Its equivalence class contains all subsets of (A) having exactly (2) elements.
Step 3
Exam Tip
The number of such subsets is \(\binom{4}{2}=6\), so order should not be counted. चरण 1: ({1,2}) में (2) अवयव हैं। चरण 2: इसके तुल्यता वर्ग में (A) के वे सभी उपसमुच्चय होंगे जिनमें ठीक (2) अवयव हों। चरण 3: ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{4}{2}=6\) होती है, इसलिए गिनती में क्रम नहीं मानना चाहिए।
The condition \(X\setminus X=X\) holds only when \(X=\varnothing\).
Step 3
Exam Tip
Hence only (\(\varnothing,\varnothing\)) is a diagonal pair. चरण 1: विकर्ण पर \(X\setminus X=\varnothing\) होता है। चरण 2: शर्त \(X\setminus X=X\) तभी सत्य होगी जब \(X=\varnothing\)। चरण 3: इसलिए केवल (\(\varnothing,\varnothing\)) विकर्ण युग्म है।
यदि \(S=\{1,2,3\}\) और \(A=\mathcal{P}(S)\) है। \(A\) पर संबंध
\[
R=\{(X,Y):X,Y\in A \text{ तथा } X\cup Y=S\}
\]
परिभाषित है। \(R\) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे?
(\mathcal{P}(S)) has (8) elements, so (8) diagonal pairs are needed.
Step 2
Why this answer is correct
On the diagonal, \(X\cup X=X\), which equals (S) only when (X=S).
Step 3
Exam Tip
One diagonal pair is already present, so (7) must be added. चरण 1: (\mathcal{P}(S)) में (8) तत्व हैं, इसलिए (8) विकर्ण युग्म चाहिए। चरण 2: विकर्ण पर \(X\cup X=X\), जो (S) के बराबर केवल (X=S) पर है। चरण 3: एक विकर्ण युग्म पहले से है, इसलिए (7) जोड़ने होंगे।
Hence every diagonal pair satisfies the condition. चरण 1: प्रतिवर्तिता के लिए (Y=X) रखें। चरण 2: तब \(X\cup X=X\) और यही (Y) है। चरण 3: इसलिए हर विकर्ण युग्म शर्त पूरी करता है।
Therefore every ((X,X)) belongs to the relation, so (R) is reflexive. चरण 1: विकर्ण पर (Y=X) रखें। चरण 2: तब \(X\cap X=X\) मिलेगा, जो हर समुच्चय के लिए सत्य है। चरण 3: इसलिए सभी ((X,X)) संबंध में हैं और (R) प्रतिवर्ती है।
The number of reflexive relations on (A) is \(2^{16^2-16}\).
Step 3
Exam Tip
Since \(16^2-16=240\), the answer is \(2^{240}\). चरण 1: (A=\mathcal{P}(S)) में \(2^4=16\) तत्व हैं। चरण 2: (A) पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{16^2-16}\) होगी। चरण 3: \(16^2-16=256-16=240\), इसलिए उत्तर \(2^{240}\) है।
The condition \(X\triangle X=X\) holds only when \(X=\varnothing\).
Step 3
Exam Tip
Hence only (\(\varnothing,\varnothing\)) is a diagonal pair. चरण 1: विकर्ण पर \(X\triangle X=\varnothing\) होता है। चरण 2: शर्त \(X\triangle X=X\) तभी सत्य होगी जब \(X=\varnothing\)। चरण 3: इसलिए केवल (\(\varnothing,\varnothing\)) विकर्ण युग्म है।
Therefore all diagonal pairs are in the relation. चरण 1: विकर्ण पर \(X\setminus X=\varnothing\) होता है। चरण 2: किसी समुच्चय से वही समुच्चय हटाने पर रिक्त समुच्चय मिलता है। चरण 3: इसलिए सभी विकर्ण युग्म संबंध में हैं।
Hence every ((X,X)) belongs to the relation. चरण 1: प्रतिवर्ती जांच में (Y=X) रखें। चरण 2: तब \(X\cup X=X\), जो हर समुच्चय के लिए सत्य है। चरण 3: इसलिए हर ((X,X)) संबंध में है।
(A) has (8) sets, so (8) diagonal pairs are needed.
Step 2
Why this answer is correct
On the diagonal, \(X\cap X=X\), which is empty only when \(X=\varnothing\).
Step 3
Exam Tip
One diagonal pair is already present, so (8-1=7) must be added. चरण 1: (A) में (8) समुच्चय हैं, इसलिए (8) विकर्ण युग्म चाहिए। चरण 2: विकर्ण पर \(X\cap X=X\), जो रिक्त तभी है जब \(X=\varnothing\)। चरण 3: एक विकर्ण युग्म पहले से है, इसलिए (8-1=7) जोड़ने होंगे।
Every set is a subset of itself, so every ((X,X)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
Therefore the number of diagonal pairs is (8). चरण 1: (\mathcal{P}(S)) में \(2^3=8\) तत्व होते हैं। चरण 2: हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है, इसलिए हर ((X,X)) संबंध में है। चरण 3: अतः विकर्ण युग्मों की संख्या (8) है।
For \(X\subseteq Y\), each basic element has three choices: in (Y) only, in both, or in neither.
