\(126=2 \times 3^2 \times 7\) and \(10=2 \times 5\), so \(1260=2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7\). It does not include (11).
Step 3
Exam Tip
Match the options with the prime factorisation. चरण 1: \(1260=126 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(126=2 \times 3^2 \times 7\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(1260=2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7\)। इसमें (11) नहीं है। चरण 3: विकल्पों को अभाज्य गुणनखंडन से मिलाएं।
Remember the difference between the number of distinct bases and the count with repetition. चरण 1: दोहराव सहित गिनती में घातों को जोड़ा जाता है। चरण 2: (6+4+3+2=15)। चरण 3: अलग-अलग आधारों की संख्या और दोहराव सहित संख्या में अंतर याद रखें।
While counting distinct prime factors, do not add exponents.
Step 2
Why this answer is correct
The prime bases are 2, 3, 11, and 13.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 4. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घात नहीं जोड़ते। चरण 2: अभाज्य आधार 2, 3, 11 और 13 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 4 है।
Keep the difference between distinct prime count and repeated prime count clear. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: (4+2+2+2=10)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गिनने और दोहराव सहित गिनने में अंतर रखें।
A. क्योंकि 1 अभाज्य संख्या नहीं है/Because 1 is not a prime number
Step 1
Concept
A prime number has exactly two factors.
Step 2
Why this answer is correct
1 has only one factor, so 1 is not prime.
Step 3
Exam Tip
Do not write 1 as a final factor in prime factorisation. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं। चरण 2: 1 का केवल एक ही गुणनखंड है, इसलिए 1 अभाज्य नहीं है। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन में 1 को अंतिम गुणनखंड न लिखें।
Since \(63=3^2 \times 7\), \(126=2 \times 3^2 \times 7\).
Step 3
Exam Tip
While counting distinct prime factors, do not count exponents as separate numbers. चरण 1: (126) को \(2 \times 63\) लिखें। चरण 2: \(63=3^2 \times 7\), इसलिए \(126=2 \times 3^2 \times 7\)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घातों को अलग संख्या न मानें।
While counting distinct primes, only bases are counted.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are 2, 3, 5, 7, 11, and 13.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 6. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गिनते समय केवल आधार गिने जाते हैं। चरण 2: आधार 2, 3, 5, 7, 11 और 13 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 6 है।
Counting only bases and counting with repetition are different. चरण 1: दोहराव सहित गिनती में घातों को जोड़ा जाता है। चरण 2: (8+6+4+3+2=23)। चरण 3: केवल आधार गिनना और दोहराव सहित गिनना अलग बातें हैं।
While counting distinct primes, only bases are counted.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are 2, 3, 7, 11, and 13.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 5. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गिनते समय केवल आधार गिने जाते हैं। चरण 2: आधार 2, 3, 7, 11 और 13 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 5 है।
Keep the number of bases and the total count with repetition separate. चरण 1: दोहराव सहित गिनती में घातों को जोड़ा जाता है। चरण 2: (9+7+4+3+2=25)। चरण 3: आधारों की संख्या और दोहराव सहित कुल संख्या को अलग रखें।
Add (1) to each exponent and multiply to get total factors.
Step 2
Why this answer is correct
In option A, ((4+1)(2+1)(3+1)=5\times3\times4=60).
Step 3
Exam Tip
In option-based questions, test the exponents of each option. चरण 1: कुल गुणनखंडों के लिए घातों में (1) जोड़कर गुणा करते हैं। चरण 2: विकल्प A में ((4+1)(2+1)(3+1)=5\times3\times4=60)। चरण 3: विकल्प आधारित प्रश्नों में हर विकल्प की घातों पर यह नियम लगाएं।
While counting distinct primes, only bases are counted.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are 2, 3, 11, and 13.
Step 3
Exam Tip
Therefore, there are 4 distinct prime factors. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गिनते समय केवल आधार गिने जाते हैं। चरण 2: आधार 2, 3, 11 और 13 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 4 हैं।
The powers of (5) are (3) and (1), so \(5^3\) appears in the LCM.
Step 3
Exam Tip
Compare powers separately for each prime base. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: (5) की घातें (3) और (1) हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य में \(5^3\) आएगा। चरण 3: घातों की तुलना अलग-अलग अभाज्य आधार पर करें।
A. उनका महत्तम समापवर्तक (1) होगा/Their HCF will be (1)
Step 1
Concept
HCF contains only common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
If there is no common prime factor, the only common divisor is (1).
