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The common prime factors are (2) and (5) with smaller powers (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
\(2\times5=10\), so the HCF is (10). चरण 1: \(20=2^2\times5\) और \(30=2\times3\times5\)। चरण 2: समान अभाज्य गुणनखंड (2) और (5) हैं तथा छोटी घातें (2) और (5) हैं। चरण 3: \(2\times5=10\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (10) है।
For LCM, take the highest powers \(2^2\), (3), and (5).
Step 3
Exam Tip
\(4\times3\times5=60\), so the LCM is (60). चरण 1: \(20=2^2\times5\) और \(30=2\times3\times5\)। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य के लिए बड़ी घातें \(2^2\), (3) और (5) लें। चरण 3: \(4\times3\times5=60\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (60) है।
\(2\times7=14\), so the HCF is (14). चरण 1: \(28=2^2\times7\) और \(42=2\times3\times7\)। चरण 2: समान गुणनखंड (2) और (7) हैं। चरण 3: \(2\times7=14\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (14) है।
\(4\times3\times7=84\), so the LCM is (84). चरण 1: \(28=2^2\times7\) और \(42=2\times3\times7\)। चरण 2: बड़ी घातें \(2^2\), (3) और (7) हैं। चरण 3: \(4\times3\times7=84\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (84) है।
The smaller powers of common factors are (2) and \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
\(2\times9=18\), so the HCF is (18). चरण 1: \(36=2^2\times3^2\) और \(54=2\times3^3\)। चरण 2: समान गुणनखंडों की छोटी घातें (2) और \(3^2\) हैं। चरण 3: \(2\times9=18\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (18) है।
For LCM, take the highest powers \(2^2\) and \(3^3\).
Step 3
Exam Tip
\(4\times27=108\), so the answer is (108). चरण 1: \(36=2^2\times3^2\) और \(54=2\times3^3\)। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में \(2^2\) और \(3^3\) की बड़ी घातें आएंगी। चरण 3: \(4\times27=108\), इसलिए उत्तर (108) है।
\(2\times11=22\), so the HCF is (22). चरण 1: \(44=2^2\times11\) और \(66=2\times3\times11\)। चरण 2: दोनों में समान अभाज्य गुणनखंड (2) और (11) हैं। चरण 3: \(2\times11=22\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (22) है।
\(4\times3\times11=132\), so the LCM is (132). चरण 1: \(44=2^2\times11\) और \(66=2\times3\times11\)। चरण 2: बड़ी घातें \(2^2\), (3) और (11) हैं। चरण 3: \(4\times3\times11=132\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (132) है।
Therefore, the HCF is (7). चरण 1: \(49=7^2\) और \(70=2\times5\times7\)। चरण 2: दोनों में समान अभाज्य गुणनखंड केवल (7) है। चरण 3: इसलिए महत्तम समापवर्तक (7) है।
For LCM, take (2), (5), and the higher power \(7^2\).
Step 3
Exam Tip
\(2\times5\times49=490\), so the answer is (490). चरण 1: \(49=7^2\) और \(70=2\times5\times7\)। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घातें (2), (5) और \(7^2\) लें। चरण 3: \(2\times5\times49=490\), इसलिए उत्तर (490) है।
The common prime factor is (2), and the smaller power is \(2^4\).
Step 3
Exam Tip
\(2^4=16\), so the HCF is (16). चरण 1: \(64=2^6\) और \(80=2^4\times5\)। चरण 2: समान अभाज्य गुणनखंड (2) है और छोटी घात \(2^4\) है। चरण 3: \(2^4=16\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (16) है।
\(64\times5=320\), so the LCM is (320). चरण 1: \(64=2^6\) और \(80=2^4\times5\)। चरण 2: बड़ी घातें \(2^6\) और (5) हैं। चरण 3: \(64\times5=320\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (320) है।
The common prime factor in all three numbers is (5).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the HCF is (5). चरण 1: \(15=3\times5\), \(25=5^2\) और \(35=5\times7\)। चरण 2: तीनों में समान अभाज्य गुणनखंड (5) है। चरण 3: इसलिए महत्तम समापवर्तक (5) है।
\(3\times25\times7=525\), so the LCM is (525). चरण 1: \(15=3\times5\), \(25=5^2\) और \(35=5\times7\)। चरण 2: बड़ी घातें (3), \(5^2\) और (7) हैं। चरण 3: \(3\times25\times7=525\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (525) है।
\(18=2\times3^2\), \(27=3^3\), and \(45=3^2\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
The common prime factor is (3), and the smallest power is \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
\(3^2=9\), so the answer is (9). चरण 1: \(18=2\times3^2\), \(27=3^3\) और \(45=3^2\times5\)। चरण 2: तीनों में समान अभाज्य गुणनखंड (3) है और छोटी घात \(3^2\) है। चरण 3: \(3^2=9\), इसलिए उत्तर (9) है।
\(18=2\times3^2\), \(27=3^3\), and \(45=3^2\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are (2), \(3^3\), and (5).
