):y\in R}\)

Step 1

Concept

((3,-2)) का (x)-निर्देशांक (3) है। / The (x)-coordinate of ((3,-2)) is (3).

Step 2

Why this answer is correct

उसी वर्ग के सभी बिंदुओं का (x)-निर्देशांक (3) होगा। / All points in the same class must have (x)-coordinate (3).

Step 3

Exam Tip

(y)-निर्देशांक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है, इसलिए वर्ग ऊर्ध्वाधर रेखा है। / The (y)-coordinate can be any real number, so the class is a vertical line.

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Question 24/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी बिंदुओं \(R^2\) पर (P R Q) तब और केवल तब जब दोनों बिंदु मूल बिंदु से समान दूरी पर हों। ((6,8)) का तुल्यता वर्ग क्या दर्शाता है?

On all points in \(R^2\), (P R Q) if and only if the two points are at the same distance from the origin. What does the equivalence class of ((6,8)) represent?

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Correct Answer

A. मूल बिंदु से दूरी (10) वाला वृत्तCircle at distance (10) from the origin

Step 1

Concept

((6,8)) की मूल बिंदु से दूरी \(\sqrt{6^2+8^2}=10\) है। / The distance of ((6,8)) from the origin is \(\sqrt{6^2+8^2}=10\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे सम्बन्धित सभी बिंदुओं की दूरी भी (10) होगी। / All points related to it must also have distance (10).

Step 3

Exam Tip

समान दूरी वाले सभी बिंदु मूल बिंदु केंद्र वाला वृत्त बनाते हैं। / All points at the same distance from the origin form a circle centered at the origin.

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Question 25/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है। इसे तुल्यता सम्बन्ध बनाने के लिए न्यूनतम कौन-से युग्म जोड़ने होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\). Which minimum pairs must be added to make it an equivalence relation?

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Correct Answer

A. ((1,3)) और ((3,1))((1,3)) and ((3,1))

Step 1

Concept

(1) का (2) से और (2) का (3) से सम्बन्ध है। / (1) is related to (2), and (2) is related to (3).

Step 2

Why this answer is correct

संक्रामकता के लिए (1) और (3) का सम्बन्ध जरूरी है। / Transitivity requires (1) to be related to (3).

Step 3

Exam Tip

सममिति बनाए रखने के लिए दोनों दिशाओं के युग्म ((1,3)) और ((3,1)) जोड़ने होंगे। / To preserve symmetry, both ((1,3)) and ((3,1)) must be added.

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Question 26/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि (R) किसी समुच्चय (A) पर तुल्यता सम्बन्ध है और \([a]\subseteq[b]\), तो क्या निष्कर्ष निश्चित है?

If (R) is an equivalence relation on a set (A) and \([a]\subseteq[b]\), what conclusion is definite?

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Correct Answer

A. ([a]=[b])

Step 1

Concept

(a) हमेशा अपने वर्ग ([a]) में होता है। / (a) always belongs to its own class ([a]).

Step 2

Why this answer is correct

\([a]\subseteq[b]\) होने से \(a\in[b]\), इसलिए (a) और (b) सम्बन्धित हैं। / Since \([a]\subseteq[b]\), we get \(a\in[b]\), so (a) and (b) are related.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता सम्बन्ध में सम्बन्धित अवयवों के वर्ग समान होते हैं, अतः ([a]=[b])। / In an equivalence relation, related elements have equal classes, hence ([a]=[b]).

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Question 27/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि (R) तुल्यता सम्बन्ध है और \(a\not R b\), तो ([a]) और ([b]) के बारे में कौन-सा कथन सही है?

If (R) is an equivalence relation and \(a\not R b\), which statement about ([a]) and ([b]) is correct?

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Correct Answer

A. \([a]\cap[b]=\varnothing\)

Step 1

Concept

तुल्यता सम्बन्ध में दो वर्ग या तो समान होते हैं या असंयुक्त होते हैं। / In an equivalence relation, two classes are either equal or disjoint.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a) और (b) सम्बन्धित नहीं हैं, तो उनके वर्ग समान नहीं हो सकते। / If (a) and (b) are not related, their classes cannot be equal.

Step 3

Exam Tip

इसलिए उनके वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होगा। / Therefore the intersection of their classes is empty.

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Question 28/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि किसी समुच्चय (A) पर तुल्यता सम्बन्ध का भागफल समुच्चय (A/R={{1,4},{2,3,5}}) है, तो (R) में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

If the quotient set of an equivalence relation on (A) is (A/R={{1,4},{2,3,5}}), how many ordered pairs are in (R)?

