((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)), and ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), both present.
Step 3
Exam Tip
Check reverse pairs and forward chains together. चरण 1: ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)), तथा ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) भी मौजूद हैं। चरण 3: उलटी जोड़ियों और आगे बढ़ती जोड़ियों दोनों को साथ में जांचें।
((1,4)) is not in the list, so the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
Use already present derived-looking pairs in further chains too. चरण 1: ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए। चरण 2: ((1,4)) सूची में नहीं है, इसलिए संबंध संक्रमण नहीं है। चरण 3: पहले से मौजूद बनी हुई जोड़ी को भी आगे की श्रृंखला में इस्तेमाल करें।
If (a-b) and (b-c) are both divisible by (6), then their sum (a-c) is also divisible by (6).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (aRc), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
Adding differences is the most useful method here. चरण 1: यदि (a-b) और (b-c) दोनों (6) से विभाज्य हैं, तो उनका योग (a-c) भी (6) से विभाज्य होगा। चरण 2: इसलिए (aRc) मिलेगा और संबंध संक्रमण है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में अंतरों का योग सबसे उपयोगी तरीका है।
If \(a^2\le b^2\) and \(b^2\le c^2\), then by order of inequalities \(a^2\le c^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (aRc) is true, so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
Do not get confused by signs when comparing squares. चरण 1: यदि \(a^2\le b^2\) और \(b^2\le c^2\), तो असमानता के क्रम से \(a^2\le c^2\) होगा। चरण 2: इसलिए (aRc) सत्य है और संबंध संक्रमण है। चरण 3: वर्गों की तुलना में वास्तविक संख्या के चिह्न से भ्रमित न हों।
For strict inequalities, connect the middle inequality carefully. चरण 1: यदि \(a^2<b^2\) और \(b^2<c^2\), तो \(a^2<c^2\) होगा। चरण 2: इससे ((a,c)) भी संबंध में आता है। चरण 3: कठोर असमानता में बीच वाली असमानता जोड़कर निष्कर्ष निकालें।
Transitivity would require \(a=c^2\), which is not generally true. Take (c=2), (b=4), (a=16).
Step 3
Exam Tip
For algebraic relations, substitute and compare the required condition. चरण 1: \(a=b^2\) और \(b=c^2\) से \(a=c^4\) मिलता है। चरण 2: संक्रमण के लिए \(a=c^2\) चाहिए, जो सामान्यतः सत्य नहीं है। जैसे (c=2), (b=4), (a=16) लें। चरण 3: बीजगणितीय संबंधों में प्रतिस्थापन करके शर्त मिलाएं।
If \(A\supseteq B\) and \(B\supseteq C\), then (A) contains every element of (C).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(A\supseteq C\), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
Follow the chain from larger set to smaller set carefully. चरण 1: यदि \(A\supseteq B\) और \(B\supseteq C\), तो (A) में (C) के सभी तत्व होंगे। चरण 2: इसलिए \(A\supseteq C\) होगा और संबंध संक्रमण है। चरण 3: बड़े समुच्चय से छोटे समुच्चय की श्रृंखला ध्यान से देखें।
If \(A\subset B\) and \(B\subset C\), every element of (A) is in (C).
Step 2
Why this answer is correct
Also (A) and (C) cannot be equal, so \(A\subset C\).
Step 3
Exam Tip
In proper subset questions, think separately about equality. चरण 1: यदि \(A\subset B\) और \(B\subset C\), तो (A) का हर तत्व (C) में होगा। चरण 2: साथ ही (A) और (C) समान नहीं हो सकते, इसलिए \(A\subset C\) होगा। चरण 3: वास्तविक उपसमुच्चय में समानता की संभावना अलग से सोचें।
((1,4)) and ((4,2)) require ((1,2)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((4,4)) with ((4,2)) requires ((4,2)), and requirements with ((2,2)) are also satisfied.