Step 3
Exam Tip
\(2\times27\times5=270\), so the LCM is (270). चरण 1: \(18=2\times3^2\), \(27=3^3\) और \(45=3^2\times5\)। चरण 2: बड़ी घातें (2), \(3^3\) और (5) हैं। चरण 3: \(2\times27\times5=270\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (270) है।
\(2^2\times3=12\), so the HCF is (12). चरण 1: दोनों में समान अभाज्य गुणनखंड (2) और (3) हैं। चरण 2: छोटी घातें \(2^2\) और (3) हैं। चरण 3: \(2^2\times3=12\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (12) है।
For LCM, take the highest powers of all prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^3\), \(3^2\), and (5).
Step 3
Exam Tip
\(8\times9\times5=360\), so the answer is (360). चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात लेते हैं। चरण 2: बड़ी घातें \(2^3\), \(3^2\) और (5) हैं। चरण 3: \(8\times9\times5=360\), इसलिए उत्तर (360) है।
\(2^2\times3=12\), so the HCF is (12). चरण 1: दोनों में समान अभाज्य गुणनखंड (2) और (3) हैं। चरण 2: छोटी घातें \(2^2\) और (3) हैं। चरण 3: \(2^2\times3=12\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (12) है।
\(16\times3\times7=336\), so the LCM is (336). चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य के लिए बड़ी घातें चुनते हैं। चरण 2: बड़ी घातें \(2^4\), (3) और (7) हैं। चरण 3: \(16\times3\times7=336\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (336) है।
In such questions, apply the relation first and then multiply carefully. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य। चरण 2: \(8\times96=768\)। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले संबंध लगाएं, फिर सरल गुणा करें।
Use this relation directly for two numbers. चरण 1: गुणनफल निकालने के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य को गुणा करते हैं। चरण 2: \(15\times210=3150\)। चरण 3: संबंध केवल दो संख्याओं के लिए सीधे प्रयोग करें।
After division, you can check by multiplying \(18\times72\). चरण 1: संबंध है, गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{1296}{18}=72\)। चरण 3: भाग करने के बाद \(18\times72\) से जांच कर सकते हैं।
It is important to place the given values correctly. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य। चरण 2: महत्तम समापवर्तक \(=\frac{1680}{280}=6\)। चरण 3: दिए गए मान को सही स्थान पर रखना बहुत जरूरी है।
For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(32\times72=2304\).
Step 3
Exam Tip
In such questions, finding HCF and LCM separately is not necessary. चरण 1: दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य (=) दोनों संख्याओं का गुणनफल। चरण 2: \(32\times72=2304\)। चरण 3: ऐसे प्रश्न में अलग-अलग महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य निकालने की जरूरत नहीं होती।
So the HCF is (1), and these numbers are co-prime. चरण 1: \(16=2^4\) और \(27=3^3\)। चरण 2: दोनों में कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है। चरण 3: इसलिए महत्तम समापवर्तक (1) है और ये संख्याएँ सह-अभाज्य हैं।
There is no common factor, so the LCM is their product.
Step 3
Exam Tip
\(16\times27=432\), so the answer is (432). चरण 1: \(16=2^4\) और \(27=3^3\)। चरण 2: कोई समान गुणनखंड नहीं है, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य उनका गुणनफल होगा। चरण 3: \(16\times27=432\), इसलिए उत्तर (432) है।
The LCM of co-prime numbers is their product, so \(9\times20=180\). चरण 1: \(9=3^2\) और \(20=2^2\times5\)। चरण 2: दोनों में कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है। चरण 3: सह-अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य उनका गुणनफल होता है, इसलिए \(9\times20=180\)।
\(2\times3\times13=78\), so the answer is (78). चरण 1: \(26=2\times13\) और \(39=3\times13\)। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य के लिए (2), (3) और (13) लें। चरण 3: \(2\times3\times13=78\), इसलिए उत्तर (78) है।
\(32=2^5\) and \(48=2^4\times3\), so HCF \(=2^4=16\).