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Correct Answer

A. (13)

Step 1

Concept

पहले वर्ग ({1,4}) से \(2^2=4\) युग्म बनेंगे। / The first class ({1,4}) contributes \(2^2=4\) pairs.

Step 2

Why this answer is correct

दूसरे वर्ग ({2,3,5}) से \(3^2=9\) युग्म बनेंगे। / The second class ({2,3,5}) contributes \(3^2=9\) pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल (4+9=13) क्रमित युग्म होंगे। / Total ordered pairs are (4+9=13).

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Question 29/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

किसी (5) अवयवों वाले समुच्चय पर ठीक (2) तुल्यता वर्ग चाहिए। वर्गों के आकार किस विकल्प में संभव हैं?

On a set with (5) elements, exactly (2) equivalence classes are required. Which option gives possible class sizes?

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Correct Answer

A. (2) और (3)(2) and (3)

Step 1

Concept

तुल्यता वर्ग समुच्चय को बिना छोड़े और बिना दोहराए बाँटते हैं। / Equivalence classes partition the set without leaving out or repeating elements.

Step 2

Why this answer is correct

दो वर्गों के आकारों का योग (5) होना चाहिए। / The sizes of two classes must add up to (5).

Step 3

Exam Tip

दिए गए विकल्पों में (2+3=5) ही सही है। / Among the options, only (2+3=5) is correct.

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Question 30/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) के अंकों का गुणनफल समान हो। (23) के तुल्यता वर्ग में कौन-सी संख्या आएगी?

On natural numbers, (aRb) if and only if (a) and (b) have the same product of digits. Which number belongs to the equivalence class of (23)?

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Correct Answer

A. (16)

Step 1

Concept

(23) के अंकों का गुणनफल \(2\cdot 3=6\) है। / The product of digits of (23) is \(2\cdot 3=6\).

Step 2

Why this answer is correct

(16) के अंकों का गुणनफल \(1\cdot 6=6\) है। / The product of digits of (16) is \(1\cdot 6=6\).

Step 3

Exam Tip

समान अंकीय गुणनफल होने से (16) उसी तुल्यता वर्ग में होगा। / Since the digit product is the same, (16) lies in the same equivalence class.

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Question 31/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब (a-b) अपरिमेय हो। यह तुल्यता सम्बन्ध क्यों नहीं है?

On all real numbers, (aRb) if and only if (a-b) is irrational. Why is this not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. क्योंकि यह स्वतुल्य नहीं हैBecause it is not reflexive

Step 1

Concept

स्वतुल्यता के लिए (aRa) हर (a) पर चाहिए। / Reflexivity requires (aRa) for every (a).

Step 2

Why this answer is correct

(a-a=0), और (0) परिमेय है, अपरिमेय नहीं। / (a-a=0), and (0) is rational, not irrational.

Step 3

Exam Tip

इसलिए कोई भी अवयव स्वयं से सम्बन्धित नहीं है और यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं है। / Hence no element is related to itself, so this is not an equivalence relation.

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Question 32/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a-b\ge 0\)। यह तुल्यता सम्बन्ध क्यों नहीं है?

On all real numbers, (aRb) if and only if \(a-b\ge 0\). Why is this not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. क्योंकि यह सममित नहीं हैBecause it is not symmetric

Step 1

Concept

\(a-b\ge 0\) का अर्थ \(a\ge b\) है। / \(a-b\ge 0\) means \(a\ge b\).

Step 2

Why this answer is correct

(2R1) सही है, लेकिन (1R2) सही नहीं है। / (2R1) is true, but (1R2) is false.

Step 3

Exam Tip

सममिति टूटने से यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं हो सकता। / Since symmetry fails, it cannot be an equivalence relation.

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Question 33/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब (|a|<|b|)। यह सम्बन्ध तुल्यता सम्बन्ध क्यों नहीं है?

On all real numbers, (aRb) if and only if (|a|<|b|). Why is this not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. क्योंकि यह स्वतुल्य नहीं हैBecause it is not reflexive

Step 1

Concept

स्वतुल्यता के लिए (|a|<|a|) हर (a) के लिए चाहिए। / Reflexivity would require (|a|<|a|) for every (a).

Step 2

Why this answer is correct

कोई भी संख्या अपने परम मान से छोटी नहीं होती। / No number's absolute value is less than itself.

Step 3

Exam Tip

इसलिए (aRa) कभी सही नहीं होगा और सम्बन्ध तुल्यता नहीं है। / Hence (aRa) is never true, so the relation is not equivalence.

