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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है। इसे तुल्यता सम्बन्ध बनाने के लिए न्यूनतम कौन-से युग्म जोड़ने होंगे?
A. क्योंकि ((3,1)) नहीं है/Because ((3,1)) is missing
Step 1
Concept
((1,3)) सम्बन्ध में है। / ((1,3)) belongs to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
सममिति के लिए ((3,1)) भी होना चाहिए। / For symmetry, ((3,1)) must also belong to it.
Step 3
Exam Tip
((3,1)) न होने से सममिति टूट जाती है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं है। / Since ((3,1)) is missing, symmetry fails and the relation is not an equivalence relation.
((1,1),(2,2),(3,3)) मौजूद हैं, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / ((1,1),(2,2),(3,3)) are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममिति भी पूरी है। / ((1,2)) and ((2,1)) are both present, so symmetry is satisfied.
Step 3
Exam Tip
({1,2}) अलग वर्ग है और ({3}) अलग वर्ग है; संक्रामकता नहीं टूटती, इसलिए कुछ जोड़ने की जरूरत नहीं है। / ({1,2}) is one class and ({3}) is another; transitivity is not broken, so no pair is needed.
A. क्योंकि ((2,3)) नहीं है/Because ((2,3)) is missing
Step 1
Concept
((2,1)) और ((1,3)) दोनों संबंध में हैं। / The pairs ((2,1)) and ((1,3)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमणता के लिए ((2,3)) भी होना चाहिए, लेकिन वह नहीं है। / Transitivity requires ((2,3)), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध जांचते समय दो जुड़े युग्मों से जरूरी तीसरा युग्म खोजें। / While checking equivalence, use two connected pairs to identify the required third pair.
(1) और (3) आपस में संबंधित हैं, इसलिए एक ही वर्ग में हैं। / (1) and (3) are related to each other, so they form one class.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (4) केवल स्वयं से संबंधित हैं। / (2) and (4) are related only to themselves.
Step 3
Exam Tip
वर्ग लिखते समय जुड़े हुए तत्वों को समूह में और अकेले तत्वों को एकल वर्ग में रखें। / Connected related elements form groups, while isolated elements form singleton classes.
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) मौजूद है। ((1,4)) और ((4,2)) से ((1,2)) मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present. ((1,4)) and ((4,2)) require ((1,2)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) और ((4,2)) से ((2,2)), तथा ((4,2)) और ((2,4)) से ((4,4)) मौजूद हैं। / ((2,4)) and ((4,2)) require ((2,2)), and ((4,2)) and ((2,4)) require ((4,4)); both are present.
Step 3
Exam Tip
दोतरफा जोड़ियाँ हों तो बनने वाली स्वयंजोड़ियाँ जरूर देखें। / When reverse links appear, check the self-pairs they force.
संक्रामकता में केवल ऐसी जोड़ियाँ देखी जाती हैं जहाँ पहली जोड़ी का दूसरा तत्व और दूसरी जोड़ी का पहला तत्व समान हो। / In transitivity, check only pairs where the second element of the first pair matches the first element of the next pair.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) और ((2,5)) से ((1,5)) चाहिए, जो मौजूद है। ((3,4)) के बाद (4) से शुरू कोई जोड़ी नहीं है। / Here ((1,2)) and ((2,5)) require ((1,5)), which is present. After ((3,4)), no pair starts with (4).
Step 3
Exam Tip
हर अनुपस्थित स्वयंजोड़ी को गलती न मानें, केवल जरूरी श्रृंखला देखें। / Do not treat every missing self-pair as an error; check only required chains.
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) और ((4,4)) से ((2,4)) चाहिए, जो मौजूद है; ((1,4)) और ((4,4)) से ((1,4)) भी मौजूद है। / ((2,4)) and ((4,4)) require ((2,4)), which is present; ((1,4)) and ((4,4)) require ((1,4)), also present.
Step 3
Exam Tip
स्वयंजोड़ी के साथ बनने वाली श्रृंखलाओं को भी न छोड़ें। / Do not skip chains involving self-pairs.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required, and it is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) और ((2,3)) से ((2,3)) ही चाहिए, जो मौजूद है; ((3,3)) से भी कोई कमी नहीं बनती। / From ((2,2)) and ((2,3)), ((2,3)) itself is required and present; ((3,3)) creates no missing pair.
Step 3
Exam Tip
स्वयंजोड़ियों के साथ बनने वाली श्रृंखलाएँ भी ध्यान से देखें। / Also check chains involving self-pairs carefully.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required, and it is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)), तथा ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी मौजूद हैं। / From ((2,3)) and ((3,4)), ((2,4)) is present, and from ((1,3)) and ((3,4)), ((1,4)) is also present.
Step 3
Exam Tip
लंबी श्रृंखला में हर दो लगातार जोड़ियों से बनने वाली सीधी जोड़ी जरूर जाँचें। / In a long chain, check every direct pair formed by two consecutive pairs.
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, जो भी मौजूद है। / From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required and present. From ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required and also present.
