On the diagonal, (a+b=2a), which is divisible by (4) only when (a) is even, so ((2,2),(4,4),(6,6)) are already present.
Step 3
Exam Tip
The missing diagonal pairs are ((1,1),(3,3),(5,5)), so (3) pairs are needed. चरण 1: प्रतिवर्ती होने के लिए हर ((a,a)) संबंध में होना चाहिए। चरण 2: विकर्ण पर (a+b=2a) होगा, जो (4) से तभी विभाज्य है जब (a) सम हो। इसलिए ((2,2),(4,4),(6,6)) पहले से हैं। चरण 3: बाकी ((1,1),(3,3),(5,5)) जोड़ने होंगे, इसलिए उत्तर (3) है।
Divisibility by (5) requires \(a^2\) to be divisible by (5), which happens only for (a=5) in the set.
Step 3
Exam Tip
Hence only ((5,5)) is a diagonal pair in (R). चरण 1: विकर्ण युग्म के लिए \(a^2+b^2=2a^2\) होगा। चरण 2: (5) से विभाज्यता के लिए \(a^2\) का (5) से विभाज्य होना जरूरी है, जो केवल (a=5) पर होता है। चरण 3: इसलिए केवल ((5,5)) विकर्ण युग्म संबंध में है।
A. हर (a) के लिए \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\)/For every (a), \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\)
Step 1
Concept
To test reflexivity, check ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
The condition becomes \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\), which is true for every element.
Step 3
Exam Tip
Equality or same-remainder conditions usually include all diagonal pairs. चरण 1: प्रतिवर्तिता के लिए ((a,a)) को जांचते हैं। चरण 2: तब शर्त \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\) बनती है, जो हर तत्व के लिए सत्य है। चरण 3: समानता या समान शेषफल वाली शर्त में विकर्ण युग्म सामान्यतः तुरंत मिल जाते हैं।
On the diagonal, put (b=a), giving \(a\equiv 2a \pmod{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
This means \(a\equiv 0 \pmod{3}\), so only (a=3,6) already work.
Step 3
Exam Tip
Since (6) diagonal pairs are required, (6-2=4) must be added. चरण 1: विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a\equiv 2a \pmod{3}\) मिलेगा। चरण 2: इसका अर्थ \(a\equiv 0 \pmod{3}\) है, इसलिए केवल (a=3,6) के विकर्ण युग्म पहले से हैं। चरण 3: कुल (6) विकर्ण युग्म चाहिए, अतः (6-2=4) जोड़ने होंगे।
On the diagonal, put (b=a), giving (a-2-a=a(a-1)).
Step 2
Why this answer is correct
The product of two consecutive integers is always even.
Step 3
Exam Tip
Therefore every ((a,a)) belongs to the relation, so it is reflexive. चरण 1: विकर्ण पर (b=a) रखने से (a-2-a=a(a-1)) मिलता है। चरण 2: लगातार दो पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा सम होता है। चरण 3: इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है और संबंध प्रतिवर्ती है।
Rearranging gives \(a^2-a-1=0\), but checking the given finite set shows the condition holds for (a=1) and (a=2).
Step 3
Exam Tip
Thus the diagonal pairs are ((1,1)) and ((2,2)). चरण 1: विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a^2+a=2a+1\) मिलेगा। चरण 2: इसे सरल करने पर \(a^2-a-1=0\) नहीं, बल्कि सीधे जांचना बेहतर है: (a=1) और (a=2) पर शर्त सत्य है। चरण 3: इसलिए ((1,1)) और ((2,2)) ही विकर्ण युग्म हैं।
Both sides become \(a^2-a\), so the equality is true for every (a).
