The common primes are (2), (3), and (5), with smaller powers \(2^4\), (3), and (5).
Step 3
Exam Tip
For HCF, always choose the smaller power. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। चरण 2: समान गुणनखंड (2), (3) और (5) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^4\), (3) और (5) हैं। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में हमेशा छोटी घात चुनें।
The common primes are (2) and (3), with smaller powers \(2^5\) and \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
For HCF, always take the smaller powers. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड आते हैं। चरण 2: समान अभाज्य (2) और (3) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^5\) और \(3^2\) हैं। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में केवल छोटी घातें लेना सबसे सुरक्षित तरीका है।
Prime factorise: \(63=3^2\times7\), \(98=2\times7^2\), and \(154=2\times7\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are (2), \(3^2\), \(7^2\), and (11), so the LCM is (9702).
Step 3
Exam Tip
Include a prime even if it appears in only one number. चरण 1: अभाज्य गुणनखंड लिखें: \(63=3^2\times7\), \(98=2\times7^2\), \(154=2\times7\times11\)। चरण 2: सबसे बड़ी घातें (2), \(3^2\), \(7^2\), (11) हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (9702) है। चरण 3: जो अभाज्य केवल एक संख्या में हो, उसे भी लघुत्तम समापवर्त्य में शामिल करें।
For large numbers, simplify the division in small steps. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{66528}{72}=924\) होगा। चरण 3: बड़ी संख्या होने पर भाग को छोटे चरणों में सरल करें।
The other number is \(\frac{48\times1440}{240}=288\).
Step 3
Exam Tip
First simplify (1440) by (240) to make the calculation easier. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{48\times1440}{240}=288\) है। चरण 3: पहले (1440) को (240) से सरल करके गणना आसान करें।
The smallest number exactly divisible by all given numbers is their LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(54=2\times3^3\), \(72=2^3\times3^2\), and \(90=2\times3^2\times5\), so LCM \(=2^3\times3^3\times5=1080\).
Step 3
Exam Tip
Choose the highest powers carefully. चरण 1: सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। चरण 2: \(54=2\times3^3\), \(72=2^3\times3^2\), \(90=2\times3^2\times5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3^3\times5=1080\) है। चरण 3: बड़ी घातों को ध्यान से चुनें।
\(225=3^2\times5^2\), \(375=3\times5^3\), and \(525=3\times5^2\times7\), so HCF \(=3\times5^2=75\).
Step 3
Exam Tip
Use only the smallest powers common to all numbers. चरण 1: सबसे बड़ी समान भाजक संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। चरण 2: \(225=3^2\times5^2\), \(375=3\times5^3\), \(525=3\times5^2\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(3\times5^2=75\) है। चरण 3: सभी संख्याओं में मौजूद छोटी घातें ही लें।
HCF is \(2^2\times3^2\times13\), and LCM is \(2^4\times3^5\times5\times13\).
Step 2
Why this answer is correct
On division, subtract the powers of the same bases, giving \(2^2\times3^3\times5\).
Step 3
Exam Tip
In prime-power division, subtract exponents. चरण 1: महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3^2\times13\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3^5\times5\times13\) है। चरण 2: भाग देने पर समान आधारों की घातें घटती हैं, इसलिए अनुपात \(2^2\times3^3\times5\) है। चरण 3: अभाज्य घातों में भाग करते समय घातों का घटाव करें।
The next common signal time is the LCM of the intervals.
Step 2
Why this answer is correct
\(16=2^4\), \(24=2^3\times3\), and \(40=2^3\times5\), so LCM \(=2^4\times3\times5=240\).
Step 3
Exam Tip
For repeated-time questions, use LCM. चरण 1: साथ में दोबारा संकेत देने का समय अंतरालों का लघुत्तम समापवर्त्य होगा। चरण 2: \(16=2^4\), \(24=2^3\times3\), \(40=2^3\times5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3\times5=240\) है। चरण 3: दोहराव वाले समय प्रश्नों में लघुत्तम समापवर्त्य लें।
The smaller power of (2) must be (5), so (a=5) is possible; the smaller power of (3) must be (3), so (b=3) is possible.
