If \([a]\setminus[b]\neq\varnothing\), the classes are not equal.
Step 3
Exam Tip
Therefore their intersection is empty. चरण 1: तुल्यता वर्ग या तो समान होते हैं या अलग-अलग। चरण 2: यदि \([a]\setminus[b]\neq\varnothing\), तो वे समान नहीं हो सकते। चरण 3: समान नहीं हैं, इसलिए दोनों वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होगा।
If (aRb), then (a) and (b) lie in the same equivalence class.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore ([a]=[b]).
Step 3
Exam Tip
The difference of equal sets is the empty set. चरण 1: (aRb) होने पर (a) और (b) एक ही तुल्यता वर्ग में हैं। चरण 2: इसलिए ([a]=[b]) है। चरण 3: समान समुच्चयों का अंतर रिक्त समुच्चय होता है।
In a symmetric (R), ((a,b)) and ((b,a)) are either both present or both absent.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, in the complement, reverse pairs also appear together.
Step 3
Exam Tip
Hence \(A\times A-R\) is also symmetric. चरण 1: सममित (R) में ((a,b)) और ((b,a)) साथ-साथ होते हैं या साथ-साथ अनुपस्थित होते हैं। चरण 2: इसलिए पूरक संबंध में भी दोनों उलटे युग्म साथ-साथ आएंगे। चरण 3: अतः \(A\times A-R\) भी सममित होगा।
The condition \(X\setminus X=X\) holds only when \(X=\varnothing\).
Step 3
Exam Tip
Hence only (\(\varnothing,\varnothing\)) is a diagonal pair. चरण 1: विकर्ण पर \(X\setminus X=\varnothing\) होता है। चरण 2: शर्त \(X\setminus X=X\) तभी सत्य होगी जब \(X=\varnothing\)। चरण 3: इसलिए केवल (\(\varnothing,\varnothing\)) विकर्ण युग्म है।
Therefore all diagonal pairs are in the relation. चरण 1: विकर्ण पर \(X\setminus X=\varnothing\) होता है। चरण 2: किसी समुच्चय से वही समुच्चय हटाने पर रिक्त समुच्चय मिलता है। चरण 3: इसलिए सभी विकर्ण युग्म संबंध में हैं।
Removing one required self-pair makes the relation not reflexive. चरण 1: (R) में सभी अपने-आप वाले युग्म थे। चरण 2: (T) बनाने में ((2,2)) हटा दिया गया। चरण 3: एक आवश्यक अपने-आप वाला युग्म हटते ही सम्बन्ध स्वतुल्य नहीं रहता।
B. यह कभी प्रतिवर्ती नहीं होगा/it is never reflexive
Step 1
Concept
Since both relations are reflexive, all diagonal pairs lie in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
In (R-S), pairs that also lie in (S) are removed.
Step 3
Exam Tip
Therefore no diagonal pair remains in (R-S), so it cannot be reflexive. चरण 1: प्रतिवर्ती होने से सभी विकर्ण युग्म (R) और (S) दोनों में हैं। चरण 2: (R-S) में वे युग्म हट जाते हैं जो (S) में भी हैं। चरण 3: इसलिए कोई भी विकर्ण युग्म (R-S) में नहीं रहेगा, अतः यह प्रतिवर्ती नहीं हो सकता।
If \((a,b)\in R-S\), then \((a,b)\in R\) and \((a,b)\notin S\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (R) is symmetric, \((b,a)\in R\); since (S) is symmetric, \((b,a)\in S\) would imply \((a,b)\in S\).
Step 3
Exam Tip
Hence \((b,a)\notin S\), so \((b,a)\in R-S\). चरण 1: यदि \((a,b)\in R-S\), तो \((a,b)\in R\) और \((a,b)\notin S\)। चरण 2: (R) सममित है, इसलिए \((b,a)\in R\); (S) सममित है, इसलिए यदि \((b,a)\in S\) होता तो \((a,b)\in S\) भी होता। चरण 3: इसलिए \((b,a)\notin S\) और \((b,a)\in R-S\)।