Step 3
Exam Tip
If both sides become the same expression on the diagonal, all diagonal pairs are included. चरण 1: प्रतिवर्ती जांच के लिए (b=a) रखें। चरण 2: तब दोनों ओर \(a^2-a\) ही मिलेगा, इसलिए समानता हर (a) के लिए सत्य है। चरण 3: जब दोनों ओर एक ही व्यंजक बन जाए, तो विकर्ण युग्म निश्चित रूप से शामिल होते हैं।
The condition is true for (a>1), but for (a=1), (\gcd(1,1)=1).
Step 3
Exam Tip
Hence only ((1,1)) must be added. चरण 1: विकर्ण पर (\gcd(a,a)=a) होता है। चरण 2: (a>1) के लिए शर्त सत्य है, पर (a=1) पर (\gcd(1,1)=1) है। चरण 3: इसलिए केवल ((1,1)) जोड़ना होगा।
Every element of (A) is less than or equal to (12).
Step 3
Exam Tip
Therefore every diagonal pair satisfies the condition, so (R) is reflexive. चरण 1: विकर्ण पर (\operatorname{lcm}(a,a)=a) होता है। चरण 2: दिए गए (A) का हर तत्व (12) से छोटा या बराबर है। चरण 3: इसलिए हर विकर्ण युग्म शर्त पूरी करता है और (R) प्रतिवर्ती है।
The condition is true when (a<6), so (a=2,3,4,5) work.
Step 3
Exam Tip
(a=6) fails, so there are (4) diagonal pairs. चरण 1: विकर्ण पर (\operatorname{lcm}(a,a)=a) होगा। चरण 2: (a<6) होने पर शर्त सत्य है, इसलिए (a=2,3,4,5) काम करेंगे। चरण 3: (a=6) असफल है, अतः (4) विकर्ण युग्म हैं।
Every (a) divides itself, so both \(a\mid a\) and \(a\mid a\) are true.
Step 3
Exam Tip
In an and condition, both parts hold on the diagonal. चरण 1: प्रतिवर्तिता के लिए ((a,a)) जांचें। चरण 2: हर (a) स्वयं को विभाजित करता है, इसलिए \(a\mid a\) और \(a\mid a\) दोनों सत्य हैं। चरण 3: और वाली शर्त में दोनों भाग विकर्ण पर सत्य हैं।
On the diagonal, the condition becomes \(a\mid a+1\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (a) and (a+1) differ by (1), this holds only for (a=1).
Step 3
Exam Tip
Hence only ((1,1)) is a diagonal pair in the relation. चरण 1: विकर्ण पर शर्त \(a\mid a+1\) बनती है। चरण 2: (a) और (a+1) में अंतर (1) है, इसलिए \(a\mid a+1\) केवल (a=1) पर सत्य है। चरण 3: अतः केवल ((1,1)) विकर्ण युग्म संबंध में है।
On the diagonal, put (b=a), giving \(a+1\mid a+1\).
Step 2
Why this answer is correct
Any non-zero number divides itself.
Step 3
Exam Tip
Therefore all diagonal pairs are included, so the relation is reflexive. चरण 1: विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a+1\mid a+1\) मिलता है। चरण 2: कोई भी अशून्य संख्या स्वयं को विभाजित करती है। चरण 3: इसलिए सभी विकर्ण युग्म शामिल हैं और संबंध प्रतिवर्ती है।
\(2a^2\leq4\) gives \(a^2\leq2\), so (a=-1,0,1) work.
Step 3
Exam Tip
The missing diagonal pairs are ((-2,-2)) and ((2,2)), so (2) pairs are needed. चरण 1: विकर्ण पर \(a^2+b^2=2a^2\) होगा। चरण 2: \(2a^2\leq4\) से \(a^2\leq2\) मिलता है, इसलिए (a=-1,0,1) काम करते हैं। चरण 3: ((-2,-2)) और ((2,2)) गायब हैं, इसलिए (2) युग्म जोड़ने होंगे।
Then \(ab=a^2\), so the condition becomes \(a^2\leq a^2\), which is true.