Step 3
Exam Tip
Do not ignore self-pairs, but their requirements are often already present. चरण 1: ((1,4)) और ((4,2)) से ((1,2)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((4,4)) और ((4,2)) से ((4,2)), तथा ((2,2)) से बनने वाली जरूरतें भी पूरी हैं। चरण 3: समान तत्व वाली जोड़ियों को अनदेखा न करें, पर उनसे बनने वाली मांगें अक्सर पहले से मौजूद होती हैं।
((1,1)) is not in the given list, so the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
In cycle-like pairs, quickly look for required self-pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए। चरण 2: ((1,1)) दी हुई सूची में नहीं है, इसलिए संबंध संक्रमण नहीं है। चरण 3: चक्र जैसी जोड़ियों में समान तत्व वाली जोड़ी जल्दी खोजें।
Then ((p,r)) and ((r,s)) imply ((p,s)), and ((p,s)) with ((s,t)) implies ((p,t)).
Step 3
Exam Tip
Apply transitivity repeatedly in a long chain. चरण 1: पहले ((p,q)) और ((q,r)) से ((p,r)) मिलेगा। चरण 2: फिर ((p,r)) और ((r,s)) से ((p,s)), और ((p,s)) तथा ((s,t)) से ((p,t)) मिलेगा। चरण 3: लंबी श्रृंखला में संक्रमण बार-बार लगाएं।
A. यह हमेशा संक्रमण नहीं होता/It is not always transitive
Step 1
Concept
In a difference of relations, some required pairs may be removed.
Step 2
Why this answer is correct
After removal, two linked remaining pairs may miss their required third pair.
Step 3
Exam Tip
Transitivity is not automatically preserved under difference. चरण 1: अंतर संबंध में कुछ जरूरी जोड़ियां हट सकती हैं। चरण 2: हटाने के बाद बची दो जुड़ी जोड़ियां तीसरी जरूरी जोड़ी के बिना रह सकती हैं। चरण 3: संबंधों के अंतर में संक्रमण अपने-आप सुरक्षित नहीं रहता।
Transitivity requires ((2,4)), but it is not in the union.
Step 3
Exam Tip
Chains from two different relations can create a new missing pair in the union. चरण 1: \(R\cup S\) में ((2,3)) और ((3,4)) दोनों होंगे। चरण 2: संक्रमण के लिए ((2,4)) चाहिए, पर वह संघ में नहीं है। चरण 3: दो अलग संबंधों की श्रृंखलाएं संघ में नई कमी बना सकती हैं।
\((a,c)\in R\circ R\) when some (b) exists with \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (R) is transitive, such ((a,c)) belongs to (R).
Step 3
Exam Tip
For composition questions, read the definition through ordered pairs. चरण 1: \(R\circ R\) में ((a,c)) तब आता है जब कोई (b) हो ताकि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\)। चरण 2: संक्रमण होने से ऐसा ((a,c)) सीधे (R) में होगा। चरण 3: संयोजन वाले प्रश्नों में परिभाषा को क्रमित युग्मों से समझें।
\(R\circ R\subseteq R\) means the pair formed by two linked pairs is again in (R).
Step 2
Why this answer is correct
This is exactly the condition of transitivity.
Step 3
Exam Tip
Learn to connect composition language with the definition of transitivity. चरण 1: \(R\circ R\subseteq R\) का अर्थ है कि दो जुड़ी जोड़ियों से बनी जोड़ी फिर (R) में है। चरण 2: यही संक्रमण की शर्त है। चरण 3: संयोजन की भाषा को संक्रमण की परिभाषा से जोड़ना सीखें।
With ((3,5)), ((1,3)) requires ((1,5)), and ((2,3)) requires ((2,5)); both are present.