Step 3
Exam Tip
Check unknown powers separately. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। चरण 2: (2) की छोटी घात (5) चाहिए, इसलिए (a=5) संभव है; (3) की छोटी घात (3) चाहिए, इसलिए (b=3) संभव है। चरण 3: अज्ञात घातों को अलग-अलग जाँचें।
यदि \(m=2^3\times3^a\times7\) और \(n=2^5\times3^2\times5^2\times7^b\) का लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^4\times5^2\times7^3\) है, तो कौन-सा मान सही है?
The highest power of (3) must be (4), so (a=4); the highest power of (7) must be (3), so (b=3).
Step 3
Exam Tip
For LCM, focus on the maximum-power condition. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में प्रत्येक अभाज्य की सबसे बड़ी घात आती है। चरण 2: (3) की बड़ी घात (4) चाहिए, इसलिए (a=4); (7) की बड़ी घात (3) चाहिए, इसलिए (b=3)। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में अधिकतम घात की शर्त देखें।
Subtracting (9) makes the number divisible by (28), (42), and (56).
Step 2
Why this answer is correct
\(28=2^2\times7\), \(42=2\times3\times7\), and \(56=2^3\times7\), so LCM \(=2^3\times3\times7=168\). Hence the number is (168+9=177).
Step 3
Exam Tip
Add the common remainder at the end. चरण 1: संख्या में से (9) घटाने पर वह (28), (42) और (56) से विभाजित होगी। चरण 2: \(28=2^2\times7\), \(42=2\times3\times7\), \(56=2^3\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3\times7=168\) है। अतः संख्या (168+9=177) होगी। चरण 3: समान शेष वाले प्रश्न में शेष अंत में जोड़ें।
एक पुस्तकालय में (168) गणित की पुस्तकें और (252) विज्ञान की पुस्तकें हैं। इन्हें अधिकतम समान डिब्बों में रखना है ताकि हर डिब्बे में दोनों प्रकार की पुस्तकों की संख्या समान रहे। अधिकतम कितने डिब्बे बनेंगे?
The maximum number of identical boxes is found using HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(168=2^3\times3\times7\) and \(252=2^2\times3^2\times7\), so HCF \(=2^2\times3\times7=84\).
Step 3
Exam Tip
For maximum equal distribution, use HCF. चरण 1: अधिकतम समान डिब्बों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। चरण 2: \(168=2^3\times3\times7\) और \(252=2^2\times3^2\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3\times7=84\) है। चरण 3: अधिकतम समान बाँटने में महत्तम समापवर्तक उपयोग करें।
Product (=) HCF \(\times\) LCM, so product \(=1\times667=667\).
Step 3
Exam Tip
For coprime numbers, the LCM equals the product. चरण 1: सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। चरण 2: दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए गुणनफल \(1\times667=667\) है। चरण 3: सहाभाज्य संख्याओं में लघुत्तम समापवर्त्य ही गुणनफल होता है।
LCM \(=2^4\times3\times11=528\), so the sum is (88+528=616).
Step 3
Exam Tip
When sum is asked, find both values separately. चरण 1: महत्तम समापवर्तक \(2^3\times11=88\) है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3\times11=528\) है, इसलिए योग (88+528=616) है। चरण 3: योग पूछे जाने पर दोनों मान अलग-अलग निकालें।
The smallest such number is the LCM of the two given numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of (3) are (2) and (5), so the higher power (5) will be used.
Step 3
Exam Tip
For divisibility, choose the higher power. चरण 1: ऐसी सबसे छोटी संख्या दोनों संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य होगी। चरण 2: (3) की घातें (2) और (5) हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात (5) होगी। चरण 3: विभाज्यता के लिए बड़ी घात चुनें।
After taking out HCF (18), (r) and (s) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM (=18rs=990), so (rs=55).
