Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) मौजूद है। ((1,4)) और ((4,2)) से ((1,2)) मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present. ((1,4)) and ((4,2)) require ((1,2)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) और ((4,2)) से ((2,2)), तथा ((4,2)) और ((2,4)) से ((4,4)) मौजूद हैं। / ((2,4)) and ((4,2)) require ((2,2)), and ((4,2)) and ((2,4)) require ((4,4)); both are present.
Step 3
Exam Tip
दोतरफा जोड़ियाँ हों तो बनने वाली स्वयंजोड़ियाँ जरूर देखें। / When reverse links appear, check the self-pairs they force.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required, and it is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) और ((2,3)) से ((2,3)) ही चाहिए, जो मौजूद है; ((3,3)) से भी कोई कमी नहीं बनती। / From ((2,2)) and ((2,3)), ((2,3)) itself is required and present; ((3,3)) creates no missing pair.
Step 3
Exam Tip
स्वयंजोड़ियों के साथ बनने वाली श्रृंखलाएँ भी ध्यान से देखें। / Also check chains involving self-pairs carefully.
((1,3)) और ((3,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। ((3,1)) और ((1,3)) से ((3,3)) चाहिए, वह भी मौजूद है। / From ((1,3)) and ((3,1)), ((1,1)) is required, and it is present. From ((3,1)) and ((1,3)), ((3,3)) is required, and it is also present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) के बाद (4) से शुरू होने वाली कोई जोड़ी नहीं है, इसलिए नई जरूरत नहीं बनती। / After ((2,4)), there is no pair starting with (4), so no new requirement arises.
Step 3
Exam Tip
हर अनुपस्थित स्वयंजोड़ी संक्रामकता की कमी नहीं होती। / Every missing self-pair is not a transitivity failure.
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, जो भी मौजूद है। / From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required and present. From ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required and also present.
Step 2
Why this answer is correct
स्वयंजोड़ियों के साथ बनने वाली बाकी जरूरी जोड़ियाँ पहले से दी गई हैं। / Other required pairs involving self-pairs are already given.
Step 3
Exam Tip
छोटी तालिका बनाकर जाँचने से ऐसी जोड़ियाँ छूटती नहीं हैं। / Making a small table helps avoid missing such pairs.
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। / From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required, and it is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, वह भी मौजूद है। स्वयंजोड़ियों से कोई नई कमी नहीं आती। / From ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required, and it is also present. Self-pairs create no missing requirement.
Step 3
Exam Tip
छोटे संबंधों में हर संभव लगातार जोड़ी को व्यवस्थित रूप से देखें। / For small relations, check each possible chain systematically.
A. क्योंकि ((1,1)) और ((2,2)) दोनों अनुपस्थित हैं/Because both ((1,1)) and ((2,2)) are absent
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) से संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,1)), transitivity requires ((1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
इसी तरह ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। दोनों नहीं हैं, इसलिए संबंध संक्रामक नहीं है। / Similarly, ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)). Both are missing, so the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
उल्टी जोड़ियों से स्वयंजोड़ियों की जरूरत बनती है, इसे परीक्षा में न छोड़ें। / Reverse pairs can create the need for self-pairs, so do not ignore them.
\(R\cap S\) में केवल वे समान जोड़ियां रहेंगी जो (R) में भी हैं। / \(R\cap S\) contains only those self-pairs that are also in (R).
Step 2
Why this answer is correct
केवल समान जोड़ियों वाला कोई भी संबंध संक्रमण होता है, क्योंकि उनसे वही जोड़ी दोबारा चाहिए। / Any relation containing only self-pairs is transitive, because it only requires the same pair again.
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद में बची जोड़ियों की प्रकृति पहचानें। / Identify the nature of pairs left after intersection.
A. ((a,a)), ((b,b)), ((c,c)) भी (R) में होंगे/((a,a)), ((b,b)), ((c,c)) will also be in (R)
Step 1
Concept
((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलेगा। / ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)).
Step 2
Why this answer is correct
फिर ((a,c)) और ((c,a)) से ((a,a)) मिलेगा; इसी तरह चक्र घुमाकर ((b,b)) और ((c,c)) भी मिलते हैं। / Then ((a,c)) and ((c,a)) imply ((a,a)); rotating the cycle gives ((b,b)) and ((c,c)) too.
Step 3
Exam Tip
चक्र वाले संबंधों में समान जोड़ियां अवश्य बनती हैं। / Cyclic relations force self-pairs under transitivity.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required.
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) और ((3,3)) से बनने वाली जरूरतें भी मौजूद युग्मों में पूरी हैं। / Requirements involving ((2,2)) and ((3,3)) are also satisfied by existing pairs.
Step 3
Exam Tip
अपने-आप वाले युग्म संबंध को मजबूत कर सकते हैं, पर जांच फिर भी करें। / Self-pairs can support the relation, but still check the chains.
(R) परावर्ती है, इसलिए उसमें सभी अपने-अपने युग्म मौजूद हैं। / (R) is reflexive, so it contains all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(S) में कोई अपने-अपने युग्म नहीं है, इसलिए घटाने पर जरूरी युग्म नहीं हटेंगे। / (S) has no self-pair, so subtracting (S) will not remove the required pairs.
Step 3
Exam Tip
सभी अपने-अपने युग्म बचे रहेंगे, इसलिए (R-S) परावर्ती होगा। / All self-pairs remain, hence (R-S) is reflexive.
परावर्ती संबंध में हर तत्व के लिए एक अपने-आप वाला युग्म जरूरी है। / A reflexive relation needs one self-pair for each element.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में चार तत्व हैं, इसलिए चार ऐसे युग्म अनिवार्य हैं। / (A) has four elements, so four self-pairs are compulsory.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म अधिक हो सकते हैं, पर अनिवार्य युग्मों की संख्या तत्वों की संख्या ही रहती है। / Total pairs may be more, but compulsory self-pairs equal the number of elements.
A. क्योंकि \(a\ne a\) असत्य है/Because \(a\ne a\) is false
Step 1
Concept
परावर्ती होने के लिए ((a,a)) चाहिए। / Reflexivity requires ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन नियम \(a\ne b\) में \(a\ne a\) असत्य है, इसलिए अपने-अपने युग्म नहीं मिलते। / But under \(a\ne b\), \(a\ne a\) is false, so self-pairs are absent.
Step 3
Exam Tip
असमान होने वाला नियम परावर्ती नहीं बनाता। / A not-equal relation is not reflexive.
