Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है। इसे तुल्यता सम्बन्ध बनाने के लिए न्यूनतम कौन-से युग्म जोड़ने होंगे?
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) दिया है। इसे तुल्यता सम्बन्ध बनाने के लिए न्यूनतम कौन-से युग्म जोड़ने होंगे?
(1) का (2) से और (2) का (3) से सम्बन्ध है। / (1) is related to (2), and (2) is related to (3).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए (1) का (3) से सम्बन्ध चाहिए, और सममिति के लिए उलटा युग्म भी चाहिए। / Transitivity requires (1) to be related to (3), and symmetry requires the reverse pair too.
Step 3
Exam Tip
(4) केवल स्वयं से जुड़ा है, इसलिए (4) से जुड़े नए युग्म जरूरी नहीं हैं। / (4) is only related to itself, so no new pair involving (4) is needed.
दो वर्गों के आकारों का योग (7) होगा। / The two class sizes must add to (7).
Step 2
Why this answer is correct
वर्गों के वर्गों का योग न्यूनतम तब होता है जब आकार जितना संभव हो संतुलित हों, यानी (3) और (4)। / The sum of squares is minimized when the sizes are as balanced as possible, (3) and (4).
Step 3
Exam Tip
युग्मों की संख्या \(3^2+4^2=9+16=25\) होगी। / The number of pairs is \(3^2+4^2=25\).
दिए गए तीनों युग्म गैर-विकर्ण हैं। / All three given pairs are off-diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के कारण ((2,1),(3,2),(4,3)) भी होने जरूरी हैं, इसलिए कुल (6) गैर-विकर्ण युग्म हो जाते हैं। / Symmetry forces ((2,1),(3,2),(4,3)), making (6) off-diagonal pairs in total.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम संख्या पूछी हो तो अतिरिक्त विकर्ण या अन्य युग्म न जोड़ें। / For a minimum count, do not add extra diagonal or unrelated pairs.
((1,2)) और ((2,1)) की जोड़ी पूरी है। / The pair ((1,2)) and ((2,1)) is complete.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((3,1)) की जोड़ी भी पूरी है, केवल ((2,4)) का उलटा ((4,2)) गायब है। / The pair ((1,3)) and ((3,1)) is also complete; only the reverse ((4,2)) of ((2,4)) is missing.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम जोड़ने में केवल गायब उलटे युग्म गिनें। / For minimum addition, count only missing reverse pairs.
पहले से मौजूद उलटे युग्मों को अलग करें। / Separate the pairs whose reverses already exist.
Step 2
Why this answer is correct
((1,4)) और ((4,1)) पूरी जोड़ी हैं, केवल ((2,5)) के लिए ((5,2)) चाहिए। / ((1,4)) and ((4,1)) are complete, and only ((5,2)) is needed for ((2,5)).
Step 3
Exam Tip
छूटे हुए उलटे युग्मों की संख्या ही जोड़ने वाले युग्मों की न्यूनतम संख्या होती है। / The number of missing reverse pairs gives the minimum number to add.