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Question 34/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी त्रिभुजों पर \(T_1RT_2\) तब और केवल तब जब दोनों त्रिभुजों का परिमाप समान हो। यह सम्बन्ध कैसा है?

On all triangles, \(T_1RT_2\) if and only if the two triangles have the same perimeter. What type of relation is this?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. तुल्यता सम्बन्धEquivalence relation

Step 1

Concept

हर त्रिभुज का परिमाप स्वयं के परिमाप के बराबर होता है। / Every triangle has the same perimeter as itself.

Step 2

Why this answer is correct

समान परिमाप की बात दोनों दिशाओं में समान रहती है। / Equality of perimeter works in both directions.

Step 3

Exam Tip

यदि पहले और दूसरे का परिमाप बराबर है तथा दूसरे और तीसरे का भी बराबर है, तो पहले और तीसरे का परिमाप बराबर होगा। / If the first and second perimeters are equal and the second and third are equal, then the first and third are equal too.

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Question 35/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी वृत्तों के समुच्चय पर \(C_1RC_2\) तब और केवल तब जब दोनों वृत्तों के केंद्र समान हों। यह सम्बन्ध के तुल्यता वर्ग क्या होंगे?

On the set of all circles, \(C_1RC_2\) if and only if the two circles have the same centre. What are the equivalence classes of this relation?

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Correct Answer

A. एक नियत केंद्र वाले सभी वृत्तों के समूहGroups of all circles with one fixed centre

Step 1

Concept

हर वृत्त का केंद्र स्वयं के केंद्र जैसा होता है। / Every circle has the same centre as itself.

Step 2

Why this answer is correct

समान केंद्र की बात सममित और संक्रामक भी है। / Having the same centre is symmetric and transitive.

Step 3

Exam Tip

इसलिए हर वर्ग में किसी एक नियत केंद्र वाले सभी वृत्त आएँगे, त्रिज्या अलग हो सकती है। / Hence each class contains all circles with one fixed centre, while radii may differ.

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Question 36/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी रेखाओं पर (lRm) तब और केवल तब जब (l) और (m) प्रतिच्छेद करती हों। यह तुल्यता सम्बन्ध क्यों नहीं है?

On all lines, (lRm) if and only if (l) and (m) intersect. Why is this not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. क्योंकि यह संक्रामक नहीं हैBecause it is not transitive

Step 1

Concept

यदि दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो उलटी दिशा में भी यही बात सही है। / If two lines intersect, the statement is also true in the reverse direction.

Step 2

Why this answer is correct

लेकिन (l) और (m) प्रतिच्छेद करें तथा (m) और (n) प्रतिच्छेद करें, तो जरूरी नहीं कि (l) और (n) भी प्रतिच्छेद करें। / But if (l) intersects (m) and (m) intersects (n), it is not necessary that (l) intersects (n).

Step 3

Exam Tip

संक्रामकता टूटने पर तुल्यता सम्बन्ध नहीं बनता। / Failure of transitivity prevents it from being an equivalence relation.

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Question 37/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी व्यक्तियों के समुच्चय पर (xRy) तब और केवल तब जब (x) और (y) की ऊँचाई समान हो। यह सम्बन्ध किस प्रकार का है?

On the set of all persons, (xRy) if and only if (x) and (y) have the same height. What type of relation is this?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. तुल्यता सम्बन्धEquivalence relation

Step 1

Concept

किसी व्यक्ति की ऊँचाई स्वयं की ऊँचाई के बराबर होती है। / A person's height is equal to his or her own height.

Step 2

Why this answer is correct

यदि पहले की ऊँचाई दूसरे के बराबर है, तो दूसरे की भी पहले के बराबर है। / If the first person's height equals the second's, the reverse is also true.

Step 3

Exam Tip

समान ऊँचाई की समानता तीसरे व्यक्ति तक भी चलती है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध है। / Equality of height also transfers through a third person, so this is an equivalence relation.

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Question 38/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी विद्यार्थियों पर (xRy) तब और केवल तब जब (x) और (y) एक ही कक्षा में पढ़ते हों। इस सम्बन्ध के तुल्यता वर्ग क्या होंगे?

On all students, (xRy) if and only if (x) and (y) study in the same class. What will be the equivalence classes of this relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. प्रत्येक कक्षा के विद्यार्थियों के समूहGroups of students of each class

Step 1

Concept

हर विद्यार्थी अपनी कक्षा में स्वयं के साथ है। / Every student is in the same class as himself or herself.