Step 3
Exam Tip
Divide by the HCF to simplify such questions. चरण 1: महत्तम समापवर्तक (18) बाहर निकालने पर (r) और (s) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (18rs=990), इसलिए (rs=55) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में महत्तम समापवर्तक से भाग देकर काम आसान करें।
B. इनका महत्तम समापवर्तक (44) है/Their HCF is (44)
Step 1
Concept
\(132=2^2\times3\times11\) and \(308=2^2\times7\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
The common smaller powers are \(2^2\) and (11), so HCF (=44).
Step 3
Exam Tip
Compare prime factors before choosing the statement. चरण 1: \(132=2^2\times3\times11\) और \(308=2^2\times7\times11\) है। चरण 2: समान छोटी घातें \(2^2\) और (11) हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (44) है। चरण 3: कथन चुनने से पहले अभाज्य गुणनखंडों की तुलना करें।
The powers of (2) are (6) and (4), so the higher power is (6).
Step 3
Exam Tip
In LCM, powers are not added; only the higher power is taken. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में समान अभाज्य की बड़ी घात आती है। चरण 2: (2) की घातें (6) और (4) हैं, इसलिए बड़ी घात (6) होगी। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में घातें जोड़ी नहीं जातीं, केवल बड़ी घात ली जाती है।
Check prime factors: \(66=2\times3\times11\), \(88=2^3\times11\), and \(121=11^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The distinct primes in the LCM are (2), (3), and (11), so the count is (3).
Step 3
Exam Tip
Do not count powers as separate primes. चरण 1: अभाज्य गुणनखंड देखें: \(66=2\times3\times11\), \(88=2^3\times11\), \(121=11^2\)। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में भिन्न अभाज्य (2), (3), (11) होंगे, इसलिए संख्या (3) है। चरण 3: घातों को अलग अभाज्य न गिनें।
B. ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं/Such whole numbers are not possible
Step 1
Concept
The HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
(1260) is not exactly divisible by (45), so such whole numbers are not possible.
Step 3
Exam Tip
Check this necessary condition before searching for pairs. चरण 1: महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। चरण 2: (1260) को (45) से भाग देने पर पूर्णांक नहीं मिलता, इसलिए ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं। चरण 3: जोड़ा खोजने से पहले यह आवश्यक शर्त जाँचें।
\(80=2^4\times5\) and \(128=2^7\), so HCF \(=2^4=16\).
Step 3
Exam Tip
For maximum equal cutting, use HCF. चरण 1: समान अधिकतम लंबाई के लिए महत्तम समापवर्तक चाहिए। चरण 2: \(80=2^4\times5\) और \(128=2^7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^4=16\) है। चरण 3: काटने के अधिकतम समान प्रश्न में महत्तम समापवर्तक निकालें।
\(36=2^2\times3^2\), \(100=2^2\times5^2\), and \(150=2\times3\times5^2\), so LCM \(=2^2\times3^2\times5^2=900\).
Step 3
Exam Tip
Always verify the final multiplication before choosing an option. चरण 1: सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। चरण 2: \(36=2^2\times3^2\), \(100=2^2\times5^2\), \(150=2\times3\times5^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^2\times5^2=900\) है। चरण 3: विकल्प चुनने से पहले अंतिम गुणन अवश्य जाँचें।
Such a smallest number is the LCM of the three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(36=2^2\times3^2\), \(100=2^2\times5^2\), and \(150=2\times3\times5^2\), so LCM \(=2^2\times3^2\times5^2=900\).
Step 3
Exam Tip
Take the highest power of each prime. चरण 1: ऐसी सबसे छोटी संख्या तीनों संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य होगी। चरण 2: \(36=2^2\times3^2\), \(100=2^2\times5^2\), \(150=2\times3\times5^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^2\times5^2=900\) है। चरण 3: हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात लें।
यदि \(H=2^2\times3\times5\) और \(L=2^6\times3^3\times5^2\times7\) क्रमशः दो संख्याओं के महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य हैं, तो \(\frac{L}{H}\) क्या होगा?
