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intersection of relations MCQ Questions for Class 12
intersection of relations se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
A. \(R\cap S\) हमेशा तुल्यता सम्बन्ध होगा/\(R\cap S\) is always an equivalence relation
Step 1
Concept
दोनों सम्बन्ध स्वतुल्य हैं, इसलिए सभी ((a,a)) दोनों में होंगे और प्रतिच्छेद में भी होंगे। / Both relations are reflexive, so every ((a,a)) lies in both and also in the intersection.
Step 2
Why this answer is correct
सममिति दोनों में होने से प्रतिच्छेद में भी रहती है। / Symmetry is preserved in the intersection.
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता भी दोनों सम्बन्धों में साथ-साथ लागू होती है, इसलिए \(R\cap S\) तुल्यता सम्बन्ध होगा। / Transitivity also works because it holds in both relations, so \(R\cap S\) is an equivalence relation.
\(R\cap S\) में दो तत्व तभी साथ होंगे जब वे दोनों संबंधों में साथ हों। / In \(R\cap S\), two elements stay together only if they are together in both relations.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ कोई दो अलग तत्व दोनों विभाजनों में एक साथ नहीं हैं। / Here no two distinct elements are together in both partitions.
Step 3
Exam Tip
इसलिए केवल एकल वर्ग बचेंगे। / Therefore all classes are singleton classes.
A. \(R\cap S\) संक्रामक है/\(R\cap S\) is transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)), दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) में भी हैं और (S) में भी। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R\cap S\), then they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) दोनों संक्रामक हैं, इसलिए ((a,c)) दोनों में होगा, अतः \(R\cap S\) में होगा। / Since both (R) and (S) are transitive, ((a,c)) belongs to both, hence to \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद सुरक्षित रहता है, पर संघ हमेशा संक्रामक नहीं होता। / Intersection is safe, but union is not always transitive.
A. \(R\cap S\) संक्रामक है/\(R\cap S\) is transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)), दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) में भी हैं और (S) में भी हैं। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R\cap S\), then they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) दोनों संक्रामक हैं, इसलिए ((a,c)) दोनों में होगा, अतः \(R\cap S\) में भी होगा। / Since both (R) and (S) are transitive, ((a,c)) belongs to both, hence to \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
दो संक्रामक संबंधों का प्रतिच्छेद संक्रामक रहता है, लेकिन संघ हमेशा नहीं। / The intersection of two transitive relations is transitive, but the union is not always transitive.
A. \(R\cap S\) संक्रमणीय होगा/\(R\cap S\) will be transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)), दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) और (S) दोनों में हैं। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R\cap S\), then they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) के संक्रमणीय होने से ((a,c)) दोनों में होगा, इसलिए \(R\cap S\) में भी होगा। / Since (R) and (S) are transitive, ((a,c)) is in both, hence in \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद के प्रश्न में दोनों संबंधों की शर्त साथ-साथ लगाएं। / For intersection questions, apply both relation conditions together.
A. \(R\cap S\) हमेशा सममित होगा/\(R\cap S\) will always be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b) \in R\cap S\), तो ((a,b)) दोनों (R) और (S) में है। / If \((a,b) \in R\cap S\), then ((a,b)) belongs to both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) सममित हैं, इसलिए ((b,a)) दोनों में होगा और इसीलिए \(R\cap S\) में भी होगा। / Since both are symmetric, ((b,a)) belongs to both, so it belongs to \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद में गुण सिद्ध करते समय युग्म को दोनों संबंधों में अलग-अलग जाँचें। / For intersection proofs, check membership in both relations separately.
दोनों स्वसम संबंधों में हर ((a,a)) मौजूद होगा। / Both reflexive relations contain every ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए समान भाग \(R\cap S\) में भी हर ((a,a)) रहेगा। / Therefore \(R\cap S\) also contains every ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद में वही युग्म बचते हैं जो दोनों में हों, अपने युग्म यहाँ सुरक्षित रहते हैं। / Intersection keeps pairs common to both, so self-pairs remain.