Step 3
Exam Tip
Treat such numbers as coprime to solve quickly. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य गुणनखंड ही आते हैं। चरण 2: यदि कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है, तो केवल (1) साझा भाजक बचता है। चरण 3: ऐसी संख्याओं को सहाभाज्य समझकर प्रश्न जल्दी हल करें।
The bases of the second number are (2,3,7), so the common primes are (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
For common factors, choose bases present in both numbers. चरण 1: पहली संख्या के आधार (2,3,5) हैं। चरण 2: दूसरी संख्या के आधार (2,3,7) हैं, इसलिए समान अभाज्य (2) और (3) हैं। चरण 3: समान गुणनखंडों में वही आधार लें जो दोनों में हों।
The prime bases here are (2,3,11), and the greatest is (11).
Step 3
Exam Tip
Do not treat a composite value like (9) as a prime factor. चरण 1: अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याएं होती हैं। चरण 2: यहां अभाज्य आधार (2,3,11) हैं, जिनमें सबसे बड़ा (11) है। चरण 3: (9) जैसे संयुक्त मान को अभाज्य गुणनखंड न मानें।
Distinct prime factors are counted from the prime bases.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are (2,3,5), so there are (3) distinct prime factors.
Step 3
Exam Tip
Exponents are not counted as separate prime factors. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याओं से गिने जाते हैं। चरण 2: यहां आधार (2,3,5) हैं, इसलिए कुल (3) अलग अभाज्य गुणनखंड हैं। चरण 3: घातों को अलग अभाज्य गुणनखंड नहीं माना जाता।
The bases of the second number are (2,3,7), so the common primes are (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
For common factors, choose only bases present in both numbers. चरण 1: पहली संख्या के आधार (2,3,5) हैं। चरण 2: दूसरी संख्या के आधार (2,3,7) हैं, इसलिए समान अभाज्य (2) और (3) हैं। चरण 3: समान गुणनखंडों में केवल दोनों में मौजूद आधार चुनें।
The prime bases here are (2,3,5), and the greatest is (5).
Step 3
Exam Tip
Do not treat a number like (9) as a prime factor. चरण 1: अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याएं होती हैं। चरण 2: यहां अभाज्य आधार (2,3,5) हैं, जिनमें सबसे बड़ा (5) है। चरण 3: (9) जैसी संख्या को अभाज्य गुणनखंड न मानें।
Distinct prime factors are counted from the prime bases.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are (2,3,7), so there are (3) distinct prime factors.
Step 3
Exam Tip
Do not count exponents as separate prime factors. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याओं से गिने जाते हैं। चरण 2: यहां आधार (2,3,7) हैं, इसलिए कुल (3) अलग अभाज्य गुणनखंड हैं। चरण 3: घातों को अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड न गिनें।
Here (2,3,5) are prime factors, and the greatest is (5).
Step 3
Exam Tip
When the greatest prime factor is asked, do not choose a composite number. चरण 1: अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याएं हैं। चरण 2: यहां (2,3,5) अभाज्य गुणनखंड हैं, इनमें सबसे बड़ा (5) है। चरण 3: सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड पूछे जाने पर संयुक्त संख्या को विकल्प न चुनें।
The bases in prime factorisation are the prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
Here the bases are (2) and (3), and the smallest is (2).
Step 3
Exam Tip
To find the smallest prime factor, do not focus on exponents. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में आधार संख्याएं अभाज्य गुणनखंड होती हैं। चरण 2: यहां आधार (2) और (3) हैं, इनमें सबसे छोटा (2) है। चरण 3: सबसे छोटा अभाज्य गुणनखंड खोजते समय घातों को न देखें।
\(9=3^2\) and \(35=5 \times 7\), so \(315=3^2 \times 5 \times 7\). It does not include (2).
Step 3
Exam Tip
A prime not appearing in the factorisation is not a prime factor of the number. चरण 1: \(315=9 \times 35\) लिखें। चरण 2: \(9=3^2\) और \(35=5 \times 7\), इसलिए \(315=3^2 \times 5 \times 7\)। इसमें (2) शामिल नहीं है। चरण 3: जो अभाज्य गुणनखंडन में नहीं आता, वह उस संख्या का अभाज्य गुणनखंड नहीं है।
(9) is not prime because \(9=3^2\), so the first option is not prime factorisation.
Step 3
Exam Tip
Every base must be prime; writing powers alone is not enough. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में सभी आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: (9) अभाज्य नहीं है क्योंकि \(9=3^2\), इसलिए पहला विकल्प अभाज्य गुणनखंडन नहीं है। चरण 3: हर आधार को अभाज्य होना चाहिए, केवल घात लिखना काफी नहीं।
The prime factors of the first number are (2,3,5).
Step 2
Why this answer is correct
The second number has (2,3,7), so (5) is not common.
Step 3
Exam Tip
To check common factors, compare the prime bases. चरण 1: पहली संख्या के अभाज्य गुणनखंड (2,3,5) हैं। चरण 2: दूसरी संख्या के अभाज्य गुणनखंड (2,3,7) हैं, इसलिए (5) समान नहीं है। चरण 3: समानता देखते समय केवल मौजूद अभाज्य आधारों की तुलना करें।
Distinct prime factors are counted by their prime bases.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are (2,3,5), so there are (3) distinct prime factors.
