The powers of (2) are (8) and (5), so the smaller power is (5).
Step 3
Exam Tip
Do not add the powers; take only the smaller one. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। चरण 2: (2) की घातें (8) और (5) हैं, इसलिए छोटी घात (5) होगी। चरण 3: घातों को जोड़ना नहीं है, केवल छोटी घात लेनी है।
The powers of (11) are (1) and (2), so (L) contains \(11^2\).
Step 3
Exam Tip
Compare powers only for the same base. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: (11) की घातें (1) और (2) हैं, इसलिए (L) में \(11^2\) होगा। चरण 3: घातों की तुलना समान आधार पर ही करें।
(7) appears from (343) as \(7^3\), so its power in the LCM is (3).
Step 3
Exam Tip
A prime appearing in only one number is still included in the LCM. चरण 1: \(128=2^7\), \(192=2^6\times3\) और \(343=7^3\) है। चरण 2: (7) केवल (343) से \(7^3\) के रूप में आएगा, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य में घात (3) होगी। चरण 3: केवल एक संख्या में आया अभाज्य भी लघुत्तम समापवर्त्य में आता है।
The smallest number divisible by both is their LCM.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of (3) are (2) and (5), so the higher power (5) is used.
Step 3
Exam Tip
For divisibility, choose the required highest power. चरण 1: दोनों से विभाजित होने वाली सबसे छोटी संख्या उनका लघुत्तम समापवर्त्य होगी। चरण 2: (3) की घातें (2) और (5) हैं, इसलिए बड़ी घात (5) ली जाएगी। चरण 3: विभाज्यता के लिए आवश्यक सबसे बड़ी घात चुनें।
\(216=2^3\times3^3\), \(324=2^2\times3^4\), and \(540=2^2\times3^3\times5\), so the smallest power is (3).
Step 3
Exam Tip
HCF uses the smallest power. चरण 1: (3) की घातों की तुलना करें। चरण 2: \(216=2^3\times3^3\), \(324=2^2\times3^4\), \(540=2^2\times3^3\times5\), इसलिए छोटी घात (3) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में सबसे छोटी घात आती है।
The powers of (3) are (2) and (4), so the total power is (6).
Step 3
Exam Tip
When multiplying powers with the same base, add the exponents. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: (3) की घातें (2) और (4) जुड़ेंगी, इसलिए कुल घात (6) होगी। चरण 3: समान आधारों के गुणन में घातें जोड़ी जाती हैं।
The powers of (3) are (5), (2), and (4), so the highest power is (5).
Step 3
Exam Tip
Choose the highest power instead of adding powers. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में (3) की सबसे बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: (3) की घातें (5), (2) और (4) हैं, इसलिए सबसे बड़ी घात (5) होगी। चरण 3: घातों को जोड़ने के बजाय सबसे बड़ी घात चुनें।
The powers of (5) are (3) and (1), so the smaller power is (1).
Step 3
Exam Tip
Recognise power (1) correctly in the answer. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। चरण 2: (5) की घातें (3) और (1) हैं, इसलिए छोटी घात (1) होगी। चरण 3: घात (1) को भी सही उत्तर में पहचानें।
\(132=2^2\times3\times11\) and \(220=2^2\times5\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
(5) appears only in the second number as \(5^1\), so its power in the LCM is (1).
Step 3
Exam Tip
A prime appearing in only one number is included in the LCM. चरण 1: \(132=2^2\times3\times11\) और \(220=2^2\times5\times11\) है। चरण 2: (5) केवल दूसरी संख्या में \(5^1\) के रूप में है, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य में इसकी घात (1) होगी। चरण 3: केवल एक संख्या में आया अभाज्य भी लघुत्तम समापवर्त्य में आता है।
\(68=2^2\times17\), \(85=5\times17\), and \(289=17^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The highest power of (17) in the LCM is (2).
Step 3
Exam Tip
For LCM, choose the highest power. चरण 1: \(68=2^2\times17\), \(85=5\times17\) और \(289=17^2\) है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में (17) की सबसे बड़ी घात (2) होगी। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात चुनें।
The smallest number divisible by both is their LCM.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of (3) are (3) and (5), so the higher power (5) is used.
