Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
((1,4)) और ((4,5)) संबंध में हैं। / ((1,4)) and ((4,5)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,5)) चाहिए, लेकिन यह अनुपस्थित है। ((2,4)) और ((4,5)) से ((2,5)) भी आगे जाँचना पड़ेगा, पर दिए विकल्पों में मुख्य जरूरी जोड़ी ((1,5)) है। / Transitivity requires ((1,5)), but it is missing. ((2,4)) and ((4,5)) also suggest checking ((2,5)), but among the options the key required pair is ((1,5)).
Step 3
Exam Tip
लंबी श्रृंखला में अंतिम कड़ी जोड़ते ही नई सीधी जोड़ियाँ बनती हैं। / When a last link is added to a chain, new direct pairs are formed.
A. हर दो-चरण वाली जरूरी जोड़ी पहले से मौजूद है/Every required two-step pair is already present
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)), ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) मिलना चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), and ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी चाहिए। ये सभी जोड़ियाँ मौजूद हैं। / ((1,3)) and ((3,4)) also require ((1,4)). All these pairs are present.
Step 3
Exam Tip
बिना स्वयंजोड़ियों वाला संबंध भी संक्रामक हो सकता है। / A relation without self-pairs can still be transitive.
A. ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) लगातार जोड़ियाँ हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) form a chain.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) जरूरी है, जो संबंध में नहीं है। / Transitivity requires ((1,3)), which is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
स्वयंजोड़ियों की कमी हर बार संक्रामकता को नहीं तोड़ती, असली कमी आवश्यक सीधी जोड़ी की होती है। / Missing self-pairs do not always break transitivity; the key issue is the missing required direct pair.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)), तथा ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) मौजूद हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), and ((2,3)) with ((3,4)) requires ((2,4)); both are present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी मौजूद है। ((4,4)) कोई नई कमी नहीं बनाता। / ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)), also present. ((4,4)) creates no new missing pair.
Step 3
Exam Tip
लंबी श्रृंखला की हर छलांग सूची में खोजें। / Find every jump in the long chain.
दिया गया (R) क्रम (1) से (2) से (3) तक बढ़ने जैसा है और इसमें जरूरी सीधी जोड़ियां हैं। / The given (R) acts like an increasing chain from (1) to (2) to (3) and includes the required direct pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण संबंध का प्रतिलोम भी संक्रमण रहता है। / The inverse of a transitive relation is also transitive.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम बनाते समय हर जोड़ी उलटेगी, पर श्रृंखला की शर्त बनी रहेगी। / While taking inverse, every pair reverses, but the chain condition remains valid.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)), तथा ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) मौजूद हैं। / ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), and ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)); both are present.
Step 3
Exam Tip
लंबी श्रृंखला की सभी जरूरी जोड़ियां सूची में टिक करें। / Tick all required pairs in a longer chain.
मुख्य श्रृंखलाएँ ((1,2),(2,3)), ((2,3),(3,4)), ((1,3),(3,4)) हैं। / The main chains are ((1,2),(2,3)), ((2,3),(3,4)), and ((1,3),(3,4)).
Step 2
Why this answer is correct
इनके लिए क्रमशः ((1,3)), ((2,4)), ((1,4)) चाहिए, और ये सभी मौजूद हैं। इसलिए (R) संक्रामी है। / They require ((1,3)), ((2,4)), and ((1,4)), all of which are present. Hence (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
संक्रामी होने के लिए हर आत्म या उल्टा युग्म जरूरी नहीं है। / Transitivity does not require every reflexive or reverse pair.
पहले ((1,2)) और ((2,3)) को जोड़ें। / First connect ((1,2)) and ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
इनसे ((1,3)) जरूरी होता है। आगे ((2,4)) और फिर ((1,4)) भी देखने पड़ सकते हैं, पर दिए विकल्पों में पहला जरूरी युग्म ((1,3)) है। / They require ((1,3)). Later, ((2,4)) and then ((1,4)) may also need checking, but among the options the required pair is ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
लंबी कड़ी में छोटे-छोटे चरणों से युग्म बनाइए। / In a long chain, build pairs step by step.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए, फिर ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए। / ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), and then ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)).
Step 3
Exam Tip
लंबी कड़ियों में नए बने युग्मों से भी संक्रामकता जांचें। / In long chains, also check pairs created during closure.
