This happens only when (e) is the smallest element of the set.
Step 3
Exam Tip
Here the smallest element is (1), so it is the identity. चरण 1: तत्समक (e) के लिए (\max(a,e)=a) हर (a) के लिए चाहिए। चरण 2: यह तभी होगा जब (e) समुच्चय का सबसे छोटा अवयव हो। चरण 3: यहाँ सबसे छोटा अवयव (1) है, इसलिए वही तत्समक है।
In such rules, compare the elements instead of calculating. चरण 1: नियम दो अवयवों में बड़े अवयव को चुनता है। चरण 2: (2) और (4) में बड़ा अवयव (4) है। चरण 3: ऐसे नियमों में गणना नहीं, तुलना करनी होती है।
For identity (e), (\max(a,e)=a) must hold for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
(0) is the smallest element, so (\max(a,0)=a).
Step 3
Exam Tip
For a maximum operation, the smallest element is the identity. चरण 1: तत्समक अवयव (e) के लिए (\max(a,e)=a) हर \(a\in A\) पर होना चाहिए। चरण 2: (0) सबसे छोटा अवयव है, इसलिए (\max(a,0)=a)। चरण 3: अधिकतम वाली संक्रिया में सबसे छोटा अवयव तत्समक होता है।
A. हाँ क्योंकि बड़ा मान क्रम पर निर्भर नहीं करता/Yes because the greater value does not depend on order
Step 1
Concept
(a*b=\max(a,b)) and (b*a=\max(b,a)).
Step 2
Why this answer is correct
The greater value is the same in both cases, so the results are equal.
Step 3
Exam Tip
Maximum and minimum operations are easy to test for commutativity. चरण 1: (a*b=\max(a,b)) और (b*a=\max(b,a)) है। चरण 2: दोनों में बड़ा मान एक ही होगा, इसलिए परिणाम बराबर है। चरण 3: अधिकतम और न्यूनतम वाले नियमों में क्रमविनिमेयता आसानी से जाँची जा सकती है।
In a maximum-based rule, do not add or multiply the numbers. चरण 1: (\max(a,b)) का अर्थ दोनों में बड़ा मान लेना है। चरण 2: (3) और (7) में बड़ा मान (7) है। चरण 3: अधिकतम वाले नियम में जोड़ या गुणा नहीं करना होता।
For every \(y\le3\), take \(x=\sqrt{3-y}\) or \(x=-\sqrt{3-y}\).
Step 3
Exam Tip
When the maximum value is attained, the closed endpoint is included in the range. चरण 1: \(x^2\ge0\), इसलिए \(3-x^2\le3\)। चरण 2: हर \(y\le3\) के लिए \(x=\sqrt{3-y}\) या \(x=-\sqrt{3-y}\) लिया जा सकता है। चरण 3: अधिकतम मान मिलने पर बंद सिरा भी परास में शामिल होता है।
In unstable equilibrium, a slight displacement does not bring the dipole back.
Step 2
Why this answer is correct
When dipole moment is opposite to field, energy is maximum.
Step 3
Exam Tip
Link antiparallel orientation with maximum energy. चरण 1: अस्थिर संतुलन में हल्का हटाने पर द्विध्रुव वापस नहीं आता। चरण 2: क्षेत्र के विपरीत दिशा में द्विध्रुव आघूर्ण रखने पर ऊर्जा अधिकतम होती है। चरण 3: विपरीत समांतर स्थिति को अधिकतम ऊर्जा से जोड़ें।
B. जब द्विध्रुव क्षेत्र के विपरीत समांतर हो/When the dipole is antiparallel to the field
Step 1
Concept
Potential energy depends on the angle between the dipole moment and the field.
Step 2
Why this answer is correct
In the antiparallel position, the energy is maximum.
Step 3
Exam Tip
This position is an example of unstable equilibrium. चरण 1: स्थितिज ऊर्जा क्षेत्र और द्विध्रुव आघूर्ण के बीच कोण पर निर्भर करती है। चरण 2: विपरीत समांतर स्थिति में ऊर्जा सबसे अधिक होती है। चरण 3: यह स्थिति अस्थायी संतुलन का उदाहरण है।
Torque relative to maximum torque equals sine of angle.