Step 3
Exam Tip
Do not count exponents as separate factors. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों में आधार संख्याएं गिनी जाती हैं। चरण 2: यहां आधार (2,3,5) हैं, इसलिए संख्या (3) है। चरण 3: घातों को अलग गुणनखंड मानकर गलती न करें।
The bases in prime factorisation are the prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
Among (2,3,7), the smallest prime number is (2).
Step 3
Exam Tip
For the smallest prime factor, look at the base, not the exponent. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में लिखी सभी संख्याएं अभाज्य गुणनखंड होती हैं। चरण 2: (2,3,7) में सबसे छोटी अभाज्य संख्या (2) है। चरण 3: सबसे छोटे गुणनखंड के लिए घात नहीं, आधार संख्या देखें।
For distinct prime factors, exponents are not added.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are 2, 3, 5, 7, and 11.
Step 3
Exam Tip
Therefore, there are 5 distinct prime factors. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों में घातों को नहीं जोड़ा जाता। चरण 2: आधार 2, 3, 5, 7 और 11 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 5 हैं।
When counting distinct prime factors, do not add exponents.
Step 2
Why this answer is correct
The prime factors here are 2, 3, and 11.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 3. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घातों को नहीं जोड़ते। चरण 2: यहां अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 11 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 3 है।
When counting distinct prime factors, do not add exponents.
Step 2
Why this answer is correct
The prime factors here are 2, 3, and 7.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 3. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घातों को नहीं जोड़ते। चरण 2: यहां अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 7 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 3 है।
The distinct prime factors are 2 and 7. चरण 1: \(56=8\times7\) लिखें। चरण 2: \(8=2^3\), इसलिए \(56=2^3\times7\)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 2 और 7 हैं।
256 and 16 are composite bases, so write the power of 2 in final form. चरण 1: 65536 को 2 से बार-बार भाग दें। चरण 2: सोलह बार 2 मिलने से \(65536=2^{16}\) होता है। चरण 3: 256 और 16 संयुक्त आधार हैं, इसलिए अंतिम रूप में 2 की घात लिखें।
LCM includes every prime factor with its highest exponent.
Step 2
Why this answer is correct
Highest powers are \(2^3\), \(3^2\), and \(5^2\).
Step 3
Exam Tip
For LCM, do not miss a prime factor that appears in either number. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंड अपनी सबसे बड़ी घात के साथ लिए जाते हैं। चरण 2: (2) की बड़ी घात (3), (3) की घात (2), और (5) की बड़ी घात (2) है। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में कोई अभाज्य गुणनखंड छूटना नहीं चाहिए।
128 and 16 are composite, so write the power of 2 in final prime form. चरण 1: 16384 को बार-बार 2 से भाग दें। चरण 2: चौदह बार 2 मिलने से \(16384=2^{14}\)। चरण 3: 128 और 16 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम अभाज्य रूप में 2 की घात लिखें।
64 and 16 are composite, so write the power of 2 in final prime form. चरण 1: 8192 को बार-बार 2 से भाग दें। चरण 2: तेरह बार 2 मिलने से \(8192=2^{13}\)। चरण 3: 64 और 16 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम अभाज्य रूप में 2 की घात लिखें।
\(625=5^4\) and \(10=2\times5\), so \(6250=2\times5^5\).
