In the given set, the elements with remainder (3) are (3) and (7).
Step 3
Exam Tip
While writing an equivalence class, include only elements from the given base set. चरण 1: (3) को (4) से भाग देने पर शेष (3) है। चरण 2: दिए गए समुच्चय में जिन अवयवों का शेष (3) है, वे (3) और (7) हैं। चरण 3: तुल्यता वर्ग लिखते समय केवल मूल समुच्चय के अवयव ही शामिल करें।
The remainder of (-1) modulo (4) is written as (3).
Step 2
Why this answer is correct
So all integers related to (-1) leave remainder (3) on division by (4).
Step 3
Exam Tip
Even for negative numbers, write the remainder in (0,1,2,3) for exam clarity. चरण 1: (-1) को (4) से भाग देने पर शेष को (3) के रूप में लिखा जाता है। चरण 2: इसलिए (-1) से सम्बन्धित सभी पूर्णांक (4) से भाग देने पर शेष (3) देंगे। चरण 3: ऋणात्मक संख्या आने पर भी शेष को (0,1,2,3) में लिखना परीक्षा में सुरक्षित तरीका है।
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) को (4) से भाग देने पर समान शेष मिलता है। (2) के तुल्यता वर्ग में कौन-कौन से अवयव होंगे?
In the given set, only (2) and (6) leave remainder (2).
Step 3
Exam Tip
While writing an equivalence class, do not include numbers outside the given base set. चरण 1: (2) को (4) से भाग देने पर शेष (2) आता है। चरण 2: दिए गए समुच्चय में केवल (2) और (6) का शेष (2) है। चरण 3: तुल्यता वर्ग बनाते समय मूल समुच्चय से बाहर की संख्याएँ नहीं लिखनी चाहिए।
In the given set, only (3) and (7) give remainder (3).
Step 3
Exam Tip
For a finite set, include only elements from that set. चरण 1: (7) को (4) से भाग देने पर शेष (3) है। चरण 2: दिए गए समुच्चय में (3) और (7) ही शेष (3) देते हैं। चरण 3: सीमित समुच्चय में वर्ग बनाते समय केवल उसी समुच्चय के तत्व लें।
In modulo relations, classes are formed by equal remainders. चरण 1: (2) को (4) से भाग देने पर शेष (2) मिलता है। चरण 2: दिए गए समुच्चय में (2) और (6) ही ऐसे तत्व हैं जिनका शेष (2) है। चरण 3: मापांक संबंध में वर्ग हमेशा समान शेष से बनता है।
Integers related to (7) must differ from (7) by a multiple of (4).
Step 2
Why this answer is correct
(-1,3,7,11) all have the same remainder (3) on division by (4).
Step 3
Exam Tip
For such questions, group all elements with the same remainder. चरण 1: (7) से संबंधित वे पूर्णांक होंगे जिनका (7) से अंतर (4) से विभाज्य हो। चरण 2: (-1,3,7,11) सभी (4) से समान शेष (3) देते हैं। चरण 3: तुल्यता वर्ग निकालते समय समान शेष वाले सभी तत्वों को एक साथ लिखें।
On division by (4), the possible remainders are (0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
All four remainders occur in the given set, so four classes are formed.
Step 3
Exam Tip
In modulo questions, counting remainders is a quick method. चरण 1: (4) से भाग देने पर संभावित शेषफल (0,1,2,3) होते हैं। चरण 2: दिए गए समुच्चय में चारों शेषफल मिलते हैं, इसलिए चार वर्ग बनेंगे। चरण 3: मापांक प्रश्नों में शेषफलों की संख्या गिनना तेज तरीका है।
(a-a=0), and (0) is divisible by (4), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is divisible by (4), then (b-a) is also divisible by (4).
Step 3
Exam Tip
Transitivity also follows from adding differences. चरण 1: (a-a=0), और (0) (4) से विभाज्य है, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: यदि (a-b) (4) से विभाज्य है, तो (b-a) भी (4) से विभाज्य होगा। चरण 3: अंतरों के योग से संक्रामिता भी पूरी होती है।
In the given set, (8) also leaves remainder (0), so (4) and (8) are in the same class.
Step 3
Exam Tip
In remainder-class questions, use only elements from the given set. चरण 1: (4) को (4) से भाग देने पर शेषफल (0) आता है। चरण 2: दिए गए समुच्चय में (8) का भी शेषफल (0) है, इसलिए (4) और (8) एक ही वर्ग में हैं। चरण 3: शेषफल वाले प्रश्न में केवल दिए गए समुच्चय के तत्व ही लें।
\(a\equiv b \pmod{4}\) means (a-b) is divisible by (4).
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) and (b-c) are both divisible by (4), then (a-c) is also divisible by (4).
Step 3
Exam Tip
In congruence questions, remember the sum of differences. चरण 1: \(a\equiv b \pmod{4}\) का अर्थ है कि (a-b) संख्या (4) से विभाज्य है। चरण 2: यदि (a-b) और (b-c) दोनों (4) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (4) से विभाज्य होगा। चरण 3: सर्वांगसमता के प्रश्न में अंतरों का योग याद रखें।
A. क्योंकि (a-b) और (b-c) के (4) से विभाज्य होने पर (a-c) भी (4) से विभाज्य होगा/Because if (a-b) and (b-c) are divisible by (4), then (a-c) is also divisible by (4)
Step 1
Concept
\(a\equiv b \pmod{4}\) means (a-b) is divisible by (4).
Step 2
Why this answer is correct
Similarly, if (b-c) is divisible by (4), then (a-c=(a-b)+(b-c)) is also divisible by (4).
Step 3
Exam Tip
Adding differences is the key idea in congruence. चरण 1: \(a\equiv b \pmod{4}\) का अर्थ है कि (a-b) संख्या (4) से विभाज्य है। चरण 2: इसी तरह (b-c) भी (4) से विभाज्य हो, तो (a-c=(a-b)+(b-c)) भी (4) से विभाज्य होगा। चरण 3: सर्वांगसमता में अंतर जोड़ना मुख्य विचार है।
B. नहीं, क्योंकि (1R3) और (3R1) हैं पर (1R1) नहीं है/No, because (1R3) and (3R1) hold but (1R1) does not
Step 1
Concept
(1+3=4), so (1R3), and (3+1=4), so (3R1).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity would require (1R1), but (1+1=2) is not divisible by (4).
Step 3
Exam Tip
Do not assume sum-based divisibility is always transitive. चरण 1: (1+3=4), इसलिए (1R3) है और (3+1=4), इसलिए (3R1) है। चरण 2: संक्रमणीयता के लिए (1R1) चाहिए, पर (1+1=2) (4) से विभाज्य नहीं है। चरण 3: योग आधारित विभाज्यता को हमेशा संक्रमणीय न मानें।
Numbers related to (0) must satisfy (a-0) divisible by (4).
Step 2
Why this answer is correct
This means (a) is a multiple of (4).
Step 3
Exam Tip
In same-remainder relations, a class contains numbers with the same remainder. चरण 1: (0) से संबंधित संख्याओं के लिए (a-0), (4) से विभाज्य होना चाहिए। चरण 2: इसका अर्थ है कि (a), (4) का गुणज है। चरण 3: समान शेष वाले संबंध में वर्ग वही संख्याएँ रखता है जिनका शेष समान हो।
Therefore, the class of (1) is ({1,5}). चरण 1: (1) को (4) से भाग देने पर शेष (1) है। चरण 2: (5) को भी (4) से भाग देने पर शेष (1) मिलता है। चरण 3: इसलिए (1) का वर्ग ({1,5}) है।