Step 3
Exam Tip
For divisibility, choose the required highest power. चरण 1: दोनों से विभाजित होने वाली सबसे छोटी संख्या उनका लघुत्तम समापवर्त्य होगी। चरण 2: (3) की घातें (3) और (5) हैं, इसलिए बड़ी घात (5) ली जाएगी। चरण 3: विभाज्यता के लिए आवश्यक सबसे बड़ी घात चुनें।
Product equals HCF times LCM, so the power of (2) is (6+10=16).
Step 3
Exam Tip
Add exponents when multiplying powers with the same base. चरण 1: \(64=2^6\) और \(5120=2^{10}\times5\) है। चरण 2: गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल है, इसलिए (2) की घात (6+10=16) होगी। चरण 3: समान आधारों के गुणन में घातें जोड़ें।
\(162=2\times3^4\), \(270=2\times3^3\times5\), and \(378=2\times3^3\times7\), so the smallest power is (3).
Step 3
Exam Tip
HCF uses the smallest power. चरण 1: (3) की घातों की तुलना करें। चरण 2: \(162=2\times3^4\), \(270=2\times3^3\times5\), \(378=2\times3^3\times7\), इसलिए छोटी घात (3) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में सबसे छोटी घात आती है।
The powers of (2) are (4) and (7), so the total power is (11).
Step 3
Exam Tip
When multiplying powers with the same base, add the exponents. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: (2) की घातें (4) और (7) जुड़ेंगी, इसलिए कुल घात (11) होगी। चरण 3: समान आधारों के गुणन में घातें जोड़ी जाती हैं।
The powers of (3) are (4), (2), and (3), so the highest power is (4).
Step 3
Exam Tip
Choose the highest power instead of adding the powers. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में (3) की सबसे बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: (3) की घातें (4), (2) और (3) हैं, इसलिए सबसे बड़ी घात (4) है। चरण 3: घातों को जोड़ने की बजाय सबसे बड़ी घात चुनें।
The powers of (5) are (2) and (1), so the smaller power is (1).
Step 3
Exam Tip
A power of (1) is still an important part of the answer. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। चरण 2: (5) की घातें (2) और (1) हैं, इसलिए छोटी घात (1) होगी। चरण 3: घात (1) भी उत्तर का महत्त्वपूर्ण भाग है।
\(120=2^3\times3\times5\) and \(168=2^3\times3\times7\).
Step 2
Why this answer is correct
In the LCM, (7) appears from the second number as \(7^1\).
Step 3
Exam Tip
A prime present in one number is included in the LCM. चरण 1: \(120=2^3\times3\times5\) और \(168=2^3\times3\times7\) है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में (7) केवल दूसरी संख्या से \(7^1\) के रूप में आएगा। चरण 3: जो अभाज्य किसी एक संख्या में हो, वह लघुत्तम समापवर्त्य में शामिल होता है।
Product equals HCF times LCM, so the power of (2) is (5+9=14).
Step 3
Exam Tip
Add exponents when multiplying powers with the same base. चरण 1: \(32=2^5\) और \(1536=2^9\times3\) है। चरण 2: गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल है, इसलिए (2) की घात (5+9=14) होगी। चरण 3: समान आधारों के गुणन में घातें जोड़ें।
\(135=3^3\times5\), \(180=2^2\times3^2\times5\), and \(225=3^2\times5^2\), so the smallest power is (2).
Step 3
Exam Tip
HCF uses the smallest power. चरण 1: (3) की घातों की तुलना करें। चरण 2: \(135=3^3\times5\), \(180=2^2\times3^2\times5\), \(225=3^2\times5^2\), इसलिए सबसे छोटी घात (2) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में छोटी घात ही आती है।
The powers of (3) are (2) and (5), so the total power is (7).
Step 3
Exam Tip
Exponents of the same base add during multiplication. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: (3) की घातें (2) और (5) जुड़ेंगी, इसलिए कुल घात (7) होगी। चरण 3: समान आधारों के गुणन में घातें जोड़ी जाती हैं।
Look at the powers of (5). (48) has no factor (5), \(75=3\times5^2\), and \(125=5^3\).