Step 3
Exam Tip
Count the total power of 5 as 5. चरण 1: \(6250=625\times10\) लिखें। चरण 2: \(625=5^4\) और \(10=2\times5\), इसलिए \(6250=2\times5^5\)। चरण 3: 5 की कुल घात 5 गिनें।
81 and 27 are composite, so write a power of 3 in the final form. चरण 1: 6561 को 3 से बार-बार भाग दें। चरण 2: आठ बार 3 मिलने से \(6561=3^8\)। चरण 3: 81 और 27 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम रूप में 3 की घात लिखें।
64 and 16 are composite, so write \(2^{12}\) as the final prime form. चरण 1: 4096 को बार-बार 2 से भाग दें। चरण 2: बारह बार 2 मिलने से \(4096=2^{12}\) होता है। चरण 3: 64 और 16 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम अभाज्य रूप में \(2^{12}\) लिखें।
64 and 16 are composite, so they are not final prime forms. चरण 1: 4096 को बार-बार 2 से भाग दें। चरण 2: बारह बार 2 मिलने से \(4096=2^{12}\) होता है। चरण 3: 64 और 16 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम अभाज्य रूप नहीं हैं।
Since 49 is composite, write the power of 7 in final prime form. चरण 1: \(2401=49\times49\) लिखा जा सकता है। चरण 2: \(49=7^2\), इसलिए \(2401=7^4\)। चरण 3: 49 संयुक्त है, इसलिए अंतिम अभाज्य रूप में 7 की घात लिखें।
9 and 27 are composite, so write a power of 3 in final form. चरण 1: 729 को 3 से बार-बार भाग दें। चरण 2: छह बार 3 मिलने से \(729=3^6\)। चरण 3: 9 और 27 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम रूप में 3 की घात लिखें।
4, 32, and 64 are composite, so write \(2^{11}\) in final form. चरण 1: 2048 को बार-बार 2 से भाग दें। चरण 2: ग्यारह बार 2 मिलने से \(2048=2^{11}\) होता है। चरण 3: 4, 32 और 64 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम रूप में \(2^{11}\) लिखें।
25 and 125 are composite forms, so write a power of 5 in the final answer. चरण 1: \(3125=5\times625\) लिखें। चरण 2: \(625=5^4\), इसलिए \(3125=5^5\)। चरण 3: 25 और 125 संयुक्त रूप हैं, इसलिए अंतिम उत्तर में 5 की घात लिखें।
64 and 16 are composite, so they are not final prime forms. चरण 1: 4096 को बार-बार 2 से भाग दें। चरण 2: बारह बार 2 मिलने से \(4096=2^{12}\)। चरण 3: 64 और 16 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम अभाज्य रूप नहीं हैं।
9 and 27 are composite, so keep prime base 3. चरण 1: 729 को 3 से बार-बार भाग दें। चरण 2: छह बार 3 मिलने से \(729=3^6\)। चरण 3: 9 और 27 संयुक्त हैं, इसलिए अभाज्य आधार 3 रखें।
4, 32, and 64 are composite, so write the power of 2 in final form. चरण 1: 2048 को बार-बार 2 से भाग दें। चरण 2: ग्यारह बार 2 मिलने से \(2048=2^{11}\) होता है। चरण 3: 4, 32 और 64 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम रूप में 2 की घात लिखें।
49 is composite, so write the power of 7 in final prime form. चरण 1: \(2401=49\times49\) लिखा जा सकता है। चरण 2: \(49=7^2\), इसलिए \(2401=7^4\)। चरण 3: 49 संयुक्त है, इसलिए अंतिम अभाज्य रूप में 7 की घात लिखें।
9 and 27 are composite, so keep base 3 in the final form. चरण 1: 2187 को 3 से बार-बार भाग दें। चरण 2: सात बार 3 मिलने से \(2187=3^7\)। चरण 3: 9 और 27 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम रूप में आधार 3 रखें।
4 and 32 are composite, so write the power of 2 in final prime form. चरण 1: 1024 को बार-बार 2 से भाग दें। चरण 2: दस बार 2 मिलने से \(1024=2^{10}\) होता है। चरण 3: 4 और 32 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम अभाज्य रूप में 2 की घात लिखें।
4, 8, and 16 are composite, so write \(2^7\) in final form. चरण 1: 128 को बार-बार 2 से भाग दें। चरण 2: सात बार 2 मिलने से \(128=2^7\)। चरण 3: 4, 8 और 16 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम रूप में \(2^7\) लिखें।
25 is composite, so write the power of 5 in final form. चरण 1: \(625=25\times25\) लिखा जा सकता है। चरण 2: \(25=5^2\), इसलिए \(625=5^4\)। चरण 3: 25 संयुक्त है, इसलिए अंतिम रूप में 5 की घात लिखें।
8, 16, and 32 are composite, so write the power of 2 in final prime form. चरण 1: 512 को बार-बार 2 से भाग दें। चरण 2: नौ बार 2 मिलने से \(512=2^9\)। चरण 3: 8, 16 और 32 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम अभाज्य रूप में 2 की घात लिखें।
9 and 27 are composite, so keep prime base 3. चरण 1: 243 को 3 से बार-बार भाग दें। चरण 2: पांच बार 3 मिलने से \(243=3^5\)। चरण 3: 9 और 27 संयुक्त हैं, इसलिए अभाज्य आधार 3 रखें।
4 and 16 are composite, so do not write them in final prime form. चरण 1: 256 को बार-बार 2 से भाग दें। चरण 2: आठ बार 2 मिलने से \(256=2^8\) होता है। चरण 3: 4 और 16 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम अभाज्य रूप में न लिखें।
4 and 8 are composite, so write the power of 2 in final prime form. चरण 1: 16 को \(2\times2\times2\times2\) लिखा जाता है। चरण 2: इसलिए \(16=2^4\)। चरण 3: 4 और 8 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम अभाज्य रूप में 2 की घात लिखें।
4 and 8 are composite, so do not write them in final form. चरण 1: 32 को 2 से बार-बार भाग दें। चरण 2: पांच बार 2 मिलने से \(32=2^5\) होता है। चरण 3: 4 और 8 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम रूप में नहीं लिखें।
9 and 27 are composite, so write the power of 3 in final prime form. चरण 1: 81 को 3 से बार-बार भाग दें। चरण 2: चार बार 3 मिलने से \(81=3^4\)। चरण 3: 9 और 27 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम अभाज्य रूप में 3 की घात लिखें।
4 and 8 are composite, so do not write them in final prime form. चरण 1: 64 को बार-बार 2 से भाग दें। चरण 2: छह बार 2 मिलने से \(64=2^6\) होता है। चरण 3: 4 और 8 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम अभाज्य रूप में नहीं लिखें।
B. सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात/Highest power of all prime factors
Step 1
Concept
LCM is the smallest number divisible by all the given numbers.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the highest powers of all prime factors are taken.
