Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present. ((1,4)) and ((4,2)) require ((1,2)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) and ((4,2)) require ((2,2)), and ((4,2)) and ((2,4)) require ((4,4)); both are present.
Step 3
Exam Tip
When reverse links appear, check the self-pairs they force. चरण 1: ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) मौजूद है। ((1,4)) और ((4,2)) से ((1,2)) मौजूद है। चरण 2: ((2,4)) और ((4,2)) से ((2,2)), तथा ((4,2)) और ((2,4)) से ((4,4)) मौजूद हैं। चरण 3: दोतरफा जोड़ियाँ हों तो बनने वाली स्वयंजोड़ियाँ जरूर देखें।
From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required, and it is present.
Step 2
Why this answer is correct
From ((2,2)) and ((2,3)), ((2,3)) itself is required and present; ((3,3)) creates no missing pair.
Step 3
Exam Tip
Also check chains involving self-pairs carefully. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((2,2)) और ((2,3)) से ((2,3)) ही चाहिए, जो मौजूद है; ((3,3)) से भी कोई कमी नहीं बनती। चरण 3: स्वयंजोड़ियों के साथ बनने वाली श्रृंखलाएँ भी ध्यान से देखें।
From ((1,3)) and ((3,1)), ((1,1)) is required, and it is present. From ((3,1)) and ((1,3)), ((3,3)) is required, and it is also present.
Step 2
Why this answer is correct
After ((2,4)), there is no pair starting with (4), so no new requirement arises.
Step 3
Exam Tip
Every missing self-pair is not a transitivity failure. चरण 1: ((1,3)) और ((3,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। ((3,1)) और ((1,3)) से ((3,3)) चाहिए, वह भी मौजूद है। चरण 2: ((2,4)) के बाद (4) से शुरू होने वाली कोई जोड़ी नहीं है, इसलिए नई जरूरत नहीं बनती। चरण 3: हर अनुपस्थित स्वयंजोड़ी संक्रामकता की कमी नहीं होती।
From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required and present. From ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required and also present.
Step 2
Why this answer is correct
Other required pairs involving self-pairs are already given.
Step 3
Exam Tip
Making a small table helps avoid missing such pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, जो भी मौजूद है। चरण 2: स्वयंजोड़ियों के साथ बनने वाली बाकी जरूरी जोड़ियाँ पहले से दी गई हैं। चरण 3: छोटी तालिका बनाकर जाँचने से ऐसी जोड़ियाँ छूटती नहीं हैं।
From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required, and it is present.
Step 2
Why this answer is correct
From ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required, and it is also present. Self-pairs create no missing requirement.
Step 3
Exam Tip
For small relations, check each possible chain systematically. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, वह भी मौजूद है। स्वयंजोड़ियों से कोई नई कमी नहीं आती। चरण 3: छोटे संबंधों में हर संभव लगातार जोड़ी को व्यवस्थित रूप से देखें।
A. क्योंकि ((1,1)) और ((2,2)) दोनों अनुपस्थित हैं/Because both ((1,1)) and ((2,2)) are absent
Step 1
Concept
From ((1,2)) and ((2,1)), transitivity requires ((1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
Similarly, ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)). Both are missing, so the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
Reverse pairs can create the need for self-pairs, so do not ignore them. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए। चरण 2: इसी तरह ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। दोनों नहीं हैं, इसलिए संबंध संक्रामक नहीं है। चरण 3: उल्टी जोड़ियों से स्वयंजोड़ियों की जरूरत बनती है, इसे परीक्षा में न छोड़ें।
\(R\cap S\) contains only those self-pairs that are also in (R).
Step 2
Why this answer is correct
Any relation containing only self-pairs is transitive, because it only requires the same pair again.
Step 3
Exam Tip
Identify the nature of pairs left after intersection. चरण 1: \(R\cap S\) में केवल वे समान जोड़ियां रहेंगी जो (R) में भी हैं। चरण 2: केवल समान जोड़ियों वाला कोई भी संबंध संक्रमण होता है, क्योंकि उनसे वही जोड़ी दोबारा चाहिए। चरण 3: प्रतिच्छेद में बची जोड़ियों की प्रकृति पहचानें।
A. ((a,a)), ((b,b)), ((c,c)) भी (R) में होंगे/((a,a)), ((b,b)), ((c,c)) will also be in (R)
Step 1
Concept
((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)).
Step 2
Why this answer is correct
Then ((a,c)) and ((c,a)) imply ((a,a)); rotating the cycle gives ((b,b)) and ((c,c)) too.
Step 3
Exam Tip
Cyclic relations force self-pairs under transitivity. चरण 1: ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलेगा। चरण 2: फिर ((a,c)) और ((c,a)) से ((a,a)) मिलेगा; इसी तरह चक्र घुमाकर ((b,b)) और ((c,c)) भी मिलते हैं। चरण 3: चक्र वाले संबंधों में समान जोड़ियां अवश्य बनती हैं।
A. \((a,a)\in R\) और \((b,b)\in R\)/\((a,a)\in R\) and \((b,b)\in R\)
Step 1
Concept
((a,b)) and ((b,a)) imply ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
((b,a)) and ((a,b)) imply ((b,b)).
