समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) के सभी उपसमुच्चयों पर (XRY) तब और केवल तब जब (|X|=|Y|)। ({1,2}) के तुल्यता वर्ग में कितने उपसमुच्चय होंगे?
On all subsets of \(A=\{1,2,3,4\}\), (XRY) if and only if (|X|=|Y|). How many subsets are in the equivalence class of ({1,2})?
#power set
#cardinality
#equivalence class
#counting
A (4)
B (5)
C (6)
D (8)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
({1,2}) में (2) अवयव हैं। / The set ({1,2}) has (2) elements.
Step 2
Why this answer is correct
इसके तुल्यता वर्ग में (A) के वे सभी उपसमुच्चय होंगे जिनमें ठीक (2) अवयव हों। / Its equivalence class contains all subsets of (A) having exactly (2) elements.
Step 3
Exam Tip
ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{4}{2}=6\) होती है, इसलिए गिनती में क्रम नहीं मानना चाहिए। / The number of such subsets is \(\binom{4}{2}=6\), so order should not be counted.
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समुच्चय \(A=\mathcal{P}({1,2,3})\) पर \(R={(X,Y):X\setminus Y=X}\) है। (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?
On \(A=\mathcal{P}({1,2,3})\), \(R={(X,Y):X\setminus Y=X}\). How many diagonal pairs are in (R)?
#reflexive relation
#set difference
#power set
A 1
B 3
C 7
D 8
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर \(X\setminus X=\varnothing\) होता है। / On the diagonal, \(X\setminus X=\varnothing\).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त \(X\setminus X=X\) तभी सत्य होगी जब \(X=\varnothing\)। / The condition \(X\setminus X=X\) holds only when \(X=\varnothing\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए केवल \((\varnothing,\varnothing)\) विकर्ण युग्म है। / Hence only \((\varnothing,\varnothing)\) is a diagonal pair.
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यदि \(S=\{1,2,3\}\) और \(A=\mathcal{P}(S)\) है। \(A\) पर संबंध \[R=\{(X,Y):X,Y\in A \text{ तथा } X\cup Y=S\}\] परिभाषित है। \(R\) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे?
If \(S=\{1,2,3\}\) and \(A=\mathcal{P}(S)\), then a relation \(R\) on \(A\) is defined by \[R=\{(X,Y):X,Y\in A \text{ and } X\cup =S\}.
\] How many diagonal pairs must be added to make \(R\) reflexive?
#reflexive relation
#power set
#union
#minimum addition
A 6
B 7
C 8
D 1
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(\mathcal{P}(S)\) में (8) तत्व हैं, इसलिए (8) विकर्ण युग्म चाहिए। / \(\mathcal{P}(S)\) has (8) elements, so (8) diagonal pairs are needed.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण पर \(X\cup X=X\), जो (S) के बराबर केवल (X=S) पर है। / On the diagonal, \(X\cup X=X\), which equals (S) only when (X=S).
Step 3
Exam Tip
एक विकर्ण युग्म पहले से है, इसलिए (7) जोड़ने होंगे। / One diagonal pair is already present, so (7) must be added.
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समुच्चय \(S={1,2,3}\) और \(A=\mathcal{P}(S)\) पर \(R={(X,Y):X\cup Y=Y}\) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?
For \(S={1,2,3}\) and \(A=\mathcal{P}(S)\), \(R={(X,Y):X\cup Y=Y}\). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#power set
#union
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (S) पर / Only for (S)
D केवल रिक्त समुच्चय पर / Only for empty set
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता के लिए (Y=X) रखें। / For reflexivity, put (Y=X).
Step 2
Why this answer is correct
तब \(X\cup X=X\) और यही (Y) है। / Then \(X\cup X=X\), which is the same as (Y).
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर विकर्ण युग्म शर्त पूरी करता है। / Hence every diagonal pair satisfies the condition.
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यदि \(S=\{1,2,3\}\) और \(A=\mathcal{P}(S)\) है। (A) पर \(R={(X,Y):X\cap Y=X}\\) है। (R) कैसा है?