Step 2
Why this answer is correct
Sine of sixty degrees is root three by two.
Step 3
Exam Tip
Therefore the fraction is root three by two. चरण 1: बल आघूर्ण अधिकतम के सापेक्ष ज्या कोण के बराबर होता है। चरण 2: साठ अंश की ज्या मूल तीन बटा दो होती है। चरण 3: इसलिए अनुपात मूल तीन बटा दो होगा।
Torque relative to maximum torque equals sine of angle.
Step 2
Why this answer is correct
Sine of sixty degrees is root three by two.
Step 3
Exam Tip
Therefore the fraction is root three by two. चरण 1: बल आघूर्ण अधिकतम के सापेक्ष ज्या कोण के बराबर होता है। चरण 2: साठ अंश की ज्या मूल तीन बटा दो होती है। चरण 3: इसलिए अनुपात मूल तीन बटा दो होगा।
Torque relative to maximum torque equals sine of the angle.
Step 2
Why this answer is correct
Sine of sixty degrees is root three by two.
Step 3
Exam Tip
Therefore the fraction is root three by two. चरण 1: बल आघूर्ण अधिकतम मान के सापेक्ष ज्या कोण के बराबर होता है। चरण 2: साठ अंश की ज्या मूल तीन बटा दो होती है। चरण 3: इसलिए अनुपात मूल तीन बटा दो होगा।
D. जब द्विध्रुव क्षेत्र के विपरीत हो/When dipole is opposite to field
Step 1
Concept
Energy depends on direction of the dipole.
Step 2
Why this answer is correct
Opposite to the field is an unstable equilibrium position.
Step 3
Exam Tip
In this position potential energy is maximum. चरण 1: ऊर्जा द्विध्रुव की दिशा पर निर्भर करती है। चरण 2: क्षेत्र के विपरीत स्थिति में द्विध्रुव अस्थायी संतुलन में होता है। चरण 3: इस स्थिति में स्थितिज ऊर्जा अधिकतम होती है।
A. जब द्विध्रुव क्षेत्र के विपरीत हो/When dipole is opposite to field
Step 1
Concept
Potential energy depends on direction.
Step 2
Why this answer is correct
Opposite to field is an unstable position.
Step 3
Exam Tip
In this position energy is maximum. चरण 1: स्थितिज ऊर्जा दिशा पर निर्भर करती है। चरण 2: क्षेत्र के विपरीत दिशा में द्विध्रुव अस्थायी स्थिति में होता है। चरण 3: इसी स्थिति में ऊर्जा अधिकतम होती है।
C. जब द्विध्रुव क्षेत्र के विपरीत हो/When dipole is opposite to field
Step 1
Concept
Potential energy depends on dipole orientation.
Step 2
Why this answer is correct
When opposite to the field the dipole is in unstable equilibrium.
Step 3
Exam Tip
In this position potential energy is maximum. चरण 1: स्थितिज ऊर्जा द्विध्रुव की दिशा पर निर्भर करती है। चरण 2: क्षेत्र के विपरीत दिशा में द्विध्रुव अस्थायी संतुलन में होता है। चरण 3: इस स्थिति में स्थितिज ऊर्जा अधिकतम होती है।
B. जब द्विध्रुव क्षेत्र के लंबवत हो/When dipole is perpendicular to field
Step 1
Concept
Torque depends on the sine of the angle.
Step 2
Why this answer is correct
Sine is maximum at ninety degrees.
Step 3
Exam Tip
Therefore torque is maximum when dipole is perpendicular to the field. चरण 1: बल आघूर्ण कोण के ज्या मान पर निर्भर करता है। चरण 2: नब्बे अंश पर ज्या मान सबसे अधिक होता है। चरण 3: इसलिए द्विध्रुव क्षेत्र के लंबवत होने पर बल आघूर्ण अधिकतम होता है।