Step 3
Exam Tip
Remember the rule: all factors with highest powers for LCM. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य ऐसी सबसे छोटी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं से विभाजित हो। चरण 2: इसलिए सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात ली जाती है। चरण 3: नियम याद रखें, लघुत्तम समापवर्त्य में सभी और बड़ी घात।
A. समान गुणनखंडों की छोटी घात/Smaller power of common factors
Step 1
Concept
HCF is made only from common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
Among common factors, the smaller power is chosen because it divides both numbers.
Step 3
Exam Tip
Remember the rule: common factors with smaller powers for HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक केवल समान अभाज्य गुणनखंडों से बनता है। चरण 2: समान गुणनखंडों में छोटी घात चुनी जाती है क्योंकि वही दोनों संख्याओं को पूरा भाग दे सकती है। चरण 3: नियम याद रखें, महत्तम समापवर्तक में समान और छोटी घात।
The powers of (2) are (8) and (5), so the smaller power is (5).
Step 3
Exam Tip
Do not add the powers; take only the smaller one. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। चरण 2: (2) की घातें (8) और (5) हैं, इसलिए छोटी घात (5) होगी। चरण 3: घातों को जोड़ना नहीं है, केवल छोटी घात लेनी है।
(7) appears from (343) as \(7^3\), so its power in the LCM is (3).
Step 3
Exam Tip
A prime appearing in only one number is still included in the LCM. चरण 1: \(128=2^7\), \(192=2^6\times3\) और \(343=7^3\) है। चरण 2: (7) केवल (343) से \(7^3\) के रूप में आएगा, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य में घात (3) होगी। चरण 3: केवल एक संख्या में आया अभाज्य भी लघुत्तम समापवर्त्य में आता है।
\(216=2^3\times3^3\), \(324=2^2\times3^4\), and \(540=2^2\times3^3\times5\), so the smallest power is (3).
Step 3
Exam Tip
HCF uses the smallest power. चरण 1: (3) की घातों की तुलना करें। चरण 2: \(216=2^3\times3^3\), \(324=2^2\times3^4\), \(540=2^2\times3^3\times5\), इसलिए छोटी घात (3) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में सबसे छोटी घात आती है।
The powers of (5) are (3) and (1), so the smaller power is (1).
Step 3
Exam Tip
Recognise power (1) correctly in the answer. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। चरण 2: (5) की घातें (3) और (1) हैं, इसलिए छोटी घात (1) होगी। चरण 3: घात (1) को भी सही उत्तर में पहचानें।
\(132=2^2\times3\times11\) and \(220=2^2\times5\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
(5) appears only in the second number as \(5^1\), so its power in the LCM is (1).
Step 3
Exam Tip
A prime appearing in only one number is included in the LCM. चरण 1: \(132=2^2\times3\times11\) और \(220=2^2\times5\times11\) है। चरण 2: (5) केवल दूसरी संख्या में \(5^1\) के रूप में है, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य में इसकी घात (1) होगी। चरण 3: केवल एक संख्या में आया अभाज्य भी लघुत्तम समापवर्त्य में आता है।
\(68=2^2\times17\), \(85=5\times17\), and \(289=17^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The highest power of (17) in the LCM is (2).
Step 3
Exam Tip
For LCM, choose the highest power. चरण 1: \(68=2^2\times17\), \(85=5\times17\) और \(289=17^2\) है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में (17) की सबसे बड़ी घात (2) होगी। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात चुनें।
Product equals HCF times LCM, so the power of (2) is (6+10=16).
Step 3
Exam Tip
Add exponents when multiplying powers with the same base. चरण 1: \(64=2^6\) और \(5120=2^{10}\times5\) है। चरण 2: गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल है, इसलिए (2) की घात (6+10=16) होगी। चरण 3: समान आधारों के गुणन में घातें जोड़ें।
\(162=2\times3^4\), \(270=2\times3^3\times5\), and \(378=2\times3^3\times7\), so the smallest power is (3).