If \(S=\{1,2,3\}\) and \(A=\mathcal{P}(S)\). On (A), \(R=\{(X,Y):X\cap Y=X\}\). What is (R) with respect to reflexivity?
#reflexive relation
#power set
#intersection
A प्रतिवर्ती / Reflexive
B प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
C केवल रिक्त समुच्चय पर / Only for empty set
D सार्वत्रिक / Universal
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. प्रतिवर्ती / Reflexive
Step 1
Concept
विकर्ण पर (Y=X) रखें। / Put (Y=X) on the diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
तब \(X\cap X=X\) मिलेगा, जो हर समुच्चय के लिए सत्य है। / Then \(X\cap X=X\), which is true for every set.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी ((X,X)) संबंध में हैं और (R) प्रतिवर्ती है। / Therefore every ((X,X)) belongs to the relation, so (R) is reflexive.
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यदि \(S=\{1,2,3,4\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) है, तो (A) पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है?
If \(S=\{1,2,3,4\}\) and (A=\mathcal{P}(S)), how many reflexive relations are possible on (A)?
#reflexive relation
#power set
#counting
A \(2^{240}\)
B \(2^{256}\)
C \(2^{16}\)
D \(2^{120}\)
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Correct Answer
A. \(2^{240}\)
Step 1
Concept
(A=\mathcal{P}(S)) में \(2^4=16\) तत्व हैं। / (A=\mathcal{P}(S)) has \(2^4=16\) elements.
Step 2
Why this answer is correct
(A) पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{16^2-16}\) होगी। / The number of reflexive relations on (A) is \(2^{16^2-16}\).
Step 3
Exam Tip
\(16^2-16=256-16=240\), इसलिए उत्तर \(2^{240}\) है। / Since \(16^2-16=240\), the answer is \(2^{240}\).
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यदि (A=\mathcal{P}({1,2})) और \(R=\{(X,Y):X\triangle Y=X\}\) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?
If (A=\mathcal{P}({1,2})) and \(R=\{(X,Y):X\triangle Y=X\}\), how many diagonal pairs are in (R)?
#reflexive relation
#symmetric difference
#power set
A 1
B 2
C 3
D 4
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर \(X\triangle X=\varnothing\) होता है। / On the diagonal, \(X\triangle X=\varnothing\).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त \(X\triangle X=X\) तभी सत्य होगी जब \(X=\varnothing\)। / The condition \(X\triangle X=X\) holds only when \(X=\varnothing\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए केवल (\(\varnothing,\varnothing\)) विकर्ण युग्म है। / Hence only (\(\varnothing,\varnothing\)) is a diagonal pair.
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यदि \(S=\{1,2\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) है। \(R=\{(X,Y):X\setminus Y=\varnothing\}\) है। (R) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(S=\{1,2\}\) and (A=\mathcal{P}(S)). \(R=\{(X,Y):X\setminus Y=\varnothing\}\). Which statement about (R) is correct?
#reflexive relation
#set difference
#power set
A प्रतिवर्ती है / It is reflexive
B प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
C केवल रिक्त समुच्चय पर / Only for empty set
D सार्वत्रिक है / It is universal
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. प्रतिवर्ती है / It is reflexive
Step 1
Concept
विकर्ण पर \(X\setminus X=\varnothing\) होता है। / On the diagonal, \(X\setminus X=\varnothing\).
Step 2
Why this answer is correct
किसी समुच्चय से वही समुच्चय हटाने पर रिक्त समुच्चय मिलता है। / Removing a set from itself gives the empty set.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी विकर्ण युग्म संबंध में हैं। / Therefore all diagonal pairs are in the relation.
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समुच्चय \(S=\{1,2,3\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) पर \(R=\{(X,Y):X\cup Y=X\}\) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?
For \(S=\{1,2,3\}\) and (A=\mathcal{P}(S)), \(R=\{(X,Y):X\cup Y=X\}\). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#power set
#union
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (S) पर / Only for (S)
D केवल रिक्त समुच्चय पर / Only for empty set
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती जांच में (Y=X) रखें। / For reflexivity, put (Y=X).
