Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
(1+2=3) विषम है और (2+3=5) भी विषम है। / (1+2=3) is odd, and (2+3=5) is also odd.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (1+3=4) सम है, इसलिए ((1,3)) संबंध में नहीं है। / But (1+3=4) is even, so ((1,3)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
प्रतिवाद में पहली दो जोड़ियाँ सच और तीसरी जरूरी जोड़ी असत्य होनी चाहिए। / In a counterexample, the first two pairs must be true and the required third pair must be false.
((1,2)) संबंध में है क्योंकि (1+2=3) विषम है। ((2,3)) भी संबंध में है क्योंकि (2+3=5) विषम है। / ((1,2)) is in the relation because (1+2=3) is odd. ((2,3)) is also in the relation because (2+3=5) is odd.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, लेकिन (1+3=4) सम है। / Transitivity requires ((1,3)), but (1+3=4) is even.
Step 3
Exam Tip
एक सही प्रतिवाद संक्रामकता को गलत सिद्ध कर देता है। / One valid counterexample disproves transitivity.
A. ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
(1+2=3) विषम है, इसलिए ((1,2)) संबंध में है। (2+3=5) विषम है, इसलिए ((2,3)) भी संबंध में है। / (1+2=3) is odd, so ((1,2)) is in the relation. Also (2+3=5) is odd, so ((2,3)) is in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) के लिए (1+3=4), जो सम है, इसलिए ((1,3)) संबंध में नहीं है। / For ((1,3)), (1+3=4), which is even, so ((1,3)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
प्रतिवाद में दोनों पहली जोड़ियाँ सच और तीसरी जरूरी जोड़ी गलत होनी चाहिए। / In a counterexample, the first two pairs must be true and the required third pair must fail.
\((1,2)\in R\) और \((2,3)\in R\), क्योंकि क्रम भी सही है और योग विषम है। / \((1,2)\in R\) and \((2,3)\in R\), because the order is correct and each sum is odd.
Step 2
Why this answer is correct
पर \((1,3)\notin R\), क्योंकि (1+3) सम है। / But \((1,3)\notin R\), because (1+3) is even.
Step 3
Exam Tip
दो शर्तों वाले संबंध में दोनों शर्तें अंतिम युग्म पर भी जांचें। / For two-condition relations, verify both conditions on the final pair too.
(a+b) विषम होने पर (a) और (b) अलग सम-विषमता के होते हैं। / If (a+b) is odd, (a) and (b) have opposite parity.
Step 2
Why this answer is correct
(b+c) भी विषम हो, तो (a) और (c) समान सम-विषमता के होंगे, इसलिए (a+c) सम होगा। / If (b+c) is also odd, then (a) and (c) have the same parity, so (a+c) is even.
Step 3
Exam Tip
दो लगातार विषम-योग शर्तें तीसरी विषम-योग शर्त नहीं देतीं। / Two consecutive odd-sum conditions do not give the third odd-sum condition.
योग विषम तब होगा जब एक संख्या विषम और दूसरी सम हो। / The sum is odd when one number is odd and the other is even.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में दो विषम और दो सम संख्याएँ हैं, इसलिए युग्मों की संख्या \(2\cdot2+2\cdot2=8\) है। / There are two odd and two even numbers, so the number of pairs is \(2\cdot2+2\cdot2=8\).
Step 3
Exam Tip
क्रमित युग्मों में दोनों क्रम अलग-अलग गिने जाते हैं। / In ordered pairs, both orders are counted separately.
यदि (a+b) विषम है, तो (b+a) भी विषम होगा। / If (a+b) is odd, then (b+a) is also odd.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। / Hence the reverse pair ((b,a)) also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
सम और विषम दोनों प्रकार के योग-आधारित संबंधों में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। / In sum-based parity relations, changing the order does not change the sum.
