While counting distinct primes, only bases are counted.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are 2, 3, 5, 7, 11, and 13.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 6. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गिनते समय केवल आधार गिने जाते हैं। चरण 2: आधार 2, 3, 5, 7, 11 और 13 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 6 है।
Counting only bases and counting with repetition are different. चरण 1: दोहराव सहित गिनती में घातों को जोड़ा जाता है। चरण 2: (8+6+4+3+2=23)। चरण 3: केवल आधार गिनना और दोहराव सहित गिनना अलग बातें हैं।
For divisibility, the exponents of the divisor must not exceed those in the number.
Step 2
Why this answer is correct
In the first option, all exponents are less than or equal to those in (n).
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) must be divisible by that number. चरण 1: विभाज्यता के लिए भाजक की घातें संख्या की घातों से अधिक नहीं होनी चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में सभी घातें (n) की घातों से कम या बराबर हैं। चरण 3: इसलिए (n) उस संख्या से अवश्य विभाज्य होगा।
Every prime power of a divisor must be available in the number.
Step 2
Why this answer is correct
(n) has power 2 of 5, but \(5^3\) needs power 3.
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) is not divisible by \(5^3\). चरण 1: भाजक की हर अभाज्य घात संख्या में उपलब्ध होनी चाहिए। चरण 2: (n) में 5 की घात 2 है, पर \(5^3\) के लिए घात 3 चाहिए। चरण 3: इसलिए (n), \(5^3\) से विभाज्य नहीं होगा।
In a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
Powers 5, 4, 2, and 7 must become 6, 6, 3, and 9.
Step 3
Exam Tip
The smallest multiplier is \(2\times3^2\times5\times7^2\). चरण 1: पूर्ण घन में हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: 5 को 6, 4 को 6, 2 को 3 और 7 को 9 बनाना होगा। चरण 3: सबसे छोटा गुणक \(2\times3^2\times5\times7^2\) है।
Multiplying by \(2\times11=22\) makes both powers even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी घातें सम होती हैं। चरण 2: 2 की घात 7 और 11 की घात 3 विषम हैं। चरण 3: \(2\times11=22\) से गुणा करने पर दोनों घातें सम हो जाएंगी।
While counting distinct primes, only bases are counted.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are 2, 3, 7, 11, and 13.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 5. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गिनते समय केवल आधार गिने जाते हैं। चरण 2: आधार 2, 3, 7, 11 और 13 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 5 है।
Keep the number of bases and the total count with repetition separate. चरण 1: दोहराव सहित गिनती में घातों को जोड़ा जाता है। चरण 2: (9+7+4+3+2=25)। चरण 3: आधारों की संख्या और दोहराव सहित कुल संख्या को अलग रखें।
For divisibility, exponents in the divisor must not exceed those in the given number.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^9\), \(3^4\), \(7^3\), and 13 are all available in (n).
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) must be divisible by the first option. चरण 1: विभाज्यता के लिए भाजक की घातें दी गई संख्या की घातों से अधिक नहीं होनी चाहिए। चरण 2: \(2^9\), \(3^4\), \(7^3\) और 13 सभी (n) में उपलब्ध हैं। चरण 3: इसलिए (n) पहले विकल्प से अवश्य विभाज्य होगा।
Every prime power of a divisor must be available in the number.
Step 2
Why this answer is correct
(n) has power 2 of 11, but \(11^3\) needs power 3.
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) is not divisible by \(11^3\). चरण 1: भाजक की हर अभाज्य घात संख्या में उपलब्ध होनी चाहिए। चरण 2: (n) में 11 की घात 2 है, पर \(11^3\) के लिए घात 3 चाहिए। चरण 3: इसलिए (n), \(11^3\) से विभाज्य नहीं होगा।
In a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
Powers 5, 7, 4, and 2 must become 6, 9, 6, and 3.
Step 3
Exam Tip
The smallest multiplier is \(2\times3^2\times5^2\times13\). चरण 1: पूर्ण घन में हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: 5 को 6, 7 को 9, 4 को 6 और 2 को 3 बनाना होगा। चरण 3: सबसे छोटा गुणक \(2\times3^2\times5^2\times13\) है।
In a perfect square, all exponents should be even.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of 3 and 7 are odd.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by \(3\times7=21\) makes both powers even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी घातें सम होनी चाहिए। चरण 2: 3 की घात 5 और 7 की घात 3 विषम हैं। चरण 3: \(3\times7=21\) से गुणा करने पर दोनों घातें सम हो जाएंगी।
While counting distinct primes, only bases are counted.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are 2, 3, 11, and 13.
Step 3
Exam Tip
Therefore, there are 4 distinct prime factors. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गिनते समय केवल आधार गिने जाते हैं। चरण 2: आधार 2, 3, 11 और 13 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 4 हैं।
Remember the difference between the number of distinct bases and the count with repetition. चरण 1: दोहराव सहित गिनती में घातों को जोड़ा जाता है। चरण 2: (6+4+3+2=15)। चरण 3: अलग-अलग आधारों की संख्या और दोहराव सहित संख्या में अंतर याद रखें।
For divisibility, exponents in the divisor must not exceed those in the number.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^5\), (3), \(5^4\), and 11 are all available in (n).
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) must be divisible by this number. चरण 1: विभाज्यता के लिए भाजक की घातें संख्या की घातों से अधिक नहीं होनी चाहिए। चरण 2: \(2^5\), (3), \(5^4\) और 11 सभी (n) में उपलब्ध हैं। चरण 3: इसलिए (n) इस संख्या से अवश्य विभाज्य होगा।
Every prime power of a divisor must be available in the number.
Step 2
Why this answer is correct
(n) has power 5 of 2, but \(2^6\) needs 6.