Step 2
Why this answer is correct
तब \(X\cup X=X\), जो हर समुच्चय के लिए सत्य है। / Then \(X\cup X=X\), which is true for every set.
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर ((X,X)) संबंध में है। / Hence every ((X,X)) belongs to the relation.
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यदि \(S=\{1,2,3\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) है। \(R=\{(X,Y):X\cap Y=\varnothing\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे?
If \(S=\{1,2,3\}\) and (A=\mathcal{P}(S)). \(R=\{(X,Y):X\cap Y=\varnothing\}\). How many diagonal pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#power set
#intersection
A 6
B 7
C 8
D 3
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Step 1
Concept
(A) में (8) समुच्चय हैं, इसलिए (8) विकर्ण युग्म चाहिए। / (A) has (8) sets, so (8) diagonal pairs are needed.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण पर \(X\cap X=X\), जो रिक्त तभी है जब \(X=\varnothing\)। / On the diagonal, \(X\cap X=X\), which is empty only when \(X=\varnothing\).
Step 3
Exam Tip
एक विकर्ण युग्म पहले से है, इसलिए (8-1=7) जोड़ने होंगे। / One diagonal pair is already present, so (8-1=7) must be added.
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यदि \(S=\{1,2,3\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) है। (A) पर \(R=\{(X,Y):X\subseteq Y\}\) है। (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?
If \(S=\{1,2,3\}\) and (A=\mathcal{P}(S)). On (A), \(R=\{(X,Y):X\subseteq Y\}\). How many diagonal pairs are in (R)?
#reflexive relation
#power set
#subset
A 3
B 6
C 8
D 9
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Step 1
Concept
(\mathcal{P}(S)) में \(2^3=8\) तत्व होते हैं। / (\mathcal{P}(S)) has \(2^3=8\) elements.
Step 2
Why this answer is correct
हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है, इसलिए हर ((X,X)) संबंध में है। / Every set is a subset of itself, so every ((X,X)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
अतः विकर्ण युग्मों की संख्या (8) है। / Therefore the number of diagonal pairs is (8).
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समुच्चय \(S=\{1,2,3,4\}\) के घात समुच्चय पर (XRY) जब \(X\subseteq Y\)। इस संबंध में कुल कितने युग्म होंगे?
On the power set of \(S=\{1,2,3,4\}\), (XRY) when \(X\subseteq Y\). How many total pairs will this relation have?
#power set
#subset relation
#total pairs
#hard
A 64
B 81
C 16
D 256
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(X\subseteq Y\) के लिए हर मूल तत्व की तीन स्थितियां हो सकती हैं: केवल (Y) में, दोनों में, या किसी में नहीं। / For \(X\subseteq Y\), each basic element has three choices: in (Y) only, in both, or in neither.
Step 2
Why this answer is correct
केवल (X) में होना संभव नहीं है। / Being in (X) only is not allowed.
Step 3
Exam Tip
4 मूल तत्वों के लिए कुल \(3^4=81\) युग्म होंगे। / For 4 basic elements, the total number of pairs is \(3^4=81\).
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समुच्चय \(S=\{1,2,3,4\}\) के घात समुच्चय पर (XRY) जब \(X\subseteq Y\)। इस संबंध में परावर्ती युग्मों की संख्या कितनी है?
On the power set of \(S=\{1,2,3,4\}\), (XRY) when \(X\subseteq Y\). How many reflexive pairs are in this relation?
#power set
#self pairs
#reflexive relation
#class 12
A 16
B 4
C 64
D 81
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
घात समुच्चय में \(2^4=16\) तत्व होते हैं। / The power set has \(2^4=16\) elements.
Step 2
Why this answer is correct
परावर्ती युग्म हर तत्व (X) के लिए ((X,X)) होता है। / A reflexive pair is ((X,X)) for each element (X) of the power set.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परावर्ती युग्मों की संख्या घात समुच्चय के तत्वों की संख्या के बराबर 16 है। / Hence the number of reflexive pairs is 16.