Step 2
Why this answer is correct
Being in (X) only is not allowed.
Step 3
Exam Tip
For 4 basic elements, the total number of pairs is \(3^4=81\). चरण 1: \(X\subseteq Y\) के लिए हर मूल तत्व की तीन स्थितियां हो सकती हैं: केवल (Y) में, दोनों में, या किसी में नहीं। चरण 2: केवल (X) में होना संभव नहीं है। चरण 3: 4 मूल तत्वों के लिए कुल \(3^4=81\) युग्म होंगे।
A reflexive pair is ((X,X)) for each element (X) of the power set.
Step 3
Exam Tip
Hence the number of reflexive pairs is 16. चरण 1: घात समुच्चय में \(2^4=16\) तत्व होते हैं। चरण 2: परावर्ती युग्म हर तत्व (X) के लिए ((X,X)) होता है। चरण 3: इसलिए परावर्ती युग्मों की संख्या घात समुच्चय के तत्वों की संख्या के बराबर 16 है।
The symmetric difference of a set with itself is the empty set.
Step 3
Exam Tip
For symmetric-difference relations, checking equal sets quickly proves reflexivity. चरण 1: विकर्ण पर \(X\triangle X=\varnothing\) होता है। चरण 2: किसी समुच्चय का स्वयं से सममित अंतर रिक्त समुच्चय होता है। चरण 3: सममित अंतर वाले संबंध में समान समुच्चय रखने से प्रतिवर्तिता स्पष्ट हो जाती है।
On the diagonal, \(X\cup X=X\), which equals (S) only when (X=S).
Step 3
Exam Tip
One diagonal pair is already present, so (3) must be added. चरण 1: (A=\mathcal{P}(S)) में (4) तत्व हैं। चरण 2: विकर्ण पर \(X\cup X=X\), जो (S) के बराबर केवल (X=S) पर है। चरण 3: चार में से एक विकर्ण युग्म पहले से है, इसलिए (3) जोड़ने होंगे।
The intersection of a set with itself is the same set.
Step 3
Exam Tip
In set-operation relations, substitute the same set on the diagonal. चरण 1: ((X,X)) रखने पर \(X\cap X=X\) मिलता है। चरण 2: किसी समुच्चय का स्वयं से प्रतिच्छेद वही समुच्चय होता है। चरण 3: समुच्चय संक्रियाओं में विकर्ण पर समान समुच्चय रखकर जांचें।
In the proper subset relation, no pair ((X,X)) is included.
Step 3
Exam Tip
To make it reflexive, add ((X,X)) for every (X), so 8 pairs must be added. चरण 1: घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व हैं। चरण 2: वास्तविक उपसमुच्चय संबंध में कोई भी ((X,X)) शामिल नहीं होता। चरण 3: परावर्ती बनाने के लिए हर (X) के लिए ((X,X)) जोड़ना होगा, इसलिए 8 युग्म जोड़ने होंगे।
For each basic element, there are three possibilities: in (Y) only, in both, or in neither.
Step 2
Why this answer is correct
Being in (X) only is not allowed because \(X\subseteq Y\).
Step 3
Exam Tip
For 3 basic elements, this gives \(3^3=27\) pairs, and the relation is reflexive. चरण 1: हर मूल तत्व के लिए तीन स्थितियां संभव हैं: केवल (Y) में, दोनों में, या किसी में नहीं। चरण 2: \(X\subseteq Y\) होने पर केवल (X) में होने की स्थिति संभव नहीं है। चरण 3: 3 मूल तत्वों के लिए \(3^3=27\) युग्म बनते हैं और संबंध परावर्ती है।
A. स्ववाची, क्योंकि \(X \subseteq X\) होता है/Reflexive because \(X \subseteq X\)
Step 1
Concept
Each element of (P(A)) is itself a set.
Step 2
Why this answer is correct
For every set (X), \(X \subseteq X\) is true.
Step 3
Exam Tip
Remember the difference between subset and proper subset. चरण 1: (P(A)) का हर अवयव स्वयं एक समुच्चय है। चरण 2: हर समुच्चय (X) के लिए \(X \subseteq X\) सत्य है। चरण 3: उपसमुच्चय और उचित उपसमुच्चय में अंतर याद रखें।
A. हाँ, क्योंकि हर (X) के लिए \(X\subseteq X\)/Yes, because \(X\subseteq X\) for every (X)
Step 1
Concept
Here the elements are subsets, not ordinary numbers.
Step 2
Why this answer is correct
Every subset (X) is a subset of itself, so (XRX) is true.
Step 3
Exam Tip
In subset relations, read the base family carefully. चरण 1: यहां तत्व साधारण संख्याएं नहीं, बल्कि उपसमुच्चय हैं। चरण 2: हर उपसमुच्चय (X) अपने-आप का उपसमुच्चय होता है, इसलिए (XRX) सत्य है। चरण 3: उपसमुच्चय संबंध में आधार परिवार को ध्यान से पढ़ें।