Step 2

Why this answer is correct

एक ही कक्षा में होना दोनों दिशाओं में और तीसरे विद्यार्थी के साथ भी सही रहता है। / Being in the same class works both ways and also through a third student.

Step 3

Exam Tip

इसलिए तुल्यता वर्ग वास्तविक कक्षाओं के विद्यार्थी समूह होंगे। / Therefore the equivalence classes are the groups of students in each actual class.

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Question 39/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) दोनों (3) के गुणज हों या दोनों (3) के गुणज न हों। इस सम्बन्ध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\), (aRb) if and only if (a) and (b) are both multiples of (3) or both not multiples of (3). How many ordered pairs are in this relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (45)

Step 1

Concept

(3) के गुणज ({3,6,9}) हैं, जिनकी संख्या (3) है। / The multiples of (3) are ({3,6,9}), so their count is (3).

Step 2

Why this answer is correct

बाकी ({1,2,4,5,7,8}) हैं, जिनकी संख्या (6) है। / The remaining elements ({1,2,4,5,7,8}) have count (6).

Step 3

Exam Tip

कुल युग्म \(3^2+6^2=9+36=45\) होंगे। / Total pairs are \(3^2+6^2=9+36=45\).

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Question 40/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (\min(a,b)) विषम हो। क्या यह तुल्यता सम्बन्ध है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if (\min(a,b)) is odd. Is this an equivalence relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. नहीं, यह स्वतुल्य नहीं हैNo, it is not reflexive

Step 1

Concept

स्वतुल्यता के लिए (\min(a,a)=a) हर (a) पर विषम होना चाहिए। / Reflexivity would require (\min(a,a)=a) to be odd for every (a).

Step 2

Why this answer is correct

(a=2) लेने पर (\min(2,2)=2), जो विषम नहीं है। / For (a=2), (\min(2,2)=2), which is not odd.

Step 3

Exam Tip

इसलिए सभी अवयव स्वयं से सम्बन्धित नहीं हैं और सम्बन्ध तुल्यता नहीं है। / Hence not all elements are related to themselves, so it is not an equivalence relation.

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Question 41/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a^2-a=b^2-b\)। (3) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On all real numbers, (aRb) if and only if \(a^2-a=b^2-b\). Which is the equivalence class of (3)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({-2,3})

Step 1

Concept

\(3^2-3=6\)। / \(3^2-3=6\).

Step 2

Why this answer is correct

\(x^2-x=6\) से \(x^2-x-6=0\), अर्थात ((x-3)(x+2)=0)। / \(x^2-x=6\) gives \(x^2-x-6=0\), that is ((x-3)(x+2)=0).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (x=3) या (x=-2), और वर्ग ({-2,3}) है। / Hence (x=3) or (x=-2), so the class is ({-2,3}).

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Question 42/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a^2+2a=b^2+2b\)। (-1) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On all real numbers, (aRb) if and only if \(a^2+2a=b^2+2b\). Which is the equivalence class of (-1)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({-1})

Step 1

Concept

((-1)²+2(-1)=1-2=-1)। / ((-1)²+2(-1)=1-2=-1).

Step 2

Why this answer is correct

\(x^2+2x=-1\) से \(x^2+2x+1=0\), यानी ((x+1)²=0)। / \(x^2+2x=-1\) gives \(x^2+2x+1=0\), or ((x+1)²=0).

Step 3

Exam Tip

केवल (x=-1) मिलता है, इसलिए तुल्यता वर्ग एकल है। / Only (x=-1) is obtained, so the equivalence class is singleton.

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Question 43/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\sin^2 a=\sin^2 b\)। (0) के तुल्यता वर्ग में निम्न में से कौन-सी संख्या होगी?

On all real numbers, (aRb) if and only if \(\sin^2 a=\sin^2 b\). Which of the following numbers belongs to the equivalence class of (0)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\pi\)

Step 1

Concept

\(\sin^2 0=0\)। / \(\sin^2 0=0\).

Step 2

Why this answer is correct

\(\sin^2 \pi=0\), इसलिए \(\pi\) भी (0) के समान वर्ग में है। / \(\sin^2 \pi=0\), so \(\pi\) is in the same class as (0).

Step 3

Exam Tip

वर्ग में वे कोण आएँगे जिनकी ज्या का वर्ग (0) है। / The class contains angles whose squared sine value is (0).