Step 2
Why this answer is correct
The highest power of (5) in the LCM is (3).
Step 3
Exam Tip
A missing prime has power zero, but still compare the existing highest power. चरण 1: (5) की घातों को देखें। (48) में (5) नहीं है, \(75=3\times5^2\) और \(125=5^3\) है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में (5) की सबसे बड़ी घात (3) होगी। चरण 3: जिस अभाज्य की घात शून्य हो, उसे तुलना में भूलें नहीं।
\(120=2^3\times3\times5\), \(180=2^2\times3^2\times5\), and \(300=2^2\times3\times5^2\), so the smallest power is (2).
Step 3
Exam Tip
HCF uses the smallest power. चरण 1: (2) की घातों की तुलना करें। चरण 2: \(120=2^3\times3\times5\), \(180=2^2\times3^2\times5\), \(300=2^2\times3\times5^2\), इसलिए सबसे छोटी घात (2) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आती है।
The powers of (3) are (1) and (3), so (L) contains \(3^3\).
Step 3
Exam Tip
Compare powers only for the same base. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की बड़ी घात आती है। चरण 2: (3) की घातें (1) और (3) हैं, इसलिए (L) में \(3^3\) होगा। चरण 3: घातों की तुलना समान आधार पर ही करें।
(11) appears only in the LCM as \(11^1\), so its power in the product is (1).
Step 3
Exam Tip
In multiplication, add powers of the same prime. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल होता है। चरण 2: (11) केवल लघुत्तम समापवर्त्य में \(11^1\) के रूप में है, इसलिए गुणनफल में इसकी घात (1) होगी। चरण 3: गुणन में समान अभाज्य की घातें जोड़ी जाती हैं।
\(44=2^2\times11\), \(77=7\times11\), and \(121=11^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The highest power of (11) in the LCM is (2).
Step 3
Exam Tip
For LCM, choose the highest power. चरण 1: \(44=2^2\times11\), \(77=7\times11\), \(121=11^2\) है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में (11) की सबसे बड़ी घात (2) होगी। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात चुनें।
The smallest such number is the LCM of the two given numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of (3) are (2) and (5), so the higher power (5) will be used.
Step 3
Exam Tip
For divisibility, choose the higher power. चरण 1: ऐसी सबसे छोटी संख्या दोनों संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य होगी। चरण 2: (3) की घातें (2) और (5) हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात (5) होगी। चरण 3: विभाज्यता के लिए बड़ी घात चुनें।
(7) appears only in the LCM as \(7^1\), so its power in the product is (1).
Step 3
Exam Tip
In multiplication, add exponents of the same prime. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल होता है। चरण 2: (7) केवल लघुत्तम समापवर्त्य में \(7^1\) के रूप में है, इसलिए गुणनफल में इसकी घात (1) होगी। चरण 3: गुणन में समान अभाज्य की घातें जोड़ी जाती हैं।
\(35=5\times7\), \(49=7^2\), and \(63=3^2\times7\).
Step 2
Why this answer is correct
The highest power of (7) in the LCM is (2).
Step 3
Exam Tip
LCM uses the highest power of each prime. चरण 1: \(35=5\times7\), \(49=7^2\), \(63=3^2\times7\) है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में (7) की सबसे बड़ी घात (2) होगी। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की बड़ी घात आती है।
The powers of (5) are (1) and (3), so (L) contains \(5^3\).
Step 3
Exam Tip
Compare exponents only when the base is the same. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात आती है। चरण 2: (5) की घातें (1) और (3) हैं, इसलिए (L) में \(5^3\) होगा। चरण 3: आधार समान होने पर ही घातों की तुलना करें।
Product (=) HCF \(\times\) LCM, so the power of (2) is (5+8=13).
Step 3
Exam Tip
Exponents with the same base add during multiplication. चरण 1: \(32=2^5\) और \(768=2^8\times3\) है। चरण 2: गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए (2) की घात (5+8=13) होगी। चरण 3: समान आधार की घातें गुणा में जुड़ती हैं।