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) is not divisible by \(2^6\). चरण 1: किसी भाजक की हर अभाज्य घात संख्या में उपलब्ध होनी चाहिए। चरण 2: (n) में 2 की घात 5 है, लेकिन \(2^6\) के लिए 6 चाहिए। चरण 3: इसलिए (n), \(2^6\) से विभाज्य नहीं होगा।
The smallest multiplier is \(2\times3^2\times5\times7^2\). चरण 1: पूर्ण घन में घातें 3 के गुणज होती हैं। चरण 2: 2 की घात 5 को 6, 3 की घात 4 को 6, 5 की घात 2 को 3 और 7 की घात 1 को 3 बनाना होगा। चरण 3: सबसे छोटा गुणक \(2\times3^2\times5\times7^2\) है।
Multiplying by \(2\times5\times11=110\) makes all exponents even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी घातें सम होती हैं। चरण 2: 2 की घात 7, 5 की घात 3 और 11 की घात 1 विषम हैं। चरण 3: \(2\times5\times11=110\) से गुणा करने पर सभी घातें सम हो जाएंगी।
For distinct prime factors, exponents are not added.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are 2, 3, 5, 7, and 11.
Step 3
Exam Tip
Therefore, there are 5 distinct prime factors. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों में घातों को नहीं जोड़ा जाता। चरण 2: आधार 2, 3, 5, 7 और 11 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 5 हैं।
While counting distinct prime factors, do not add exponents.
Step 2
Why this answer is correct
The prime bases are 2, 3, 11, and 13.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 4. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घात नहीं जोड़ते। चरण 2: अभाज्य आधार 2, 3, 11 और 13 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 4 है।
Keep the difference between distinct prime count and repeated prime count clear. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: (4+2+2+2=10)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गिनने और दोहराव सहित गिनने में अंतर रखें।
For divisibility, each exponent in the divisor must be less than or equal to the corresponding exponent in the number.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^7\), \(3^2\), and \(5^4\) are all available in (n).
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) must be divisible by \(2^7\times3^2\times5^4\). चरण 1: भाज्य होने के लिए भाजक की हर घात दी गई संख्या में बराबर या कम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^7\), \(3^2\) और \(5^4\) सभी (n) में उपलब्ध हैं। चरण 3: इसलिए (n), \(2^7\times3^2\times5^4\) से अवश्य विभाज्य होगा।
For divisibility, every prime power of the divisor must be available in the number.
Step 2
Why this answer is correct
(n) has power 4 of 3, but \(3^5\) needs power 5.
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) is not divisible by \(3^5\). चरण 1: किसी भाजक के लिए उसकी हर अभाज्य घात संख्या में पर्याप्त होनी चाहिए। चरण 2: (n) में 3 की घात 4 है, पर \(3^5\) के लिए घात 5 चाहिए। चरण 3: इसलिए (n), \(3^5\) से विभाज्य नहीं होगा।
In a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
Powers 4, 2, and 1 must become 6, 3, and 3 respectively.
Step 3
Exam Tip
The multiplier is \(2^2\times3\times7^2=588\). चरण 1: पूर्ण घन में हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: 2 की घात 4 को 6, 3 की घात 2 को 3 और 7 की घात 1 को 3 बनाना होगा। चरण 3: गुणक \(2^2\times3\times7^2=588\) होगा।
Multiplying by \(2\times7=14\) makes all exponents even. चरण 1: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए। चरण 2: 2 की घात 5 और 7 की घात 1 विषम हैं। चरण 3: \(2\times7=14\) से गुणा करने पर सभी घातें सम हो जाएंगी।
In a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^{12}\) is suitable, while \(3^{11}\) and \(5^8\) must be reduced to \(3^9\) and \(5^6\).
Step 3
Exam Tip
So the smallest divisor is \(3^2\times5^2\). चरण 1: पूर्ण घन में हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^{12}\) ठीक है, \(3^{11}\) को \(3^9\) और \(5^8\) को \(5^6\) बनाना होगा। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा भाजक \(3^2\times5^2\) है।
For a perfect cube, exponents must be multiples of 3.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^{12}\) is already suitable, while \(3^8\) and \(5^5\) must become \(3^9\) and \(5^6\).
Step 3
Exam Tip
The smallest multiplier is \(3\times5\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए घातें 3 के गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^{12}\) पहले से ठीक है, \(3^8\) को \(3^9\) और \(5^5\) को \(5^6\) बनाना होगा। चरण 3: सबसे छोटा गुणक \(3\times5\) है।
For a perfect cube, exponents must be multiples of 3.
Step 2
Why this answer is correct
We must make 11 to 12, 8 to 9, 5 to 6, and 2 to 3.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the smallest multiplier is \(2\times3\times5\times7\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए घातें 3 के गुणज होनी चाहिए। चरण 2: 11 को 12, 8 को 9, 5 को 6 और 2 को 3 बनाना होगा। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा गुणक \(2\times3\times5\times7\) है।
For a perfect square, every exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
Powers of 2 and 5 are odd, while the other powers are even.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by \(2\times5=10\) makes all powers even. चरण 1: पूर्ण वर्ग के लिए हर घात सम होनी चाहिए। चरण 2: 2 की घात 13 और 5 की घात 5 विषम हैं, बाकी घातें सम हैं। चरण 3: \(2\times5=10\) से गुणा करने पर सभी घातें सम हो जाएंगी।
For a perfect square, all exponents must be even, but powers of 2 and 3 are odd.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by \(2\times3=6\) makes all powers even. चरण 1: \(86400=2^7\times3^3\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, पर 2 और 3 की घातें विषम हैं। चरण 3: \(2\times3=6\) से गुणा करने पर सभी घातें सम हो जाएंगी।