Step 3
Exam Tip
Equality is included in \(\leq\), so every diagonal pair works. चरण 1: प्रतिवर्तिता के लिए (b=a) रखें। चरण 2: तब \(ab=a^2\) होगा, इसलिए शर्त \(a^2\leq a^2\) बनती है, जो सत्य है। चरण 3: बराबरी वाली स्थिति भी \(\leq\) में शामिल होती है।
The condition becomes \(a^2<a^2\), which is false for every (a).
Step 3
Exam Tip
Strict inequalities fail when both sides become equal on the diagonal. चरण 1: विकर्ण पर (b=a) रखने से \(ab=a^2\) मिलेगा। चरण 2: शर्त \(a^2<a^2\) बनती है, जो किसी भी (a) के लिए सत्य नहीं है। चरण 3: कड़ी असमानता में बराबर मान विकर्ण युग्मों को असफल कर देते हैं।
The condition becomes \(0^2\leq0\), i.e. \(0\leq0\), which is true.
Step 3
Exam Tip
Therefore all four diagonal pairs are in the relation. चरण 1: विकर्ण पर (a-b=0) होगा। चरण 2: शर्त \(0^2\leq0\), यानी \(0\leq0\), सत्य है। चरण 3: इसलिए चारों ((a,a)) युग्म संबंध में हैं।
Absolute value is non-negative, so this is true exactly when (a=b).
Step 3
Exam Tip
All ((a,a)) pairs are present, so the relation is reflexive. चरण 1: दी गई शर्त से \(|a-b|\leq0\) मिलता है। चरण 2: निरपेक्ष मान शून्य या धनात्मक होता है, इसलिए यह तभी सत्य है जब (a=b)। चरण 3: सभी ((a,a)) युग्म मिलते हैं, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है।
(0) is not positive, so no diagonal pair belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
A reflexive relation needs all diagonal pairs, so this relation is not reflexive. चरण 1: विकर्ण पर (|a-a|=0) होता है। चरण 2: (0) धनात्मक नहीं है, इसलिए कोई भी विकर्ण युग्म संबंध में नहीं है। चरण 3: प्रतिवर्ती संबंध में सभी विकर्ण युग्म चाहिए, इसलिए यह प्रतिवर्ती नहीं है।
A. क्योंकि (|a-a|=0) और (0) सम है/Because (|a-a|=0) and (0) is even
Step 1
Concept
In a diagonal pair, both elements are the same.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (|a-a|=0), and (0) is even.
Step 3
Exam Tip
Hence every ((a,a)) belongs to the relation. चरण 1: विकर्ण युग्म में दोनों तत्व समान होते हैं। चरण 2: इसलिए (|a-a|=0), और (0) सम संख्या है। चरण 3: इसी कारण हर ((a,a)) संबंध में है।
The condition also requires \(a\neq b\), so no diagonal pair can be in (R).
Step 3
Exam Tip
For four elements, all four diagonal pairs must be added. चरण 1: विकर्ण युग्मों में (a=b) होता है। चरण 2: दी गई शर्त में \(a\neq b\) भी चाहिए, इसलिए कोई विकर्ण युग्म (R) में नहीं हो सकता। चरण 3: चार तत्वों के लिए चारों विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे।
Therefore every ((a,a)) belongs to (R), so it is reflexive. चरण 1: विकर्ण पर हमेशा (a=b) सत्य होता है। चरण 2: या वाली शर्त में एक भाग सत्य हो तो पूरा कथन सत्य हो जाता है। चरण 3: इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है और (R) प्रतिवर्ती है।
In an and condition, both parts must be true, so the relation is not reflexive. चरण 1: विकर्ण पर (a=b) तो सत्य है। चरण 2: लेकिन (a+b=2a) हमेशा सम होता है, विषम नहीं। चरण 3: और वाली शर्त में दोनों भाग सत्य होने चाहिए, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती नहीं है।
In an or condition, one true part includes every diagonal pair. चरण 1: विकर्ण पर \(a\neq b\) असत्य है। चरण 2: लेकिन (a+b=2a) सम है, इसलिए दूसरा भाग सत्य है। चरण 3: या वाली शर्त में एक भाग सत्य होने से हर विकर्ण युग्म शामिल है।
समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध (R) में \(A\times A\) के सभी युग्म हैं सिवाय ((1,1)) और ((2,2)) के। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
The relation has ((3,3)), but misses ((1,1)) and ((2,2)).