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Question 44/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\cos^2 a=\cos^2 b\)। \(\frac{\pi}{3}\) के तुल्यता वर्ग में निम्न में से कौन-सी संख्या अवश्य होगी?

On all real numbers, (aRb) if and only if \(\cos^2 a=\cos^2 b\). Which of the following must be in the equivalence class of \(\frac{\pi}{3}\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\frac{2\pi}{3}\)

Step 1

Concept

\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\), इसलिए वर्ग मान \(\frac{1}{4}\) है। / \(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\), so the squared value is \(\frac{1}{4}\).

Step 2

Why this answer is correct

\(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\), इसका वर्ग भी \(\frac{1}{4}\) है। / \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\), whose square is also \(\frac{1}{4}\).

Step 3

Exam Tip

वर्ग लेने पर धनात्मक और ऋणात्मक मान समान हो सकते हैं। / After squaring, positive and negative values may become equal.

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Question 45/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\frac{a}{b}\) (2) की पूर्णांक घात हो। (3) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On all positive real numbers, (aRb) if and only if \(\frac{a}{b}\) is an integral power of (2). Which is the equivalence class of (3)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \({3\cdot 2^n:n\in Z}\)

Step 1

Concept

(x) तभी (3) से सम्बन्धित होगा जब \(\frac{x}{3}=2^n\), जहाँ \(n\in Z\)। / A number (x) is related to (3) when \(\frac{x}{3}=2^n\), where \(n\in Z\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे \(x=3\cdot 2^n\) मिलेगा। / This gives \(x=3\cdot 2^n\).

Step 3

Exam Tip

अनुपात पर आधारित सम्बन्धों में गुणात्मक रूप से वर्ग लिखना चाहिए। / For ratio-based relations, write the class in multiplicative form.

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Question 46/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी धनात्मक पूर्णांकों पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) में (2) की घात समान हो, अर्थात \(a=2^k m\) और \(b=2^k n\), जहाँ (m,n) विषम हैं। (12) का तुल्यता वर्ग किससे बनेगा?

On positive integers, (aRb) if and only if (a) and (b) have the same power of (2), that is, \(a=2^k m\) and \(b=2^k n\), where (m,n) are odd. What forms the equivalence class of (12)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. वे संख्याएँ जिनमें (2) की ठीक (2) घात होNumbers having exactly power (2) of (2)

Step 1

Concept

\(12=2^2\cdot 3\), इसलिए इसमें (2) की ठीक (2) घात है। / \(12=2^2\cdot 3\), so it has exactly power (2) of (2).

Step 2

Why this answer is correct

सम्बन्ध केवल (2) की इस घात को देखता है। / The relation checks only this power of (2).

Step 3

Exam Tip

अतः वर्ग में वे संख्याएँ आएँगी जिन्हें (4) से भाग दिया जा सके, पर (8) से नहीं। / Hence the class contains numbers divisible by (4) but not by (8).

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Question 47/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि (R) और (S) समुच्चय (A) पर तुल्यता सम्बन्ध हैं, तो \(R\cap S\) के तुल्यता वर्ग किस प्रकार समझे जा सकते हैं?

If (R) and (S) are equivalence relations on a set (A), how can the equivalence classes of \(R\cap S\) be understood?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. दोनों विभाजनों के साझा सूक्ष्म भागों के रूप मेंAs common refined blocks of both partitions

Step 1

Concept

\(R\cap S\) में वही युग्म रहते हैं जो दोनों सम्बन्धों में हैं। / \(R\cap S\) keeps only pairs that are present in both relations.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए दो अवयव तभी साथ रहेंगे जब वे (R) और (S) दोनों में साथ हों। / Thus two elements remain together only when they are together in both (R) and (S).

Step 3

Exam Tip

इस कारण \(R\cap S\) के वर्ग दोनों विभाजनों के और छोटे साझा भाग बनाते हैं। / Therefore its classes are common refined blocks of the two partitions.

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Question 48/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि \(A=\{1,2,3\}\), (R) के वर्ग ({1,2},{3}) हैं और (S) के वर्ग ({1},{2,3}) हैं, तो \(R\cup S\) तुल्यता सम्बन्ध क्यों नहीं है?

If \(A=\{1,2,3\}\), (R) has classes ({1,2},{3}), and (S) has classes ({1},{2,3}), why is \(R\cup S\) not an equivalence relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि संक्रामकता टूटती हैBecause transitivity fails

Step 1

Concept

\(R\cup S\) में ((1,2)) आता है क्योंकि यह (R) में है। / ((1,2)) belongs to \(R\cup S\) because it is in (R).