Step 3
Exam Tip
Match every required direct jump in long chains. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) है। चरण 2: ((3,5)) के साथ ((1,3)) से ((1,5)), और ((2,3)) से ((2,5)) भी मौजूद हैं। चरण 3: लंबी छलांगों को देखकर सभी जरूरी सीधी जोड़ियां मिलाएं।
This pair is not in the list, so it must be added.
Step 3
Exam Tip
Include existing pairs like ((1,5)) in further checking. चरण 1: ((1,5)) और ((5,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: यह जोड़ी सूची में नहीं है, इसलिए उसे जोड़ना जरूरी है। चरण 3: बनी हुई जोड़ी ((1,5)) को भी आगे की जांच में शामिल करें।
Try to find a chain where the common factor changes.
Step 2
Why this answer is correct
(2) and (6) have common divisor (2), and (6) and (9) have common divisor (3), but (2) and (9) have no common divisor greater than (1).
Step 3
Exam Tip
In hard number relations, choose counterexamples carefully. चरण 1: (6) और (10) का समान भाजक (2) है, तथा (10) और (15) का समान भाजक (5) है। चरण 2: लेकिन (6) और (15) का समान भाजक (3) है, इसलिए यह उदाहरण नहीं टूटता; सही विरोधी उदाहरण (2,6,9) है, जहां (2) और (6) जुड़े हैं, (6) और (9) जुड़े हैं, पर (2) और (9) नहीं जुड़े। चरण 3: कठिन संख्या संबंधों में विरोधी उदाहरण ध्यान से चुनें।
(2) and (3) are coprime, and (3) and (4) are also coprime.
Step 2
Why this answer is correct
But (2) and (4) are not coprime. Hence transitivity fails.
Step 3
Exam Tip
In coprime relations, the middle number may connect for different reasons. चरण 1: (2) और (3) परस्पर अभाज्य हैं, तथा (3) और (4) भी परस्पर अभाज्य हैं। चरण 2: लेकिन (2) और (4) परस्पर अभाज्य नहीं हैं। इसलिए संक्रमण टूटता है। चरण 3: परस्पर अभाज्य संबंध में बीच की संख्या अलग-अलग कारणों से जुड़ सकती है।
If (a-b) is an integer and (b-c) is an integer, their sum (a-c) is also an integer.
Step 2
Why this answer is correct
Hence (aRc) is true.
Step 3
Exam Tip
In difference relations, remember closure under addition. चरण 1: यदि (a-b) पूर्णांक है और (b-c) पूर्णांक है, तो उनका योग (a-c) भी पूर्णांक होगा। चरण 2: इसलिए (aRc) सत्य है। चरण 3: अंतर वाले संबंधों में बंद गुण को याद रखें।
Since (a-c>4) implies (a-c>2), transitivity holds.
Step 3
Exam Tip
Adding inequalities can give a stronger conclusion. चरण 1: यदि (a-b>2) और (b-c>2), तो जोड़ने पर (a-c>4) मिलेगा। चरण 2: (a-c>4) से (a-c>2) भी सही है, इसलिए संक्रमण पूरा होता है। चरण 3: असमानता जोड़ते समय मजबूत निष्कर्ष मिल सकता है।
(0<3-1.5<2) and (0<1.5-0<2), but (3-0=3), which is not less than (2).
Step 3
Exam Tip
In bounded inequalities, two small gaps can cross the bound. चरण 1: (a=3), (b=1.5), (c=0) लें। चरण 2: (0<3-1.5<2) और (0<1.5-0<2), पर (3-0=3), जो (2) से कम नहीं है। चरण 3: सीमा वाली असमानताओं में दो छोटी दूरियां मिलकर सीमा पार कर सकती हैं।
Cyclic chains produce self-pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलेगा। चरण 2: फिर ((1,3)) और ((3,1)) से ((1,1)) मिलेगा। चरण 3: चक्रीय श्रृंखला में समान तत्व वाली जोड़ियां बनती हैं।
A. इन तीनों तत्वों के सभी क्रमित युग्मों की ओर/Toward all ordered pairs among these three elements
Step 1
Concept
The three pairs form a cycle.