Step 3
Exam Tip
HCF uses the smallest power. चरण 1: (3) की घातों की तुलना करें। चरण 2: \(162=2\times3^4\), \(270=2\times3^3\times5\), \(378=2\times3^3\times7\), इसलिए छोटी घात (3) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में सबसे छोटी घात आती है।
The powers of (5) are (2) and (1), so the smaller power is (1).
Step 3
Exam Tip
A power of (1) is still an important part of the answer. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। चरण 2: (5) की घातें (2) और (1) हैं, इसलिए छोटी घात (1) होगी। चरण 3: घात (1) भी उत्तर का महत्त्वपूर्ण भाग है।
\(120=2^3\times3\times5\) and \(168=2^3\times3\times7\).
Step 2
Why this answer is correct
In the LCM, (7) appears from the second number as \(7^1\).
Step 3
Exam Tip
A prime present in one number is included in the LCM. चरण 1: \(120=2^3\times3\times5\) और \(168=2^3\times3\times7\) है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में (7) केवल दूसरी संख्या से \(7^1\) के रूप में आएगा। चरण 3: जो अभाज्य किसी एक संख्या में हो, वह लघुत्तम समापवर्त्य में शामिल होता है।
Product equals HCF times LCM, so the power of (2) is (5+9=14).
Step 3
Exam Tip
Add exponents when multiplying powers with the same base. चरण 1: \(32=2^5\) और \(1536=2^9\times3\) है। चरण 2: गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल है, इसलिए (2) की घात (5+9=14) होगी। चरण 3: समान आधारों के गुणन में घातें जोड़ें।
\(135=3^3\times5\), \(180=2^2\times3^2\times5\), and \(225=3^2\times5^2\), so the smallest power is (2).
Step 3
Exam Tip
HCF uses the smallest power. चरण 1: (3) की घातों की तुलना करें। चरण 2: \(135=3^3\times5\), \(180=2^2\times3^2\times5\), \(225=3^2\times5^2\), इसलिए सबसे छोटी घात (2) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में छोटी घात ही आती है।
Look at the powers of (5). (48) has no factor (5), \(75=3\times5^2\), and \(125=5^3\).
Step 2
Why this answer is correct
The highest power of (5) in the LCM is (3).
Step 3
Exam Tip
A missing prime has power zero, but still compare the existing highest power. चरण 1: (5) की घातों को देखें। (48) में (5) नहीं है, \(75=3\times5^2\) और \(125=5^3\) है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में (5) की सबसे बड़ी घात (3) होगी। चरण 3: जिस अभाज्य की घात शून्य हो, उसे तुलना में भूलें नहीं।
\(120=2^3\times3\times5\), \(180=2^2\times3^2\times5\), and \(300=2^2\times3\times5^2\), so the smallest power is (2).
Step 3
Exam Tip
HCF uses the smallest power. चरण 1: (2) की घातों की तुलना करें। चरण 2: \(120=2^3\times3\times5\), \(180=2^2\times3^2\times5\), \(300=2^2\times3\times5^2\), इसलिए सबसे छोटी घात (2) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आती है।
The powers of (3) are (1) and (3), so (L) contains \(3^3\).
Step 3
Exam Tip
Compare powers only for the same base. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की बड़ी घात आती है। चरण 2: (3) की घातें (1) और (3) हैं, इसलिए (L) में \(3^3\) होगा। चरण 3: घातों की तुलना समान आधार पर ही करें।
\(44=2^2\times11\), \(77=7\times11\), and \(121=11^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The highest power of (11) in the LCM is (2).
Step 3
Exam Tip
For LCM, choose the highest power. चरण 1: \(44=2^2\times11\), \(77=7\times11\), \(121=11^2\) है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में (11) की सबसे बड़ी घात (2) होगी। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात चुनें।
\(35=5\times7\), \(49=7^2\), and \(63=3^2\times7\).
Step 2
Why this answer is correct
The highest power of (7) in the LCM is (2).
Step 3
Exam Tip
LCM uses the highest power of each prime. चरण 1: \(35=5\times7\), \(49=7^2\), \(63=3^2\times7\) है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में (7) की सबसे बड़ी घात (2) होगी। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की बड़ी घात आती है।
The powers of (5) are (1) and (3), so (L) contains \(5^3\).
Step 3
Exam Tip
Compare exponents only when the base is the same. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात आती है। चरण 2: (5) की घातें (1) और (3) हैं, इसलिए (L) में \(5^3\) होगा। चरण 3: आधार समान होने पर ही घातों की तुलना करें।
Product (=) HCF \(\times\) LCM, so the power of (2) is (5+8=13).
Step 3
Exam Tip
Exponents with the same base add during multiplication. चरण 1: \(32=2^5\) और \(768=2^8\times3\) है। चरण 2: गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए (2) की घात (5+8=13) होगी। चरण 3: समान आधार की घातें गुणा में जुड़ती हैं।
Product equals HCF times LCM, so the power of (2) should be (5+8=13).