Step 3
Exam Tip
Therefore (2) pairs must be added. चरण 1: प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) चाहिए। चरण 2: संबंध में ((3,3)) है, लेकिन ((1,1)) और ((2,2)) नहीं हैं। चरण 3: इसलिए (2) युग्म जोड़ने होंगे।
On a four-element set, (4) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
To have exactly (7) pairs, choose (3) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
There are (16-4=12) non-diagonal pairs, so the number is \(\binom{12}{3}\). चरण 1: चार तत्वों पर (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल (7) युग्म चाहिए, इसलिए (3) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। चरण 3: अविकर्ण युग्म (16-4=12) हैं, इसलिए संख्या \(\binom{12}{3}\) है।
On a five-element set, the minimum reflexive relation has (5) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Having (6) more pairs means choosing (6) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
There are (25-5=20) non-diagonal pairs, so the count is \(\binom{20}{6}\). चरण 1: पांच तत्वों पर न्यूनतम प्रतिवर्ती संबंध में (5) विकर्ण युग्म होते हैं। चरण 2: न्यूनतम से (6) अधिक युग्म का मतलब (6) अविकर्ण युग्म चुनना है। चरण 3: अविकर्ण युग्म (25-5=20) हैं, इसलिए संख्या \(\binom{20}{6}\) है।
A reflexive relation must contain (n) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
To have exactly (n+2) pairs, choose (2) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
Since there are \(n^2-n\) non-diagonal pairs, the number is \(\binom{n^2-n}{2}\). चरण 1: प्रतिवर्ती संबंध में (n) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: ठीक (n+2) युग्म चाहिए, इसलिए (2) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। चरण 3: अविकर्ण युग्म \(n^2-n\) हैं, अतः संख्या \(\binom{n^2-n}{2}\) है।
On a three-element set, the number of reflexive relations is \(2^{9-3}=2^6=64\).
Step 2
Why this answer is correct
This count includes the universal relation.
Step 3
Exam Tip
Excluding the universal relation gives (64-1=63). चरण 1: तीन तत्वों पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{9-3}=2^6=64\) है। चरण 2: इनमें सार्वत्रिक संबंध भी शामिल है। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध हटाने पर (64-1=63) संबंध बचते हैं।
On a four-element set, the number of reflexive relations is \(2^{16-4}=2^{12}\).
Step 2
Why this answer is correct
The identity relation is one of them.
Step 3
Exam Tip
Removing it leaves \(2^{12}-1\) relations. चरण 1: चार तत्वों पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{16-4}=2^{12}\) है। चरण 2: पहचान संबंध भी प्रतिवर्ती है। चरण 3: पहचान संबंध को हटाने पर \(2^{12}-1\) संबंध मिलते हैं।
Among the (12) non-diagonal pairs, ((1,2)) is compulsory and ((2,1)) is forbidden.
Step 3
Exam Tip
The remaining (10) non-diagonal pairs are optional, giving \(2^{10}\) relations. चरण 1: (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: (12) अविकर्ण युग्मों में से ((1,2)) अनिवार्य है और ((2,1)) वर्जित है। चरण 3: बाकी (10) अविकर्ण युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{10}\) है।
On a three-element set, there are \(2^6=64\) reflexive relations.
Step 2
Why this answer is correct
The only one with no non-diagonal pair is the identity relation.