Step 3
Exam Tip
In equal distribution questions, the word maximum usually points to HCF. चरण 1: अधिकतम समान समूहों के लिए महत्तम समापवर्तक निकालते हैं। चरण 2: \(32=2^5\) और \(48=2^4\times3\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^4=16\) है। चरण 3: समान बांटने के प्रश्न में अधिकतम शब्द दिखे तो महत्तम समापवर्तक लगाएं।
For the maximum number of equal bags, find the HCF of (42) and (56).
Step 2
Why this answer is correct
\(42=2\times3\times7\) and \(56=2^3\times7\), so HCF \(=2\times7=14\).
Step 3
Exam Tip
In packing questions with equal and maximum, use HCF. चरण 1: समान थैलियों की अधिकतम संख्या के लिए (42) और (56) का महत्तम समापवर्तक चाहिए। चरण 2: \(42=2\times3\times7\) और \(56=2^3\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times7=14\)। चरण 3: पैकिंग में बराबर और अधिकतम पूछा जाए तो महत्तम समापवर्तक लें।
The next common ringing time is the LCM of the intervals.
Step 2
Why this answer is correct
\(15=3\times5\) and \(20=2^2\times5\), so LCM \(=2^2\times3\times5=60\).
Step 3
Exam Tip
For repeated time events, use LCM. चरण 1: साथ बजने का अगला समय दोनों अंतरालों का लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(15=3\times5\) और \(20=2^2\times5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3\times5=60\)। चरण 3: दोहराव वाले समय में लघुत्तम समापवर्त्य का प्रयोग करें।
The next common glowing time is the LCM of (8), (12), and (16).
Step 2
Why this answer is correct
\(8=2^3\), \(12=2^2\times3\), and \(16=2^4\).
Step 3
Exam Tip
\(2^4\times3=48\), so the answer is (48) seconds. चरण 1: साथ जलने का अगला समय (8), (12) और (16) का लघुत्तम समापवर्त्य होगा। चरण 2: \(8=2^3\), \(12=2^2\times3\), \(16=2^4\)। चरण 3: \(2^4\times3=48\), इसलिए उत्तर (48) सेकंड है।
\(60=2^2\times3\times5\) and \(84=2^2\times3\times7\), so HCF \(=2^2\times3=12\).
Step 3
Exam Tip
In cutting questions, maximum equal length is found by HCF. चरण 1: बराबर अधिकतम लंबाई के लिए महत्तम समापवर्तक निकालते हैं। चरण 2: \(60=2^2\times3\times5\) और \(84=2^2\times3\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3=12\)। चरण 3: काटने के ऐसे प्रश्नों में अधिकतम बराबर लंबाई महत्तम समापवर्तक से मिलती है।
For maximum equal length, find the HCF of (54) and (90).
Step 2
Why this answer is correct
\(54=2\times3^3\) and \(90=2\times3^2\times5\), so HCF \(=2\times3^2=18\).
Step 3
Exam Tip
When lengths are cut equally, use HCF. चरण 1: अधिकतम बराबर लंबाई के लिए (54) और (90) का महत्तम समापवर्तक चाहिए। चरण 2: \(54=2\times3^3\) और \(90=2\times3^2\times5\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3^2=18\)। चरण 3: लंबाई को बराबर काटना हो तो महत्तम समापवर्तक से हल करें।
The common prime factor is (5), and the smaller power is \(5^2\).
Step 3
Exam Tip
\(5^2=25\), so the HCF is (25). चरण 1: \(75=3\times5^2\) और \(100=2^2\times5^2\)। चरण 2: समान अभाज्य गुणनखंड (5) है और छोटी घात \(5^2\) है। चरण 3: \(5^2=25\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (25) है।
\(4\times3\times25=300\), so the LCM is (300). चरण 1: \(75=3\times5^2\) और \(100=2^2\times5^2\)। चरण 2: बड़ी घातें \(2^2\), (3) और \(5^2\) हैं। चरण 3: \(4\times3\times25=300\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (300) है।
The common prime factor is (7), and the smaller power is \(7^2\).