Step 2
Why this answer is correct
स्वयंजोड़ियों के साथ बनने वाली बाकी जरूरी जोड़ियाँ पहले से दी गई हैं। / Other required pairs involving self-pairs are already given.
Step 3
Exam Tip
छोटी तालिका बनाकर जाँचने से ऐसी जोड़ियाँ छूटती नहीं हैं। / Making a small table helps avoid missing such pairs.
A. ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) मौजूद है/From ((1,2)) and ((2,4)), ((1,4)) is present
Step 1
Concept
संक्रामकता की सही जाँच में दोनों प्रारंभिक जोड़ियाँ संबंध में होनी चाहिए। / A correct transitivity check must start with two pairs that actually belong to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,4)) मौजूद हैं और उनसे जरूरी ((1,4)) भी मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,4)) are present, and the required ((1,4)) is also present.
Step 3
Exam Tip
उन जोड़ियों से तर्क न बनाएँ जो संबंध में दी ही नहीं गई हैं। / Do not build an argument from pairs that are not given in the relation.
संबंध में ऊपर की दिशा वाली सभी जरूरी जोड़ियाँ दी गई हैं। / The relation contains all required ordered pairs in the increasing direction.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)), ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)), तथा ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) मौजूद हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), and ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)); all are present.
Step 3
Exam Tip
बड़े संबंध में मुख्य श्रृंखलाओं की जाँच तालिका की तरह करें। / In a larger relation, check the main chains like a table.
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। / From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required, and it is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, वह भी मौजूद है। स्वयंजोड़ियों से कोई नई कमी नहीं आती। / From ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required, and it is also present. Self-pairs create no missing requirement.
Step 3
Exam Tip
छोटे संबंधों में हर संभव लगातार जोड़ी को व्यवस्थित रूप से देखें। / For small relations, check each possible chain systematically.
संक्रामकता केवल उन स्थितियों पर जाँची जाती है जहाँ ((a,b)) और ((b,c)) दोनों मौजूद हों। / Transitivity is checked only when both ((a,b)) and ((b,c)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो मौजूद है। अन्य कोई जरूरी लगातार जोड़ी नहीं बनती। / Here, ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present. No other necessary chain appears.
Step 3
Exam Tip
संक्रामक संबंध के लिए सभी स्वयंजोड़ियाँ होना जरूरी नहीं है। / A transitive relation need not contain all self-pairs.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) और ((2,3)) से ((2,3)), तथा ((2,3)) और ((3,3)) से ((2,3)) ही चाहिए, जो मौजूद है। इसलिए (R) संक्रामी है। / ((2,2)) with ((2,3)) requires ((2,3)), and ((2,3)) with ((3,3)) again requires ((2,3)), which is present. Hence (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
केवल जरूरी बने युग्मों को ही जाँचें। / Check only the pairs that are actually required.
((1,2)) के बाद कोई ऐसा युग्म नहीं है जो (2) से शुरू हो। ((3,4)) के बाद भी कोई युग्म (4) से शुरू नहीं है। / After ((1,2)), there is no pair starting with (2). After ((3,4)), there is no pair starting with (4).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए कोई संक्रामी बाध्यता बनती ही नहीं। अतः (R) संक्रामी है। / So no transitive requirement is created. Hence (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
हर छोटे सम्बन्ध को असंक्रामी मानना गलत है। / Do not assume every small relation is non-transitive.
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो है। / ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, जो है। आत्म युग्मों के साथ भी कोई नई कमी नहीं है। इसलिए (R) संक्रामी है। / ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)), which is present. Reflexive chains also create no missing pair. So (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
तीसरे तत्व का न आना अपने आप समस्या नहीं है। / The absence of pairs involving the third element is not automatically a problem.
यहाँ मुख्य श्रृंखला ((1,3)) और ((3,4)) है। / The main chain is ((1,3)) and ((3,4)).
Step 2
Why this answer is correct
इनके लिए ((1,4)) चाहिए, जो मौजूद है। ((2,2)) केवल अपने साथ ((2,2)) ही माँगता है। इसलिए (R) संक्रामी है। / It requires ((1,4)), which is present. ((2,2)) only requires itself with itself. Hence (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
प्रत्येक युग्म से आगे चलने वाला युग्म ढूँढें। / For each pair, look for another pair that starts from its second element.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1)) और ((1,2)) से ((1,2)), तथा ((2,2)) और ((2,3)) से ((2,3)) ही चाहिए, जो हैं। इसलिए (R) संक्रामी है। / Chains with ((1,1)) and ((2,2)) require already existing pairs. Therefore (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
अनावश्यक आत्म युग्मों की कमी से भ्रमित न हों। / Do not be confused by missing reflexive pairs that are not required by a chain.
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो है। / ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) के साथ बने युग्म फिर वही युग्म देते हैं, और ((4,4)) भी कोई कमी नहीं बनाता। इसलिए (R) संक्रामी है। / Chains involving ((2,2)) give existing pairs again, and ((4,4)) does not create a missing pair. Hence (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
सभी संभावित जुड़े युग्मों को व्यवस्थित रूप से देखें। / Check all connected pairs systematically.