Step 3
Exam Tip
Hence the number with at least one non-diagonal pair is (64-1=63). चरण 1: तीन तत्वों पर कुल प्रतिवर्ती संबंध \(2^6=64\) हैं। चरण 2: जिनमें कोई अविकर्ण युग्म नहीं है, वह केवल पहचान संबंध है। चरण 3: इसलिए कम-से-कम एक अविकर्ण युग्म वाले संबंध (64-1=63) होंगे।
To have (9) total pairs, choose (5) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
Choosing (5) from (12) non-diagonal pairs gives \(\binom{12}{5}\). चरण 1: चार विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल (9) युग्म के लिए (5) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। चरण 3: (12) अविकर्ण युग्मों में से (5) चुनने के तरीके \(\binom{12}{5}\) हैं।
A reflexive relation must contain all five diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
If no non-diagonal pair is allowed, the relation is exactly the identity relation.
Step 3
Exam Tip
Therefore only (1) such relation exists. चरण 1: प्रतिवर्ती संबंध में पांचों विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कोई अविकर्ण युग्म न होने पर संबंध केवल पहचान संबंध होगा। चरण 3: ऐसा संबंध केवल (1) है।
Exactly two non-diagonal pairs are missing while all diagonal pairs are present.
Step 3
Exam Tip
Hence the total number of pairs is (16-2=14). चरण 1: \(A\times A\) में कुल (16) युग्म हैं। चरण 2: केवल दो अविकर्ण युग्म अनुपस्थित हैं और सभी विकर्ण युग्म मौजूद हैं। चरण 3: इसलिए कुल युग्म (16-2=14) होंगे।
Every set is a subset of itself, so every ((X,X)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
Therefore the number of diagonal pairs is (8). चरण 1: (\mathcal{P}(S)) में \(2^3=8\) तत्व होते हैं। चरण 2: हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है, इसलिए हर ((X,X)) संबंध में है। चरण 3: अतः विकर्ण युग्मों की संख्या (8) है।
(A) has (8) sets, so (8) diagonal pairs are needed.
Step 2
Why this answer is correct
On the diagonal, \(X\cap X=X\), which is empty only when \(X=\varnothing\).
Step 3
Exam Tip
One diagonal pair is already present, so (8-1=7) must be added. चरण 1: (A) में (8) समुच्चय हैं, इसलिए (8) विकर्ण युग्म चाहिए। चरण 2: विकर्ण पर \(X\cap X=X\), जो रिक्त तभी है जब \(X=\varnothing\)। चरण 3: एक विकर्ण युग्म पहले से है, इसलिए (8-1=7) जोड़ने होंगे।
Hence every ((X,X)) belongs to the relation. चरण 1: प्रतिवर्ती जांच में (Y=X) रखें। चरण 2: तब \(X\cup X=X\), जो हर समुच्चय के लिए सत्य है। चरण 3: इसलिए हर ((X,X)) संबंध में है।
Therefore all diagonal pairs are in the relation. चरण 1: विकर्ण पर \(X\setminus X=\varnothing\) होता है। चरण 2: किसी समुच्चय से वही समुच्चय हटाने पर रिक्त समुच्चय मिलता है। चरण 3: इसलिए सभी विकर्ण युग्म संबंध में हैं।
The or condition includes every ((X,X)) through the equality part.
Step 3
Exam Tip
Therefore the relation is reflexive. चरण 1: विकर्ण पर (X=Y) सत्य होता है। चरण 2: या वाली शर्त में (X=Y) वाला भाग हर ((X,X)) को शामिल कर देता है। चरण 3: इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है।
The condition \(X\triangle X=X\) holds only when \(X=\varnothing\).
Step 3
Exam Tip
Hence only (\(\varnothing,\varnothing\)) is a diagonal pair. चरण 1: विकर्ण पर \(X\triangle X=\varnothing\) होता है। चरण 2: शर्त \(X\triangle X=X\) तभी सत्य होगी जब \(X=\varnothing\)। चरण 3: इसलिए केवल (\(\varnothing,\varnothing\)) विकर्ण युग्म है।
Missing even one diagonal pair makes the relation non-reflexive. चरण 1: प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1)) भी संबंध में होना चाहिए। चरण 2: (1) का (1) से बड़ा कोई गुणनखंड नहीं है। चरण 3: एक विकर्ण युग्म गायब होने से संबंध प्रतिवर्ती नहीं रहता।
Every \(a\in A\) is divisible by some power of (2).