Step 3
Exam Tip
\(7^2=49\), so the HCF is (49). चरण 1: \(98=2\times7^2\) और \(147=3\times7^2\)। चरण 2: समान अभाज्य गुणनखंड (7) है और छोटी घात \(7^2\) है। चरण 3: \(7^2=49\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (49) है।
\(2\times3\times49=294\), so the answer is (294). चरण 1: \(98=2\times7^2\) और \(147=3\times7^2\)। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में (2), (3) और \(7^2\) आएंगे। चरण 3: \(2\times3\times49=294\), इसलिए उत्तर (294) है।
\(4\times9=36\), so the HCF is (36). चरण 1: दोनों में समान अभाज्य गुणनखंड (2) और (3) हैं। चरण 2: छोटी घातें \(2^2\) और \(3^2\) हैं। चरण 3: \(4\times9=36\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (36) है।
For LCM, take the highest powers of all prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^2\), \(3^3\), and (5).
Step 3
Exam Tip
\(4\times27\times5=540\), so the answer is (540). चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: बड़ी घातें \(2^2\), \(3^3\) और (5) हैं। चरण 3: \(4\times27\times5=540\), इसलिए उत्तर (540) है।
The common prime factor is (3), and the smallest power is \(3^3\).
Step 3
Exam Tip
\(3^3=27\), so the HCF is (27). चरण 1: \(27=3^3\), \(54=2\times3^3\) और \(81=3^4\)। चरण 2: तीनों में समान अभाज्य गुणनखंड (3) है और छोटी घात \(3^3\) है। चरण 3: \(3^3=27\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (27) है।
\(2\times81=162\), so the LCM is (162). चरण 1: \(27=3^3\), \(54=2\times3^3\) और \(81=3^4\)। चरण 2: बड़ी घातें (2) और \(3^4\) हैं। चरण 3: \(2\times81=162\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (162) है।
\(72=2^3\times3^2\) and \(120=2^3\times3\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
The smaller powers of common factors are \(2^3\) and (3).
Step 3
Exam Tip
\(8\times3=24\), so the HCF is (24). चरण 1: \(72=2^3\times3^2\) और \(120=2^3\times3\times5\)। चरण 2: समान गुणनखंडों की छोटी घातें \(2^3\) और (3) हैं। चरण 3: \(8\times3=24\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (24) है।
\(72=2^3\times3^2\) and \(120=2^3\times3\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^3\), \(3^2\), and (5).
Step 3
Exam Tip
\(8\times9\times5=360\), so the LCM is (360). चरण 1: \(72=2^3\times3^2\) और \(120=2^3\times3\times5\)। चरण 2: बड़ी घातें \(2^3\), \(3^2\) और (5) हैं। चरण 3: \(8\times9\times5=360\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (360) है।
First evaluate the powers: \(2^3=8\) and \(3^2=9\).
Step 2
Why this answer is correct
Now \(8\times9\times5=360\).
Step 3
Exam Tip
While forming a number from factorisation, simplify powers first and then multiply. चरण 1: पहले घातों का मान निकालें: \(2^3=8\) और \(3^2=9\)। चरण 2: अब \(8\times9\times5=360\)। चरण 3: गुणनखंडन से संख्या बनाते समय पहले घात, फिर गुणा करें।
In long multiplication, pair easy numbers first, such as \(16\times25=400\). चरण 1: \(2^4=16\) और \(5^2=25\)। चरण 2: संख्या \(16\times3\times25=1200\) होगी। चरण 3: लंबे गुणन में पहले आसान जोड़ी \(16\times25=400\) बना सकते हैं।
B. सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात/Highest power of all prime factors
Step 1
Concept
LCM is the smallest number divisible by all the given numbers.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the highest powers of all prime factors are taken.
Step 3
Exam Tip
Remember the rule: all factors with highest powers for LCM. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य ऐसी सबसे छोटी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं से विभाजित हो। चरण 2: इसलिए सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात ली जाती है। चरण 3: नियम याद रखें, लघुत्तम समापवर्त्य में सभी और बड़ी घात।
B. ( महत्तम समापवर्तक\(\times\)लघुत्तम समापवर्त्य\(=\)दोनों संख्याओं का गुणनफल )/( HCF\(\times\)LCM\(=\)product of the two numbers )
Step 1
Concept
For two numbers, a special relation is used.
Step 2
Why this answer is correct
The product of HCF and LCM equals the product of the two numbers.
Step 3
Exam Tip
Apply this relation directly only for two numbers. चरण 1: दो संख्याओं के लिए एक खास संबंध प्रयोग होता है। चरण 2: महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 3: यह संबंध केवल दो संख्याओं पर सीधे लगाएं।