Step 2
Why this answer is correct
Repeated transitivity gives ((1,3),(2,1),(3,2)) and then self-pairs like ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 3
Exam Tip
The transitive closure of a full cycle often connects the whole small set. चरण 1: तीनों जोड़ियां एक चक्र बनाती हैं। चरण 2: संक्रमण बार-बार लगाने से ((1,3),(2,1),(3,2)) और फिर ((1,1),(2,2),(3,3)) जैसी जोड़ियां भी आती हैं। चरण 3: पूर्ण चक्र का संक्रमण आवरण अक्सर पूरे छोटे समुच्चय को जोड़ देता है।
((1,3)) and ((3,1)) require ((1,1)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((3,1)) and ((1,3)) require ((3,3)), also present.
Step 3
Exam Tip
Reverse pairs do not break transitivity if both required self-pairs are present. चरण 1: ((1,3)) और ((3,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((3,1)) और ((1,3)) से ((3,3)) चाहिए, वह भी मौजूद है। चरण 3: उलटी जोड़ी के साथ दोनों समान जोड़ियां हों तो संक्रमण टूटता नहीं है।
((1,3)) and ((3,1)) require ((1,1)), and ((3,1)) with ((1,3)) requires ((3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
Both are present; ((2,4)) does not form any further linked chain.
Step 3
Exam Tip
An isolated pair does not break transitivity by itself. चरण 1: ((1,3)) और ((3,1)) से ((1,1)), तथा ((3,1)) और ((1,3)) से ((3,3)) चाहिए। चरण 2: दोनों मौजूद हैं; ((2,4)) से आगे कोई जुड़ी जोड़ी नहीं बनती। चरण 3: अलग पड़ी जोड़ी अपने-आप संक्रमण नहीं तोड़ती।
((3,3)) is not in the relation, so transitivity fails.
Step 3
Exam Tip
Reverse pairs must be checked in both orders. चरण 1: ((3,1)) और ((1,3)) से ((3,3)) चाहिए। चरण 2: ((3,3)) संबंध में नहीं है, इसलिए संक्रमण शर्त पूरी नहीं होती। चरण 3: उलटी जोड़ियों को दोनों क्रमों में जांचना जरूरी है।
A. ((a,a)), ((b,b)), ((c,c)) भी (R) में होंगे/((a,a)), ((b,b)), ((c,c)) will also be in (R)
Step 1
Concept
((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)).
Step 2
Why this answer is correct
Then ((a,c)) and ((c,a)) imply ((a,a)); rotating the cycle gives ((b,b)) and ((c,c)) too.
Step 3
Exam Tip
Cyclic relations force self-pairs under transitivity. चरण 1: ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलेगा। चरण 2: फिर ((a,c)) और ((c,a)) से ((a,a)) मिलेगा; इसी तरह चक्र घुमाकर ((b,b)) और ((c,c)) भी मिलते हैं। चरण 3: चक्र वाले संबंधों में समान जोड़ियां अवश्य बनती हैं।
From \(a\le 2b\) and \(b\le 2c\), we only get \(a\le 4c\).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires \(a\le 2c\), which need not hold. Take (a=4), (b=2), (c=1); \(4\le4\), \(2\le2\), but \(4\le2\) is false.
Step 3
Exam Tip
In multiplier-based relations, the bound may change. चरण 1: \(a\le 2b\) और \(b\le 2c\) से केवल \(a\le 4c\) मिलता है। चरण 2: संक्रमण के लिए \(a\le 2c\) चाहिए, जो जरूरी नहीं है। उदाहरण (a=4), (b=2), (c=1) लें; \(4\le4\), \(2\le2\), पर \(4\le2\) गलत है। चरण 3: गुणा वाले संबंधों में सीमा बदल सकती है।
Transitivity requires (a=kc), so generally \(k^2=k\); for positive (k), this gives (k=1).