Step 3
Exam Tip
When reverse pairs exist, both self-pairs become necessary. चरण 1: ((a,b)) और ((b,a)) से ((a,a)) मिलेगा। चरण 2: ((b,a)) और ((a,b)) से ((b,b)) मिलेगा। चरण 3: उलटी जोड़ियां होने पर दोनों समान जोड़ी अनिवार्य होती हैं।
((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
Self-pairs like ((2,2)) and ((4,4)) only demand already present pairs again.
Step 3
Exam Tip
Check self-pairs too, but they often do not create new missing pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((2,2)) और ((4,4)) जैसी जोड़ियां केवल वही मौजूद जोड़ी फिर मांगती हैं। चरण 3: समान तत्व वाली जोड़ियों को भी जांचें, पर उनसे अक्सर नई कमी नहीं बनती।
The relation has many two-way pairs among (1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), and similarly ((2,2)) and ((3,3)) are needed.
Step 3
Exam Tip
When a cycle appears, quickly check for missing self-pairs. चरण 1: संबंध में (1,2,3) के बीच दोनों दिशाओं में कई युग्म हैं। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)), इसी तरह ((2,2)) और ((3,3)) चाहिए। चरण 3: चक्र बनने पर आत्म-युग्मों की कमी जल्दी पकड़ें।
Requirements involving ((2,2)) and ((3,3)) are also satisfied by existing pairs.
Step 3
Exam Tip
Self-pairs can support the relation, but still check the chains. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: ((2,2)) और ((3,3)) से बनने वाली जरूरतें भी मौजूद युग्मों में पूरी हैं। चरण 3: अपने-आप वाले युग्म संबंध को मजबूत कर सकते हैं, पर जांच फिर भी करें।
From ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required; both are present.
Step 3
Exam Tip
With reverse pairs, always check the self-pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए। चरण 2: ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए; दोनों मौजूद हैं। चरण 3: उल्टे युग्मों के साथ अपने-आप वाले युग्म जांचना न भूलें।
From ((3,3)) and ((3,4)), ((3,4)) is also required and present.
Step 3
Exam Tip
Include cases involving self-pairs while checking. चरण 1: ((3,4)) और ((4,4)) से ((3,4)) चाहिए। चरण 2: ((3,3)) और ((3,4)) से भी ((3,4)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 3: अपने-आप वाले युग्मों के साथ बने मामलों को भी गिनिए।
A reflexive pair is ((X,X)) for each element (X) of the power set.
Step 3
Exam Tip
Hence the number of reflexive pairs is 16. चरण 1: घात समुच्चय में \(2^4=16\) तत्व होते हैं। चरण 2: परावर्ती युग्म हर तत्व (X) के लिए ((X,X)) होता है। चरण 3: इसलिए परावर्ती युग्मों की संख्या घात समुच्चय के तत्वों की संख्या के बराबर 16 है।
(S) has no self-pair, so subtracting (S) will not remove the required pairs.
Step 3
Exam Tip
All self-pairs remain, hence (R-S) is reflexive. चरण 1: (R) परावर्ती है, इसलिए उसमें सभी अपने-अपने युग्म मौजूद हैं। चरण 2: (S) में कोई अपने-अपने युग्म नहीं है, इसलिए घटाने पर जरूरी युग्म नहीं हटेंगे। चरण 3: सभी अपने-अपने युग्म बचे रहेंगे, इसलिए (R-S) परावर्ती होगा।
A reflexive relation needs one self-pair for each element.
Step 2
Why this answer is correct
(A) has four elements, so four self-pairs are compulsory.
Step 3
Exam Tip
Total pairs may be more, but compulsory self-pairs equal the number of elements. चरण 1: परावर्ती संबंध में हर तत्व के लिए एक अपने-आप वाला युग्म जरूरी है। चरण 2: (A) में चार तत्व हैं, इसलिए चार ऐसे युग्म अनिवार्य हैं। चरण 3: कुल युग्म अधिक हो सकते हैं, पर अनिवार्य युग्मों की संख्या तत्वों की संख्या ही रहती है।
The second condition may add pairs, but reflexivity remains safe. चरण 1: शर्त (a=b) हर अपने-आप वाले युग्म को शामिल कर देती है। चरण 2: इसलिए ((1,1),(2,2),(3,3)) सभी (R) में हैं। चरण 3: दूसरी शर्त अतिरिक्त युग्म दे सकती है, लेकिन स्वतुल्यता सुरक्षित रहती है।
Therefore all three self-pairs belong to (R). चरण 1: अपने-आप वाले युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं। चरण 2: प्रत्येक में योग (2a) है, जो (2) से विभाज्य है। चरण 3: इसलिए तीनों अपने-आप वाले युग्म (R) में होंगे।
(A) has 3 elements, so 3 self-pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
Out of the 4 pairs, 3 must be ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 3
Exam Tip
The remaining one may be any non-diagonal pair. चरण 1: (A) में 3 तत्व हैं, इसलिए 3 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल 4 युग्मों में से 3 निश्चित रूप से ((1,1),(2,2),(3,3)) होंगे। चरण 3: बाकी एक युग्म कोई गैर-विकर्ण युग्म हो सकता है।
So none of the self-pairs are in the original relation.