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यदि \(S=\{1,2,3\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) है। (A) पर \(R=\{(X,Y):X\triangle Y=\varnothing\}\) है। (R) के लिए सही कथन चुनिए।
If \(S=\{1,2,3\}\) and (A=\mathcal{P}(S)). On (A), \(R=\{(X,Y):X\triangle Y=\varnothing\}\). Choose the correct statement about (R).
#reflexive relation
#symmetric difference
#power set
A (R) प्रतिवर्ती है / (R) is reflexive
B (R) प्रतिवर्ती नहीं है / (R) is not reflexive
C (R) में कोई युग्म नहीं है / (R) has no pair
D (R) केवल रिक्त समुच्चय पर है / (R) is only for empty set
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (R) प्रतिवर्ती है / (R) is reflexive
Step 1
Concept
विकर्ण पर \(X\triangle X=\varnothing\) होता है। / On the diagonal, \(X\triangle X=\varnothing\).
Step 2
Why this answer is correct
किसी समुच्चय का स्वयं से सममित अंतर रिक्त समुच्चय होता है। / The symmetric difference of a set with itself is the empty set.
Step 3
Exam Tip
सममित अंतर वाले संबंध में समान समुच्चय रखने से प्रतिवर्तिता स्पष्ट हो जाती है। / For symmetric-difference relations, checking equal sets quickly proves reflexivity.
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यदि \(S=\{1,2\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) है। (A) पर \(R=\{(X,Y):X\cup Y=S\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे?
If \(S=\{1,2\}\) and (A=\mathcal{P}(S)). On (A), \(R=\{(X,Y):X\cup Y=S\}\). How many diagonal pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#power set
#union
A 1
B 2
C 3
D 4
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(A=\mathcal{P}(S)) में (4) तत्व हैं। / (A=\mathcal{P}(S)) has (4) elements.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण पर \(X\cup X=X\), जो (S) के बराबर केवल (X=S) पर है। / On the diagonal, \(X\cup X=X\), which equals (S) only when (X=S).
Step 3
Exam Tip
चार में से एक विकर्ण युग्म पहले से है, इसलिए (3) जोड़ने होंगे। / One diagonal pair is already present, so (3) must be added.
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यदि \(S=\{1,2,3\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) है। (A) पर \(R=\{(X,Y):X\cap Y=X\}\) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?
If \(S=\{1,2,3\}\) and (A=\mathcal{P}(S)). On (A), \(R=\{(X,Y):X\cap Y=X\}\). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#power set
#intersection
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल रिक्त समुच्चय पर / Only for empty set
D केवल (S) पर / Only for (S)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
((X,X)) रखने पर \(X\cap X=X\) मिलता है। / For ((X,X)), the condition becomes \(X\cap X=X\).
Step 2
Why this answer is correct
किसी समुच्चय का स्वयं से प्रतिच्छेद वही समुच्चय होता है। / The intersection of a set with itself is the same set.
Step 3
Exam Tip
समुच्चय संक्रियाओं में विकर्ण पर समान समुच्चय रखकर जांचें। / In set-operation relations, substitute the same set on the diagonal.
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समुच्चय \(S=\{1,2,3\}\) के घात समुच्चय पर (XRY) जब \(X\subset Y\)। (R) को परावर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On the power set of \(S=\{1,2,3\}\), (XRY) when \(X\subset Y\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#proper subset
#power set
#make reflexive
#hard
A 8
B 7
C 27
D 1
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व हैं। / The power set has \(2^3=8\) elements.
Step 2
Why this answer is correct
वास्तविक उपसमुच्चय संबंध में कोई भी ((X,X)) शामिल नहीं होता। / In the proper subset relation, no pair ((X,X)) is included.
Step 3
Exam Tip
परावर्ती बनाने के लिए हर (X) के लिए ((X,X)) जोड़ना होगा, इसलिए 8 युग्म जोड़ने होंगे। / To make it reflexive, add ((X,X)) for every (X), so 8 pairs must be added.