Subtract powers of the same bases: \(2^{6-2}\times3^{3-1}\times5^{2-1}\times7=2^4\times3^2\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
Use exponent subtraction in division. चरण 1: \(\frac{L}{H}\) में लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग देते हैं। चरण 2: समान आधारों की घातें घटाएँ: \(2^{6-2}\times3^{3-1}\times5^{2-1}\times7=2^4\times3^2\times5\times7\)। चरण 3: घातों वाले भाग में घटाव का नियम लगाएँ।
Divide (286) by (143) first to get (2), then multiply \(2\times429\). चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{286\times429}{143}=858\) है। चरण 3: पहले (286) को (143) से भाग देकर (2) लें, फिर \(2\times429\) करें।
When one number exactly divides the other, the smaller number is the HCF.
Step 3
Exam Tip
First check whether one number is a multiple of the other. चरण 1: \(q=p\times7\) है, इसलिए (p), (q) का पूर्ण भाजक है। चरण 2: जब एक संख्या दूसरी संख्या को पूर्ण भाग देती है, तो छोटी संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। चरण 3: पहले यह देखें कि कोई संख्या दूसरी का गुणज है या नहीं।
The maximum number of equal parts is found using HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(96=2^5\times3\), \(144=2^4\times3^2\), and \(192=2^6\times3\), so HCF \(=2^4\times3=48\).
Step 3
Exam Tip
For maximum equal division, use HCF. चरण 1: बराबर अधिकतम भागों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। चरण 2: \(96=2^5\times3\), \(144=2^4\times3^2\), \(192=2^6\times3\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^4\times3=48\) है। चरण 3: समान अधिकतम भागों में बाँटने के लिए महत्तम समापवर्तक लें।
HCF includes only primes common to all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(2) and (3) are common, but (5) is not in the third number; the smallest powers are \(2^2\) and \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
Do not include a prime that is not present in every number. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में वही अभाज्य आएँगे जो तीनों में समान हों। चरण 2: (2) और (3) तीनों में हैं, पर (5) तीसरी संख्या में नहीं है; छोटी घातें \(2^2\) और \(3^2\) हैं। चरण 3: जो अभाज्य सभी संख्याओं में न हो, उसे महत्तम समापवर्तक में न लें।
\(44=2^2\times11\), \(77=7\times11\), and \(121=11^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The highest power of (11) in the LCM is (2).
Step 3
Exam Tip
For LCM, choose the highest power. चरण 1: \(44=2^2\times11\), \(77=7\times11\), \(121=11^2\) है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में (11) की सबसे बड़ी घात (2) होगी। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात चुनें।
When (u) and (v) are coprime, the LCM of (30u) and (30v) is (30uv).
Step 2
Why this answer is correct
Since (uv=26), LCM \(=30\times26=780\).
Step 3
Exam Tip
Factoring out the HCF simplifies the question. चरण 1: जब (u) और (v) सहाभाज्य हों, तो (30u) और (30v) का लघुत्तम समापवर्त्य (30uv) होता है। चरण 2: (uv=26), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(30\times26=780\) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालने से प्रश्न सरल हो जाता है।
Then \(\frac{1080}{72}=15\), so the value of the ratio is (15).
Step 3
Exam Tip
First find the LCM, then simplify the ratio. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{216\times360}{72}=1080\) होगा। चरण 2: अब \(\frac{1080}{72}=15\), इसलिए अनुपात का मान (15) है। चरण 3: पहले लघुत्तम समापवर्त्य निकालें, फिर अनुपात सरल करें।
A common multiple must contain all prime powers required by both numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^6\), \(3^3\), (5), and (7).
Step 3
Exam Tip
Do not miss any required prime factor while checking a multiple. चरण 1: दोनों की गुणज संख्या में दोनों संख्याओं के लिए जरूरी सभी अभाज्य घातें होनी चाहिए। चरण 2: बड़ी घातें \(2^6\), \(3^3\), (5) और (7) हैं। चरण 3: गुणज जाँचते समय कोई आवश्यक अभाज्य गुणनखंड न छोड़ें।
(2), (3), and (7) are common, but (5) appears only in the second number.