Step 3
Exam Tip
In fixed-multiplier relations, apply the multiplier twice. चरण 1: यदि (a=kb) और (b=kc), तो \(a=k^2c\) होगा। चरण 2: संक्रमण के लिए (a=kc) चाहिए, इसलिए सामान्यतः \(k^2=k\), धनात्मक (k) में यह (k=1) देता है। चरण 3: स्थिर गुणक वाले संबंधों में गुणक को दो बार लगाकर देखें।
Self-pairs in \(\Delta\) only carry a pair forward as itself.
Step 2
Why this answer is correct
Chains already inside (R) are complete because (R) is transitive. Adding \(\Delta\) creates no missing direct pair.
Step 3
Exam Tip
Adding the identity relation preserves transitivity. चरण 1: \(\Delta\) की समान जोड़ियां किसी जोड़ी को उसी रूप में आगे बढ़ाती हैं। चरण 2: (R) में पहले से संक्रमण है, इसलिए (R) की श्रृंखलाएं पूरी हैं। \(\Delta\) जोड़ने से कोई नई गुम सीधी जोड़ी नहीं बनती। चरण 3: पहचान संबंध जोड़ने पर संक्रमण सुरक्षित रहता है।
Identity pairs only fill self-pair gaps like ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
If the missing pair is like ((1,3)), \(\Delta\) will not add it. For example, ({(1,2),(2,3)}) still lacks ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
Not every missing pair is a self-pair. चरण 1: पहचान जोड़ियां केवल ((a,a)) जैसी कमी भरती हैं। चरण 2: यदि गुम जोड़ी ((1,3)) जैसी हो, तो \(\Delta\) उसे नहीं जोड़ेगा। जैसे ({(1,2),(2,3)}) में ((1,3)) अब भी नहीं आएगा। चरण 3: हर कमी समान तत्व वाली नहीं होती।
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), and ((2,3)) with ((3,4)) requires ((2,4)); both are present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)), also present. ((4,4)) creates no new missing pair.
Step 3
Exam Tip
Find every jump in the long chain. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)), तथा ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) मौजूद हैं। चरण 2: ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी मौजूद है। ((4,4)) कोई नई कमी नहीं बनाता। चरण 3: लंबी श्रृंखला की हर छलांग सूची में खोजें।
Use an already present shorter jump to check the longer jump. चरण 1: ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए। चरण 2: यह जोड़ी नहीं है, इसलिए संक्रमण टूटता है। चरण 3: पहले से बनी छोटी छलांग को आगे की बड़ी छलांग के लिए उपयोग करें।
The inverse of a transitive relation is also transitive. Here (b-a=-(a-b)) remains rational.
Step 3
Exam Tip
In inverse, the sign of the difference changes, not the property. चरण 1: (a-b) परिमेय होने का संबंध संक्रमण है। चरण 2: संक्रमण संबंध का प्रतिलोम भी संक्रमण होता है। यहां (b-a=-(a-b)) भी परिमेय रहता है। चरण 3: प्रतिलोम में अंतर का चिह्न बदलता है, गुण नहीं।
\(R\cap S\) contains only those self-pairs that are also in (R).
Step 2
Why this answer is correct
Any relation containing only self-pairs is transitive, because it only requires the same pair again.
Step 3
Exam Tip
Identify the nature of pairs left after intersection. चरण 1: \(R\cap S\) में केवल वे समान जोड़ियां रहेंगी जो (R) में भी हैं। चरण 2: केवल समान जोड़ियों वाला कोई भी संबंध संक्रमण होता है, क्योंकि उनसे वही जोड़ी दोबारा चाहिए। चरण 3: प्रतिच्छेद में बची जोड़ियों की प्रकृति पहचानें।
Transitivity requires ((1,3)), but it is not in the union.