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समुच्चय \(S=\{1,2,3\}\) के घात समुच्चय पर (XRY) जब \(X\subseteq Y\)। इस संबंध में कुल कितने युग्म होंगे?
On the power set of \(S=\{1,2,3\}\), (XRY) when \(X\subseteq Y\). How many total pairs will this relation have?
#power set
#subset relation
#pair count
#reflexive relation
A 27
B 8
C 16
D 64
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
हर मूल तत्व के लिए तीन स्थितियां संभव हैं: केवल (Y) में, दोनों में, या किसी में नहीं। / For each basic element, there are three possibilities: in (Y) only, in both, or in neither.
Step 2
Why this answer is correct
\(X\subseteq Y\) होने पर केवल (X) में होने की स्थिति संभव नहीं है। / Being in (X) only is not allowed because \(X\subseteq Y\).
Step 3
Exam Tip
3 मूल तत्वों के लिए \(3^3=27\) युग्म बनते हैं और संबंध परावर्ती है। / For 3 basic elements, this gives \(3^3=27\) pairs, and the relation is reflexive.
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किसी समुच्चय (A) के घात समुच्चय (P(A)) पर संबंध \(R=\{(X,Y):X \subseteq Y\}\) दिया है। (R) कैसा है?
On the power set (P(A)) of a set (A), the relation \(R=\{(X,Y):X \subseteq Y\}\) is given. What is (R)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#power_set
#subset
#hard
A स्ववाची, क्योंकि \(X \subseteq X\) होता है / Reflexive because \(X \subseteq X\)
B स्ववाची नहीं, क्योंकि कोई समुच्चय अपने बराबर नहीं होता / Not reflexive because no set equals itself
C स्ववाची केवल रिक्त समुच्चय के लिए / Reflexive only for the empty set
D स्ववाची केवल एक अवयव वाले समुच्चय के लिए / Reflexive only for singleton sets
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Correct Answer
A. स्ववाची, क्योंकि \(X \subseteq X\) होता है / Reflexive because \(X \subseteq X\)
Step 1
Concept
(P(A)) का हर अवयव स्वयं एक समुच्चय है। / Each element of (P(A)) is itself a set.
Step 2
Why this answer is correct
हर समुच्चय (X) के लिए \(X \subseteq X\) सत्य है। / For every set (X), \(X \subseteq X\) is true.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय और उचित उपसमुच्चय में अंतर याद रखें। / Remember the difference between subset and proper subset.
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समुच्चय \(S=\{1,2,3\}\) के सभी उपसमुच्चयों के परिवार पर (R) इस प्रकार है कि (XRY) जब \(X\subseteq Y\)। (R) परावर्ती है या नहीं?
On the family of all subsets of \(S=\{1,2,3\}\), (R) is defined by (XRY) when \(X\subseteq Y\). Is (R) reflexive?
#subset relation
#power set
#reflexive relation
#medium
A हाँ, क्योंकि हर (X) के लिए \(X\subseteq X\) / Yes, because \(X\subseteq X\) for every (X)
B नहीं, क्योंकि कोई समुच्चय अपने में नहीं होता / No, because no set is contained in itself
C नहीं, क्योंकि \(\varnothing\subseteq X\) / No, because \(\varnothing\subseteq X\)
D केवल (S) के लिए / Only for (S)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ, क्योंकि हर (X) के लिए \(X\subseteq X\) / Yes, because \(X\subseteq X\) for every (X)
Step 1
Concept
यहां तत्व साधारण संख्याएं नहीं, बल्कि उपसमुच्चय हैं। / Here the elements are subsets, not ordinary numbers.
Step 2
Why this answer is correct
हर उपसमुच्चय (X) अपने-आप का उपसमुच्चय होता है, इसलिए (XRX) सत्य है। / Every subset (X) is a subset of itself, so (XRX) is true.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय संबंध में आधार परिवार को ध्यान से पढ़ें। / In subset relations, read the base family carefully.
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