Step 3
Exam Tip
First identify common primes, then choose their smaller powers. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल वही अभाज्य आते हैं जो दोनों संख्याओं में हों। चरण 2: (2), (3) और (7) दोनों में हैं, पर (5) केवल दूसरी संख्या में है। चरण 3: पहले समान अभाज्य पहचानें, फिर उनकी छोटी घात चुनें।
यदि \(2^7\times3^2\times5\) और \(2^5\times3^4\times5^3\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (5) की घात और (H) में (5) की घात क्रमशः क्या होंगी?
LCM takes the higher power of (5), and HCF takes the lower power.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of (5) are (1) and (3), so (L) has power (3) and (H) has power (1).
Step 3
Exam Tip
Do not interchange the two rules. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में (5) की बड़ी घात और महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आएगी। चरण 2: (5) की घातें (1) और (3) हैं, इसलिए (L) में (3) और (H) में (1) होगी। चरण 3: दोनों नियमों को उल्टा न करें।
(11) appears only in the LCM as \(11^1\), so its power in the product is (1).
Step 3
Exam Tip
In multiplication, add powers of the same prime. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल होता है। चरण 2: (11) केवल लघुत्तम समापवर्त्य में \(11^1\) के रूप में है, इसलिए गुणनफल में इसकी घात (1) होगी। चरण 3: गुणन में समान अभाज्य की घातें जोड़ी जाती हैं।
\(108=2^2\times3^3\), \(162=2\times3^4\), and \(270=2\times3^3\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^2\), \(3^4\), and (5), so LCM \(=4\times81\times5=1620\).
Step 3
Exam Tip
Use the highest powers to get the final value. चरण 1: \(108=2^2\times3^3\), \(162=2\times3^4\), \(270=2\times3^3\times5\) है। चरण 2: बड़ी घातें \(2^2\), \(3^4\), (5) हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(4\times81\times5=1620\) है। चरण 3: सबसे बड़ी घातों को लेकर अंतिम मान निकालें।
After subtracting (11), the number must be divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(32=2^5\), \(48=2^4\times3\), and \(72=2^3\times3^2\), so LCM \(=2^5\times3^2=288\). Hence the number is (288+11=299).
Step 3
Exam Tip
Add the common remainder at the end. चरण 1: संख्या से (11) घटाने पर वह तीनों संख्याओं से विभाजित होगी। चरण 2: \(32=2^5\), \(48=2^4\times3\), \(72=2^3\times3^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^2=288\) है। अतः संख्या (288+11=299) है। चरण 3: समान शेष को अंत में जोड़ें।
The second number has power (4), so (a=6) gives the required highest power (6).
Step 3
Exam Tip
For LCM, check the maximum-power condition. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में (2) की बड़ी घात (6) होनी चाहिए। चरण 2: दूसरी संख्या में (2) की घात (4) है, इसलिए पहली संख्या में (a=6) होने पर बड़ी घात (6) बनेगी। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में अधिकतम घात की शर्त देखें।
You can divide first by (7) and then by (4) to simplify. चरण 1: गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{70560}{28}=2520\) है। चरण 3: भाग को पहले (7) और फिर (4) से सरल कर सकते हैं।
\(For two numbers, LCM (=\frac{\)first number\(\times\)second number}{HCF}).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{154\times231}{77}=462\).
Step 3
Exam Tip
\(First calculate (154\div77=2) for a quicker solution. चरण 1: दो संख्याओं के लिए लघुत्तम समापवर्त्य (=\frac{\)पहली संख्या\(\times\)दूसरी संख्या}{महत्तम समापवर्तक}) होता है। चरण 2: \(\frac{154\times231}{77}=462\) है। \(चरण 3: पहले (154\div77=2) करके गणना तेज करें\)।
The smaller powers of (2), (3), and (11) are (3), (2), and (1), so HCF \(=2^3\times3^2\times11\).