Step 3
Exam Tip
Union of two relation parts can create a new missing pair. चरण 1: \(R\cup S\) में ((1,2)) और ((2,3)) दोनों होंगे। चरण 2: संक्रमण के लिए ((1,3)) चाहिए, पर यह संघ में नहीं है। चरण 3: दो अलग संक्रमण जैसे संबंधों का संघ भी नई कमी बना सकता है।
((2,2)) with ((2,2)) requires ((2,2)), which is present.
Step 3
Exam Tip
A relation with one self-pair is transitive. चरण 1: \(R\cap S={(2,2)}\) है। चरण 2: ((2,2)) और ((2,2)) से फिर ((2,2)) ही चाहिए, जो मौजूद है। चरण 3: एक समान जोड़ी वाला संबंध संक्रमण होता है।
Over real numbers, \(a^2+b^2=0\) happens only when (a=0) and (b=0).
Step 2
Why this answer is correct
So the relation has only ((0,0)), which is transitive.
Step 3
Exam Tip
First identify the actual pairs, then check the property. चरण 1: वास्तविक संख्याओं में \(a^2+b^2=0\) तभी होगा जब (a=0) और (b=0)। चरण 2: इसलिए संबंध केवल ((0,0)) है, जो संक्रमण है। चरण 3: पहले संबंध की वास्तविक जोड़ियां पहचानें, फिर गुण जांचें।
(ab>0) means (a) and (b) have the same sign and both are non-zero.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) and (b) have the same sign, and (b) and (c) have the same sign, then (a) and (c) also have the same sign.
Step 3
Exam Tip
In product-sign relations, track the sign chain. चरण 1: (ab>0) का अर्थ है (a) और (b) का चिह्न समान है और दोनों शून्य नहीं हैं। चरण 2: यदि (a) और (b) का चिह्न समान है तथा (b) और (c) का चिह्न समान है, तो (a) और (c) का चिह्न भी समान होगा। चरण 3: गुणनफल के चिह्न वाले संबंधों में चिह्न की श्रृंखला देखें।
If (a) and (b) have opposite signs and (b) and (c) also have opposite signs, then (a) and (c) have the same sign.
Step 3
Exam Tip
The example (1,-1,1) breaks transitivity. चरण 1: (ab<0) का अर्थ है (a) और (b) के चिह्न अलग हैं। चरण 2: यदि (a) और (b) अलग चिह्न के हैं और (b) और (c) भी अलग चिह्न के हैं, तो (a) और (c) समान चिह्न के होंगे। चरण 3: उदाहरण (1,-1,1) से संक्रमण टूटता है।
((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) and ((4,8)) require ((2,8)), and ((1,4)) with ((4,8)) requires ((1,8)); both are present.
Step 3
Exam Tip
In a chain-like relation, check all direct jumps. चरण 1: ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) मौजूद है। चरण 2: ((2,4)) और ((4,8)) से ((2,8)), तथा ((1,4)) और ((4,8)) से ((1,8)) मौजूद हैं। चरण 3: गुणोत्तर जैसी श्रृंखला में सभी सीधी छलांगें देखें।
This pair is missing from the list, so it is the main gap.
Step 3
Exam Tip
Use already obtained long pairs to form the next long pair. चरण 1: ((1,4)) और ((4,8)) से ((1,8)) चाहिए। चरण 2: यह जोड़ी सूची में नहीं है, इसलिए मुख्य कमी यही है। चरण 3: पहले से मिली लंबी जोड़ी को अगली लंबी जोड़ी बनाने में लगाएं।
A. ((x,y)) फिर से जरूरी है, जो पहले से है/((x,y)) is required again and is already present
Step 1
Concept
From ((x,y)) and ((y,y)), transitivity requires ((x,y)) itself.
Step 2
Why this answer is correct
This pair is already present, so no new missing pair is created.