Step 3
Exam Tip
Add exponents of the same base carefully. चरण 1: \(32=2^5\) और \(768=2^8\times3\) है। चरण 2: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल है, इसलिए (2) की घात (5+8=13) होनी चाहिए। चरण 3: दिए विकल्पों से सावधान रहें और घातों को जोड़ें।
\(96=2^5\times3\), \(144=2^4\times3^2\), and \(240=2^4\times3\times5\), so the smallest power is (4).
Step 3
Exam Tip
HCF uses the smallest power. चरण 1: पहले (2) की घातों की तुलना करें। चरण 2: \(96=2^5\times3\), \(144=2^4\times3^2\), \(240=2^4\times3\times5\), इसलिए सबसे छोटी घात (4) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आती है।
LCM contains the highest power of every prime present.
Step 2
Why this answer is correct
(11) appears only in the second number as \(11^1\), so its power in (L) is (1).
Step 3
Exam Tip
A prime appearing in only one number is still included in the LCM. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर उपस्थित अभाज्य की सबसे बड़ी घात आती है। चरण 2: (11) केवल दूसरी संख्या में \(11^1\) के रूप में है, इसलिए (L) में (11) की घात (1) होगी। चरण 3: केवल एक संख्या में आया अभाज्य भी लघुत्तम समापवर्त्य में आता है।
HCF of three numbers includes only primes common to all three.
Step 2
Why this answer is correct
(2) and (3) are common, with smallest powers \(2^3\) and (3).
Step 3
Exam Tip
Do not include a prime that is not present in every number. चरण 1: तीनों के महत्तम समापवर्तक में वही अभाज्य आते हैं जो तीनों में समान हों। चरण 2: (2) और (3) तीनों में हैं, छोटी घातें \(2^3\) और (3) हैं। चरण 3: जो अभाज्य सभी में नहीं है, उसे महत्तम समापवर्तक में न लें।
LCM takes the highest power of every prime present.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^5\), \(3^5\), \(5^2\), (7), and (13).
Step 3
Exam Tip
A prime appearing in only one number must also be included. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर उपस्थित अभाज्य की सबसे बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: बड़ी घातें \(2^5\), \(3^5\), \(5^2\), (7) और (13) हैं। चरण 3: जो अभाज्य केवल एक संख्या में हो, उसे भी शामिल करना जरूरी है।
The common primes are (2), (3), and (5), with smaller powers \(2^4\), \(3^2\), and (5).
Step 3
Exam Tip
Choose the smaller power for each prime base separately. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। चरण 2: समान अभाज्य (2), (3) और (5) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^4\), \(3^2\) और (5) हैं। चरण 3: हर अभाज्य आधार की छोटी घात अलग-अलग चुनें।
HCF of three numbers includes only primes common to all three.
Step 2
Why this answer is correct
(2) and (3) are common, with smallest powers \(2^2\) and (3).
Step 3
Exam Tip
Do not include a prime that is not present in every number. चरण 1: तीनों के महत्तम समापवर्तक में वही अभाज्य आएँगे जो तीनों में समान हों। चरण 2: (2) और (3) तीनों में हैं, छोटी घातें \(2^2\) और (3) हैं। चरण 3: जो अभाज्य सभी में नहीं है, उसे महत्तम समापवर्तक में न लें।
LCM uses the highest power of every prime present.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^5\), \(3^4\), (5), (7), and (11).
Step 3
Exam Tip
Include a prime even if it occurs in only one number. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर उपस्थित अभाज्य की सबसे बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: बड़ी घातें \(2^5\), \(3^4\), (5), (7) और (11) हैं। चरण 3: जो अभाज्य केवल एक संख्या में हो, उसे भी शामिल करें।
The common primes are (2), (3), and (5), with smaller powers \(2^3\), \(3^3\), and (5).
Step 3
Exam Tip
Choose the smaller power for each prime base separately. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड आते हैं। चरण 2: समान अभाज्य (2), (3) और (5) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^3\), \(3^3\) और (5) हैं। चरण 3: हर अभाज्य आधार की छोटी घात अलग-अलग चुनें।
LCM uses the highest power of every prime factor present.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^5\), \(3^4\), (5), (7), and (11).
Step 3
Exam Tip
Include a prime even if it appears in only one number. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों की सबसे बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: यहाँ बड़ी घातें \(2^5\), \(3^4\), (5), (7) और (11) हैं। चरण 3: जो अभाज्य केवल एक संख्या में हो, उसे भी लघुत्तम समापवर्त्य में अवश्य रखें।
The common primes are (2), (3), and (5), with smaller powers \(2^4\), \(3^2\), and (5).