Step 3
Exam Tip
Compare the powers for each base separately. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात ली जाती है। चरण 2: (2), (3), (11) की छोटी घातें क्रमशः (3), (2), (1) हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3^2\times11\) है। चरण 3: हर आधार की घात अलग-अलग तुलना करें।
\(91=7\times13\), \(143=11\times13\), and \(187=11\times17\).
Step 2
Why this answer is correct
There is no prime factor common to all three, so the HCF should be (1).
Step 3
Exam Tip
For three numbers, a common factor must be present in every number. चरण 1: \(91=7\times13\), \(143=11\times13\), \(187=11\times17\) है। चरण 2: तीनों में कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए महत्तम समापवर्तक (1) होना चाहिए। चरण 3: तीनों संख्याओं के लिए समान गुणनखंड सभी में होना जरूरी है।
\(91=7\times13\), \(143=11\times13\), and \(187=11\times17\).
Step 2
Why this answer is correct
No prime factor is common to all three numbers, so the HCF is (1).
Step 3
Exam Tip
A factor common to only two numbers is not enough for the HCF of all three. चरण 1: \(91=7\times13\), \(143=11\times13\), \(187=11\times17\) है। चरण 2: कोई भी अभाज्य गुणनखंड तीनों संख्याओं में समान नहीं है, इसलिए महत्तम समापवर्तक (1) है। चरण 3: केवल दो संख्याओं में समान गुणनखंड दिखने से वह तीनों का महत्तम समापवर्तक नहीं बनता।
The powers of (3) are (1) and (3), so (L) contains \(3^3\).
Step 3
Exam Tip
Compare powers only for the same base. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की बड़ी घात आती है। चरण 2: (3) की घातें (1) और (3) हैं, इसलिए (L) में \(3^3\) होगा। चरण 3: घातों की तुलना समान आधार पर ही करें।
A. ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव हैं/Such two whole numbers are possible
Step 1
Concept
The HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(420\div15=28\), which is a whole number, so such two whole numbers can exist.
Step 3
Exam Tip
For existence checks, test divisibility first. चरण 1: महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। चरण 2: \(420\div15=28\) पूर्णांक है, इसलिए ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव हो सकती हैं। चरण 3: अस्तित्व जाँचते समय पहले विभाज्यता देखें।
(7) appears only in the LCM as \(7^1\), so its power in the product is (1).
Step 3
Exam Tip
In multiplication, add exponents of the same prime. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल होता है। चरण 2: (7) केवल लघुत्तम समापवर्त्य में \(7^1\) के रूप में है, इसलिए गुणनफल में इसकी घात (1) होगी। चरण 3: गुणन में समान अभाज्य की घातें जोड़ी जाती हैं।
The other number is \(\frac{21\times1386}{198}=147\).
Step 3
Exam Tip
Simplifying the division first makes the calculation faster. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{21\times1386}{198}=147\) है। चरण 3: भाग को पहले सरल करने से गणना जल्दी होती है।
\(120=2^3\times3\times5\), \(180=2^2\times3^2\times5\), and \(300=2^2\times3\times5^2\), so the smallest power is (2).
Step 3
Exam Tip
HCF uses the smallest power. चरण 1: (2) की घातों की तुलना करें। चरण 2: \(120=2^3\times3\times5\), \(180=2^2\times3^2\times5\), \(300=2^2\times3\times5^2\), इसलिए सबसे छोटी घात (2) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आती है।
After subtracting (4), the number must be divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The LCM of (21), (28), and (36) is (252), so the number is (252+4=256).
Step 3
Exam Tip
In common-remainder questions, find the LCM first. चरण 1: संख्या से (4) घटाने पर वह तीनों संख्याओं से पूरी तरह विभाजित होगी। चरण 2: (21), (28), (36) का लघुत्तम समापवर्त्य (252) है, इसलिए संख्या (252+4=256) होगी। चरण 3: समान शेष वाले प्रश्नों में पहले लघुत्तम समापवर्त्य निकालें।
