Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
संबंध में ((1,3)) और ((3,5)) एकमात्र मुख्य श्रृंखला बनाते हैं। / In this relation, ((1,3)) and ((3,5)) form the main chain.
Step 2
Why this answer is correct
इस श्रृंखला के लिए ((1,5)) चाहिए, जो पहले से मौजूद है। ((2,4)) आगे कोई नई जरूरत नहीं बनाती। / This chain requires ((1,5)), which is already present. ((2,4)) creates no further requirement.
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता में केवल बन रही श्रृंखलाओं से आवश्यक जोड़ी निकालें। / In transitivity, find required pairs only from actual chains.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required, and it is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) और ((2,3)) से ((2,3)) ही चाहिए, जो मौजूद है; ((3,3)) से भी कोई कमी नहीं बनती। / From ((2,2)) and ((2,3)), ((2,3)) itself is required and present; ((3,3)) creates no missing pair.
Step 3
Exam Tip
स्वयंजोड़ियों के साथ बनने वाली श्रृंखलाएँ भी ध्यान से देखें। / Also check chains involving self-pairs carefully.
A. ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4))/From ((1,2)) and ((2,4)), ((1,4))
Step 1
Concept
\(1\mid 2\) और \(2\mid 4\) दोनों सत्य हैं। / \(1\mid 2\) and \(2\mid 4\) are both true.
Step 2
Why this answer is correct
तब \(1\mid 4\) भी सत्य है, इसलिए ((1,4)) संबंध में होगा। / Then \(1\mid 4\) is also true, so ((1,4)) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
जाँच में दोनों आरंभिक जोड़ियाँ सच होनी चाहिए, केवल अनुमान काफी नहीं है। / In a check, both starting pairs must actually be true; guessing is not enough.
संक्रामकता केवल उन स्थितियों पर जाँची जाती है जहाँ ((a,b)) और ((b,c)) दोनों मौजूद हों। / Transitivity is checked only when both ((a,b)) and ((b,c)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो मौजूद है। अन्य कोई जरूरी लगातार जोड़ी नहीं बनती। / Here, ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present. No other necessary chain appears.
Step 3
Exam Tip
संक्रामक संबंध के लिए सभी स्वयंजोड़ियाँ होना जरूरी नहीं है। / A transitive relation need not contain all self-pairs.
((1,4)) और ((4,2)) से ((1,2)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((1,4)) and ((4,2)) require ((1,2)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((4,4)) और ((4,2)) से ((4,2)), तथा ((2,2)) से बनने वाली जरूरतें भी पूरी हैं। / ((4,4)) with ((4,2)) requires ((4,2)), and requirements with ((2,2)) are also satisfied.
Step 3
Exam Tip
समान तत्व वाली जोड़ियों को अनदेखा न करें, पर उनसे बनने वाली मांगें अक्सर पहले से मौजूद होती हैं। / Do not ignore self-pairs, but their requirements are often already present.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,2)) से ((2,2)), तथा ((3,2)) और ((2,3)) से ((3,3)) मौजूद हैं। / ((2,3)) and ((3,2)) require ((2,2)), and ((3,2)) and ((2,3)) require ((3,3)), both present.
Step 3
Exam Tip
कठिन सूची में जोड़ी-दर-जोड़ी जांच करके ही निष्कर्ष दें। / In hard lists, conclude only after pair-by-pair checking.
((1,2)) के साथ ((2,2)) होने पर ((1,2)) ही चाहिए, जो मौजूद है। / With ((1,2)) and ((2,2)), transitivity requires ((1,2)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1)) के साथ ((1,2)) होने पर भी ((1,2)) मौजूद है। इसलिए कोई कमी नहीं है। / With ((1,1)) and ((1,2)), it again requires ((1,2)), which is present. So no required pair is missing.
Step 3
Exam Tip
हर अतिरिक्त परावर्ती जोड़ी संक्रमण को नहीं तोड़ती। / Extra reflexive pairs do not break transitivity.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) मौजूद है; ((2,2)) के साथ बनने वाली जरूरतें भी दी हुई जोड़ियों से पूरी हैं। / ((1,3)) is present, and requirements created with ((2,2)) are also satisfied by given pairs.
Step 3
Exam Tip
समान तत्व वाली जोड़ी को भी जांचना न भूलें। / Do not forget to check self-pairs too.
((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((a,b)) and ((b,c)) require ((a,c)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((a,c)) और ((c,c)) से फिर ((a,c)) चाहिए, और ((b,c)) तथा ((c,c)) से ((b,c)) चाहिए। ये मौजूद हैं। / ((a,c)) with ((c,c)) requires ((a,c)), and ((b,c)) with ((c,c)) requires ((b,c)). These are present.
Step 3
Exam Tip
अक्षरों वाले युग्मों में भी वही नियम लागू होता है। / The same rule applies to letter-based pairs.
A. ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4))/((2,3)) and ((3,4)) give ((2,4))
Step 1
Concept
संक्रामकता में दूसरे तत्व और अगले युग्म के पहले तत्व का मेल जरूरी है। / Transitivity needs the second element of one pair to match the first element of the next pair.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), which is present.
Step 3
Exam Tip
बिना मेल वाले युग्मों से गलत निष्कर्ष न निकालें। / Do not draw conclusions from pairs that do not connect.
मुख्य कड़ी ((1,2)) और ((2,3)) है। / The main chain is ((1,2)) and ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
इनके कारण ((1,3)) चाहिए, जो संबंध में है। बाकी आत्म युग्म शर्त को नहीं तोड़ते। / They require ((1,3)), which is present. The self-pairs do not break the rule.
Step 3
Exam Tip
संबंध को देखकर आवश्यक कड़ी अलग करें और उसी पर निर्णय लें। / Separate the required chain and decide from it.
महत्वपूर्ण कड़ी ((1,2)) और ((2,4)) है। / The important chain is ((1,2)) and ((2,4)).
Step 2
Why this answer is correct
इनके लिए ((1,4)) चाहिए, जो संबंध में मौजूद है। आत्म युग्म भी कोई समस्या नहीं बनाते। / These require ((1,4)), which is present. Self-pairs do not create a problem here.
Step 3
Exam Tip
बड़े संबंध में पहले गैर-आत्म युग्मों की कड़ी जाँचें। / In a larger relation, first check chains of non-self pairs.
A. क्योंकि ((1,3)) नहीं है/Because ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) साथ मिलकर ((1,3)) की मांग करते हैं। / The pairs ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
(R) में ((1,3)) नहीं है, इसलिए शर्त टूट जाती है। / Since ((1,3)) is not in (R), transitivity fails.
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता में उलटे युग्म नहीं, बल्कि आगे जुड़ने वाला युग्म जाँचना होता है। / For transitivity, do not look for reverse pairs; look for the forward linked pair.