Step 2

Why this answer is correct

((2,3)) आता है क्योंकि यह (S) में है। / ((2,3)) belongs to \(R\cup S\) because it is in (S).

Step 3

Exam Tip

संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, पर वह न (R) में है न (S) में। / Transitivity would require ((1,3)), but it is in neither (R) nor (S).

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Question 49/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

किसी समुच्चय (A) पर सबसे बड़ा तुल्यता सम्बन्ध कौन-सा होता है?

On a set (A), which is the largest equivalence relation?

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Correct Answer

A. \(A\times A\)

Step 1

Concept

सबसे बड़े सम्बन्ध में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होंगे। / The largest relation contains all possible ordered pairs of (A).

Step 2

Why this answer is correct

\(A\times A\) स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है। / \(A\times A\) is reflexive, symmetric, and transitive.

Step 3

Exam Tip

इसलिए सार्विक सम्बन्ध ही सबसे बड़ा तुल्यता सम्बन्ध है। / Therefore the universal relation is the largest equivalence relation.

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Question 50/50 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

किसी समुच्चय (A) पर सबसे छोटा तुल्यता सम्बन्ध कौन-सा होता है?

On a set (A), which is the smallest equivalence relation?

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Correct Answer

A. \(I_A={(a,a):a\in A}\)

Step 1

Concept

तुल्यता सम्बन्ध में हर अवयव स्वयं से सम्बन्धित होना जरूरी है। / In an equivalence relation, every element must be related to itself.

Step 2

Why this answer is correct

केवल ((a,a)) वाले युग्म लेने पर सममिति और संक्रामकता भी बनी रहती है। / Taking only the pairs ((a,a)) preserves symmetry and transitivity.

Step 3

Exam Tip

इसलिए पहचान सम्बन्ध सबसे छोटा तुल्यता सम्बन्ध है। / Hence the identity relation is the smallest equivalence relation.

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Class 12 Mathematics - Relations and Functions - Equivalence relation Expert Quiz

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) को (6) से भाग देने पर समान शेष मिले। (5) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

पूर्णांकों पर (aRb) तब और केवल तब जब (a-b) (7) से विभाज्य हो। (-15) का तुल्यता वर्ग किस रूप में लिखा जाएगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a-b\in Z\)। \(\frac{3}{4}\) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a^2\equiv b^2 \pmod{7}\)। (3) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\lfloor 2a\rfloor=\lfloor 2b\rfloor\)। \(\frac{5}{4}\) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\lfloor 2a\rfloor=\lfloor 2b\rfloor\)। \(\frac{5}{4}\) का सही तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (\operatorname{lcm}(a,6)=\operatorname{lcm}(b,6))। (4) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

सभी \(3\times 3\) वास्तविक आव्यूहों पर (A RB) तब और केवल तब जब (\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B))। इस सम्बन्ध से कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a^4=b^4\)। (2) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

सभी जटिल संख्याओं पर \(z_1Rz_2\) तब और केवल तब जब (\operatorname{Re}\(z_1\)=\operatorname{Re}\(z_2\))। (2+3i) का तुल्यता वर्ग क्या दर्शाता है?

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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\lceil \frac{a}{2}\rceil=\lceil \frac{b}{2}\rceil\)। (5) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

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सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a-b\in Q\)। निम्न में से कौन-सा युग्म सम्बन्ध में नहीं है?

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सभी बहुपदों के समुच्चय पर (pRq) तब और केवल तब जब (p(1)=q(1))। (p(x)=x-2+x) का तुल्यता वर्ग किस शर्त से बनेगा?

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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर \(R={(a,b):a\) और (b) का (3) से भाग देने पर शेष समान हो(}) है। (R) में कुल कितने क्रमित युग्म हैं?

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समुच्चय \(A=\{a,b,c,d\}\) पर विभाजन ({{a,c,d},{b}}) दिया है। इससे बने तुल्यता सम्बन्ध में कौन-सा युग्म नहीं होगा?

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सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a^2+b^2=0\)। क्या यह तुल्यता सम्बन्ध है?

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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a+b) अभाज्य हो। यह तुल्यता सम्बन्ध क्यों नहीं है?

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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (|a-b|) (3) से विभाज्य हो। इस सम्बन्ध के तुल्यता वर्ग कौन-से हैं?

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सभी बहुपदों के समुच्चय पर (pRq) तब और केवल तब जब (p(1)=q(1))। (p(x)=x^-2+x) का तुल्यता वर्ग किस शर्त से बनेगा?