Step 3
Exam Tip
To make it reflexive, add all ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)). चरण 1: दिए गए नियम में ((a,a)) के लिए (a+a=2a) सम होगा, विषम नहीं। चरण 2: इसलिए कोई भी अपने-अपने युग्म मूल संबंध में नहीं आएगा। चरण 3: परावर्ती बनाने के लिए ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) सभी जोड़ने होंगे।
(A) has (4) elements, so (4) such pairs are required.
Step 3
Exam Tip
When counting, directly look at the number of elements. चरण 1: अपने-आप वाला युग्म हर सदस्य के लिए एक होता है। चरण 2: (A) में (4) सदस्य हैं, इसलिए (4) ऐसे युग्म जरूरी हैं। चरण 3: संख्या गिनते समय सदस्यों की संख्या सीधे देखें।
For (x,y,z), all three self-pairs ((x,x),(y,y),(z,z)) are required.
Step 2
Why this answer is correct
Only the second relation contains all three.
Step 3
Exam Tip
Extra pairs do not break reflexivity. चरण 1: (x,y,z) के लिए ((x,x),(y,y),(z,z)) तीनों जरूरी हैं। चरण 2: केवल दूसरे सम्बन्ध में ये तीनों युग्म मौजूद हैं। चरण 3: कोई अतिरिक्त युग्म होने से स्वतुल्यता नहीं टूटती।
The smallest reflexive relation contains only the required self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
For (5) and (7), the needed pairs are ((5,5)) and ((7,7)).
Step 3
Exam Tip
Extra pairs are not compulsory. चरण 1: न्यूनतम स्वतुल्य सम्बन्ध में केवल जरूरी अपने-आप वाले युग्म रखे जाते हैं। चरण 2: (5) और (7) के लिए ((5,5)) और ((7,7)) चाहिए। चरण 3: अतिरिक्त युग्म जरूरी नहीं होते।
For elements (a) and (b), the pairs ((a,a)) and ((b,b)) are required.
Step 2
Why this answer is correct
Both pairs are present in (R), so the extra pair does not matter.
Step 3
Exam Tip
Reflexivity only needs all self-pairs. चरण 1: (A) के सदस्यों (a) और (b) के लिए ((a,a)) और ((b,b)) चाहिए। चरण 2: दोनों युग्म (R) में मौजूद हैं, इसलिए अतिरिक्त युग्म से कोई हानि नहीं होती। चरण 3: स्वतुल्यता में केवल सभी अपने-आप वाले युग्म जरूरी हैं।
A. हर तत्व का अपने-आप से युग्म/Self-pair of every element
Step 1
Concept
Reflexive relation is identified by self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
So the first task is to check ((a,a)) for every element.
Step 3
Exam Tip
Check symmetric or other properties later. चरण 1: परावर्ती संबंध की पहचान अपने-अपने युग्मों से होती है। चरण 2: इसलिए हर तत्व के लिए ((a,a)) देखना पहला काम है। चरण 3: सममित या अन्य गुण बाद में जांचें।
A. क्योंकि \(a\ne a\) असत्य है/Because \(a\ne a\) is false
Step 1
Concept
Reflexivity requires ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
But under \(a\ne b\), \(a\ne a\) is false, so self-pairs are absent.
Step 3
Exam Tip
A not-equal relation is not reflexive. चरण 1: परावर्ती होने के लिए ((a,a)) चाहिए। चरण 2: लेकिन नियम \(a\ne b\) में \(a\ne a\) असत्य है, इसलिए अपने-अपने युग्म नहीं मिलते। चरण 3: असमान होने वाला नियम परावर्ती नहीं बनाता।
A. ((p,p)) और ((q,q)) दोनों (R) में होंगे/Both ((p,p)) and ((q,q)) will be in (R)
Step 1
Concept
Reflexivity depends on self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
For (p) and (q), ((p,p)) and ((q,q)) are required.
Step 3
Exam Tip
The same rule works for sets with letters. चरण 1: परावर्ती गुण अपने-अपने युग्मों पर आधारित होता है। चरण 2: (p) और (q) के लिए ((p,p)) और ((q,q)) जरूरी हैं। चरण 3: अक्षरों वाले समुच्चय में भी वही नियम लगता है।
((1,1),(2,2),(3,3)) are all in (R), so the relation is reflexive.
Step 3
Exam Tip
The extra pair ((1,2)) does not stop reflexivity. चरण 1: (A) के सभी तत्वों के अपने-अपने युग्म देखें। चरण 2: ((1,1),(2,2),(3,3)) सभी (R) में हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 3: अतिरिक्त ((1,2)) परावर्ती होने को नहीं रोकता।
Hence all three self-pairs appear in the transitive closure. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) और ((2,2)) चाहिए। चरण 2: ((2,3)) और ((3,2)) से ((2,2)) और ((3,3)) चाहिए। चरण 3: इसलिए तीनों स्वयुग्म संक्रामक आवरण में आ जाएंगे।