Step 3
Exam Tip
In exponent questions, choose the smaller power for each base separately. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। चरण 2: समान अभाज्य (2), (3) और (5) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^4\), \(3^2\) और (5) हैं। चरण 3: घातों वाले प्रश्न में हर आधार की छोटी घात अलग-अलग चुनें।
The common primes are (2) and (3), with smaller powers \(2^5\) and \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
For HCF, always take the smaller powers. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड आते हैं। चरण 2: समान अभाज्य (2) और (3) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^5\) और \(3^2\) हैं। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में केवल छोटी घातें लेना सबसे सुरक्षित तरीका है।
The common primes are (2), (3), and (5), with smaller powers \(2^4\), (3), and (5).
Step 3
Exam Tip
For HCF, always choose the smaller power. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। चरण 2: समान गुणनखंड (2), (3) और (5) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^4\), (3) और (5) हैं। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में हमेशा छोटी घात चुनें।
The common primes are (2) and (3), and the smaller powers are \(2^3\) and \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
For HCF, always choose the smaller power of each common prime. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। चरण 2: समान गुणनखंड (2) और (3) हैं, छोटी घातें \(2^3\) और \(3^2\) हैं, इसलिए उत्तर \(2^3\times3^2\) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक निकालते समय छोटी घात चुनें।
The common primes are (2) and (3), with smaller powers \(2^3\) and \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
A prime appearing in only one number is not written in HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड शामिल होते हैं। चरण 2: समान गुणनखंड (2) और (3) हैं, छोटी घातें \(2^3\) और \(3^2\) हैं। चरण 3: जो अभाज्य केवल एक संख्या में हो, उसे महत्तम समापवर्तक में न लिखें।
\(180=2^2\times3^2\times5\) and \(252=2^2\times3^2\times7\), so the common smaller powers give \(2^2\times3^2\).
Step 3
Exam Tip
Do not include non-common factors like (5) or (7) in HCF. चरण 1: पहले दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें। चरण 2: \(180=2^2\times3^2\times5\) और \(252=2^2\times3^2\times7\), इसलिए समान छोटी घातें \(2^2\times3^2\) हैं। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में (5) या (7) जैसे असमान गुणनखंड न लें।
For LCM, take the highest power of every prime factor present.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^4\), \(3^3\), \(5^2\), and (7).
Step 3
Exam Tip
Do not miss a prime factor that appears in only one number. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों की सबसे बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: सबसे बड़ी घातें \(2^4\), \(3^3\), \(5^2\) और (7) हैं। चरण 3: किसी भी अभाज्य गुणनखंड को छोड़ना सबसे सामान्य गलती होती है।
The common factors are (2) and (3), and the smaller powers are \(2^2\) and \(3^2\), so the HCF is (36).
Step 3
Exam Tip
In exams, remember that HCF uses the minimum powers of common primes. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। चरण 2: समान गुणनखंड (2) और (3) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^2\) और \(3^2\) हैं, इसलिए मान \(4\times9=36\) है। चरण 3: परीक्षा में महत्तम समापवर्तक के लिए छोटी घात चुनना याद रखें।
LCM includes every prime factor appearing in either number.
Step 2
Why this answer is correct
The primes are (2), (3), (5), and (11). So there are (4) distinct prime factors.
Step 3
Exam Tip
While counting distinct factors, do not count powers separately. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में दोनों संख्याओं में आने वाली सभी अभाज्य संख्याएँ शामिल होती हैं। चरण 2: यहाँ अभाज्य संख्याएँ (2), (3), (5), और (11) हैं। इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या (4) है। चरण 3: अलग-अलग गुणनखंड गिनते समय घातांक को अलग से न गिनें।
\(2160=2^4\times 3^3\times 5\) and \(3780=2^2\times 3^3\times 5\times 7\).
Step 2
Why this answer is correct
For HCF, take the smaller exponents of common prime factors, so \(2^2\times 3^3\times 5=540\).
Step 3
Exam Tip
In such questions, carefully choose the smaller powers. चरण 1: \(2160=2^4\times 3^3\times 5\) और \(3780=2^2\times 3^3\times 5\times 7\)। चरण 2: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य गुणनखंडों के छोटे घातांक लिए जाते हैं, इसलिए \(2^2\times 3^3\times 5=540\)। चरण 3: ऐसी गणना में छोटे घातांक चुनना न भूलें।
A. अंकगणित का मूल प्रमेय/Fundamental theorem of arithmetic
Step 1
Concept
Every integer greater than (1) can be written as a product of prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
This form is unique apart from order, and this comes from the fundamental theorem of arithmetic.
Step 3
Exam Tip
Remember uniqueness of prime factorisation with this theorem. चरण 1: (1) से बड़ी हर पूर्ण संख्या को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 2: यह रूप क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है, और यह बात अंकगणित के मूल प्रमेय से आती है। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता को इसी प्रमेय से याद रखें।
