\(x+\frac{1}{x}\ge2\), and (2) is obtained at (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
For every (y>2), the equation \(x+\frac{1}{x}=y\) has a positive solution.
Step 3
Exam Tip
Check separately whether the minimum value is actually attained or only approached. चरण 1: \(x+\frac{1}{x}\ge2\) और (x=1) पर (2) मिलता है। चरण 2: (2) से बड़े हर (y) के लिए समीकरण \(x+\frac{1}{x}=y\) का धनात्मक हल मिल जाता है। चरण 3: न्यूनतम मान मिलता है या केवल सीमा है, यह अलग से जाँचें।
A. क्योंकि (1) छवि नहीं बनता/Because (1) is not an image
Step 1
Concept
\(x+\frac{1}{x}\ge2\) for (x>0).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain (\(0,\infty\)) contains (1), but it is not an image.
Step 3
Exam Tip
The standard inequality \(x+\frac{1}{x}\ge2\) is useful in such problems. चरण 1: \(x+\frac{1}{x}\ge2\) जब (x>0)। चरण 2: सहप्रांत (\(0,\infty\)) में (1) है, पर वह छवि नहीं बनता। चरण 3: प्रसिद्ध असमता \(x+\frac{1}{x}\ge2\) ऐसे प्रश्नों में बहुत काम आती है।
The minimum value of \(x+\frac{1}{x}\) is (2), attained at (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to0^+\) or \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), so all of \([2,\infty\)) is obtained.
Step 3
Exam Tip
After finding the minimum, compare it with the codomain. चरण 1: \(x+\frac{1}{x}\) का न्यूनतम मान (2) है जो (x=1) पर मिलता है। चरण 2: \(x\to0^+\) या \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर जाता है इसलिए \([2,\infty\)) पूरा मिलता है। चरण 3: न्यूनतम मान मिलने के बाद सहक्षेत्र से तुलना करें।
In the reciprocal function, equal images occur only for equal inputs. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b)), जहां (a,b>0)। चरण 2: \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) से (a=b) मिलता है। चरण 3: व्युत्क्रम फलन में समान प्रतिबिंब तभी होगा जब आगत समान हों।
In this reciprocal form, equal images lead to equal inputs. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b)) जहाँ (a,b>0)। चरण 2: \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) से (a=b) मिलता है। चरण 3: प्रतिलोम रूप वाले ऐसे फलन में बराबर छवि बराबर आगत देती है।
From (f(a)=f(b)), we get \(\frac{2}{a}=\frac{2}{b}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (a,b>0), this gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
A reciprocal-type rule is one-one on its proper domain. चरण 1: (f(a)=f(b)) से \(\frac{2}{a}=\frac{2}{b}\) मिलता है। चरण 2: (a,b>0) होने से (a=b) निष्कर्ष निकलता है। चरण 3: व्युत्क्रम जैसा नियम अपने उचित प्रांत पर एकैकी होता है।
The AM-GM idea is very useful for such range questions. चरण 1: धनात्मक (x) के लिए \(x+\frac{1}{x}\geq2\) होता है। चरण 2: (x=1) पर मान (2) मिल जाता है। चरण 3: ऐसे प्रश्न में गुणोत्तर और अंकगणितीय माध्य का विचार बहुत उपयोगी है।