Step 2
Why this answer is correct
In ((a,a)), both entries are the same, so they share that same power.
Step 3
Exam Tip
Therefore all diagonal pairs are present. चरण 1: हर \(a\in A\) स्वयं किसी न किसी (2) की घात से विभाज्य है। चरण 2: ((a,a)) में दोनों तत्व वही हैं, इसलिए वे वही समान घात साझा करते हैं। चरण 3: अतः सभी विकर्ण युग्म मौजूद हैं।
Then the ratio is \(\frac{a}{a}=1=2^0\), an integral power of (2).
Step 3
Exam Tip
Hence every ((a,a)) belongs to the relation. चरण 1: प्रतिवर्ती जांच में (a=b) रखें। चरण 2: तब अनुपात \(\frac{a}{a}=1=2^0\) होता है, जो (2) की पूर्णांक घात है। चरण 3: इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है।
On the diagonal, the condition becomes \(2a\leq a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (a>0), this becomes \(2\leq a\).
Step 3
Exam Tip
(a=2,3,4,5) work, so there are (4) diagonal pairs. चरण 1: विकर्ण पर शर्त \(2a\leq a^2\) बनेगी। चरण 2: (a>0) होने से इसे \(2\leq a\) लिखा जा सकता है। चरण 3: (a=2,3,4,5) काम करते हैं, इसलिए (4) विकर्ण युग्म हैं।
Therefore only ((1,1)) must be added. चरण 1: पिछले विचार से विकर्ण पर \(2a\leq a^2\) चाहिए। चरण 2: यह (a=1) पर असत्य है और (a=2,3,4,5) पर सत्य है। चरण 3: इसलिए केवल ((1,1)) जोड़ना होगा।
Therefore all diagonal pairs are in the relation, so (R) is reflexive. चरण 1: विकर्ण पर \(a^3-a^3=0\) होगा। चरण 2: यह हर \(a\in A\) के लिए सत्य है। चरण 3: इसलिए सभी विकर्ण युग्म संबंध में हैं और (R) प्रतिवर्ती है।
(a=0,1) work, so there are (2) diagonal pairs. चरण 1: विकर्ण पर \(2a^2=2a\) मिलेगा। चरण 2: इसे \(a^2=a\), यानी (a(a-1)=0) लिखते हैं। चरण 3: (a=0,1) काम करते हैं, इसलिए (2) विकर्ण युग्म हैं।
A reflexive relation on this five-element set needs five diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The condition gives diagonal pairs only for (a=0) and (a=1).
Step 3
Exam Tip
Hence (5-2=3) diagonal pairs must be added. चरण 1: प्रतिवर्ती संबंध के लिए पांच विकर्ण युग्म चाहिए। चरण 2: शर्त में केवल (a=0) और (a=1) वाले विकर्ण युग्म मिलते हैं। चरण 3: इसलिए (5-2=3) विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे।
A. हर (a) के लिए (a-a=0) और (0) (6) से विभाज्य है/For every (a), (a-a=0) and (0) is divisible by (6)
Step 1
Concept
For reflexivity, check ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
Then (a-a=0), and (0) is divisible by (6).
Step 3
Exam Tip
In difference-divisibility relations, the diagonal difference is always zero. चरण 1: प्रतिवर्तिता के लिए ((a,a)) देखें। चरण 2: तब (a-a=0) होता है, और (0) (6) से विभाज्य है। चरण 3: अंतर की विभाज्यता वाले संबंधों में विकर्ण पर अंतर हमेशा शून्य होता है।
