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composition of relations MCQ Questions for Class 12
composition of relations se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
\(R\circ R\) में ((a,c)) तब आता है जब कोई (b) हो ताकि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\)। / \((a,c)\in R\circ R\) when some (b) exists with \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण होने से ऐसा ((a,c)) सीधे (R) में होगा। / Since (R) is transitive, such ((a,c)) belongs to (R).
Step 3
Exam Tip
संयोजन वाले प्रश्नों में परिभाषा को क्रमित युग्मों से समझें। / For composition questions, read the definition through ordered pairs.
A. यह हमेशा सममित नहीं होता/It is not always symmetric
Step 1
Concept
संघ और प्रतिच्छेद में सममितता सुरक्षित रहती है, लेकिन संयोजन में हमेशा नहीं। / Symmetry is preserved under union and intersection, but not always under composition.
Step 2
Why this answer is correct
दो सममित संबंधों का क्रमित संयोजन उल्टे युग्मों को जरूरी रूप से सुरक्षित नहीं रखता। / The ordered composition of two symmetric relations need not preserve all reverse pairs.
Step 3
Exam Tip
संयोजन वाले प्रश्न में छोटा प्रतिउदाहरण बनाकर जाँच करना बेहतर है। / For composition questions, testing with a small counterexample is often best.
उल्टे संबंध के नियम से (\(R\circ S\)^{-1}=S^{-1}\circ R^{-1}) होता है। / For inverse relations, (\(R\circ S\)^{-1}=S^{-1}\circ R^{-1}).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) सममित हैं, इसलिए \(R^{-1}=R\) और \(S^{-1}=S\), अतः (\(R\circ S\)^{-1}=S\circ R)। / Since (R) and (S) are symmetric, \(R^{-1}=R\) and \(S^{-1}=S\), so (\(R\circ S\)^{-1}=S\circ R).
Step 3
Exam Tip
यदि \(R\circ S=S\circ R\), तो संयुक्त संबंध अपने उल्टे के बराबर होकर सममित हो जाएगा। / If \(R\circ S=S\circ R\), then the composite equals its inverse and is symmetric.
(R) परावर्ती होने से (aRa) सत्य है। / Reflexivity of (R) gives (aRa).
Step 2
Why this answer is correct
(S) परावर्ती होने से (aSa) भी सत्य है। / Reflexivity of (S) gives (aSa).
Step 3
Exam Tip
संयोजन में मध्य तत्व (a) लेने पर (a\(S\circ R\)a) मिलता है, इसलिए संबंध परावर्ती है। / Taking the middle element as (a), we get (a\(S\circ R\)a), so the composition is reflexive.
\(S\circ R\) में पहले (R) और फिर (S) लगाया जाता है। / In \(S\circ R\), apply (R) first and then (S).
Step 2
Why this answer is correct
(1) से (2) और (2) से (4) मिलता है, इसलिए ((1,4)) आएगा; (2) से (3) और (3) से (5) मिलता है, इसलिए ((2,5)) आएगा। / (1) goes to (2), and (2) goes to (4), giving ((1,4)); (2) goes to (3), and (3) goes to (5), giving ((2,5)).
Step 3
Exam Tip
संयोजन में बीच वाला तत्व समान होना चाहिए। / The middle element must match in composition.