Step 3
Exam Tip
A self-pair does not always create a new pair. चरण 1: ((x,y)) और ((y,y)) से संक्रमण के अनुसार ((x,y)) ही चाहिए। चरण 2: यह जोड़ी पहले से मौजूद है, इसलिए इससे नई कमी नहीं बनती। चरण 3: समान तत्व वाली जोड़ी हमेशा नई जोड़ी नहीं बनाती।
A. ((x,y)) ही आवश्यक है/((x,y)) itself is required
Step 1
Concept
Combining ((x,x)) and ((x,y)), the middle element is (x).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((x,y)), which is already present.
Step 3
Exam Tip
Do not assume a reverse pair just because a self-pair is present. चरण 1: ((x,x)) और ((x,y)) को जोड़ने पर बीच का तत्व (x) है। चरण 2: संक्रमण के लिए ((x,y)) ही चाहिए, जो पहले से मौजूद है। चरण 3: परावर्ती जैसी जोड़ी से भ्रमित होकर उलटी जोड़ी न मानें।
((3,1)) and ((1,2)) require ((3,2)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
Requirements formed with ((1,1)) and ((2,2)) are already in the relation.
Step 3
Exam Tip
In a downward chain, check the final direct pair. चरण 1: ((3,1)) और ((1,2)) से ((3,2)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((1,1)), ((2,2)) के साथ बनने वाली जरूरतें पहले से दी हुई जोड़ियों में हैं। चरण 3: ऊपर से नीचे आने वाली श्रृंखला में अंतिम सीधी जोड़ी जरूर देखें।
This pair is not in the relation, so it must be added.
Step 3
Exam Tip
When an outside starting point enters a chain, find the direct pair. चरण 1: ((3,1)) और ((1,2)) से ((3,2)) चाहिए। चरण 2: यह जोड़ी संबंध में नहीं है, इसलिए इसे जोड़ना होगा। चरण 3: किसी बाहरी शुरुआत से अंदर की श्रृंखला बने तो सीधी जोड़ी खोजें।
A missing pair matters only if it is required by a chain like ((a,c)) and ((c,b)).
Step 3
Exam Tip
Do not conclude immediately from a missing pair; prove that it is required. चरण 1: संक्रमण में हर अनुपस्थित जोड़ी जरूरी नहीं होती। चरण 2: वही जोड़ी जरूरी है जो किसी ((a,c)) और ((c,b)) जैसी श्रृंखला से बनती हो। चरण 3: गुम जोड़ी देखकर तुरंत निष्कर्ष न दें, पहले उसकी जरूरत सिद्ध करें।
((3,5)) and ((5,2)) require ((3,2)), and ((5,2)) with ((2,3)) requires ((5,3)).
Step 3
Exam Tip
In a cycle, first-layer pairs may later create self-pairs too. चरण 1: ((2,3)) और ((3,5)) से ((2,5)) चाहिए। चरण 2: ((3,5)) और ((5,2)) से ((3,2)), तथा ((5,2)) और ((2,3)) से ((5,3)) चाहिए। चरण 3: चक्र में पहली परत की जोड़ियां बाद में समान जोड़ियां भी बना सकती हैं।
A. हर दूसरे घटक से शुरू होने वाली जोड़ियों को समूह बनाकर जांचना/Group pairs by their second component and check matching starts
Step 1
Concept
In transitivity, after ((a,b)), we need a pair starting with (b).
Step 2
Why this answer is correct
Grouping by the second component helps find all chains quickly.
Step 3
Exam Tip
For long lists, this method reduces mistakes. चरण 1: संक्रमण में ((a,b)) के बाद ऐसी जोड़ी चाहिए जिसकी शुरुआत (b) से हो। चरण 2: इसलिए दूसरे घटक के आधार पर समूह बनाने से सारी श्रृंखलाएं जल्दी मिलती हैं। चरण 3: सूची लंबी हो तो यह विधि गलती कम करती है।
